الرياضيات فصل أول

مسألة اليوم: صفحة 8

 

يمثل الاقتران: $P\left(t\right) = 325 {(0.25)}^t$ تركيز دواء في دم مريض بعد t ساعة من تناوله.

أجد تركيز الدواء بعد 5 ساعات من تناوله.

 

الحل:

الاقتران المعطى	$P\left(t\right) = 325 {(0.25)}^t$
بتعويض $5=t$	$P\left(5\right) = 325 {(0.25)}^5$
بالتبسيط باستخدام الآلة الحاسبة	$$\begin{gathered} \approx 0.317383 \\ \approx 0.32 \end{gathered}$$

إذن تركيز  الدواء بعد 5 ساعات من تناوله تقريبًا 0.32

---

أتحقق من فهمي: صفحة 9

جد قيمة كل اقتران مما يأتي عند قيمة x المعطاة:

$a) f(x)= {\left(3\right)}^x , x=4$

         $b) f(x)= {\left(\frac{1}{3}\right)}^x , x=-1$

الحل:

                                                                                                                                                                                                    

$a) f(x)= {\left(3\right)}^x , x=4$
الاقتران المعطى	$f\left(x\right)= {\left(3\right)}^x$
بتعويض $4=x$	$f\left(4\right)= {\left(3\right)}^4$
بالتبسيط (81=34  )	$= 81$

$b) f(x)= {\left(\frac{1}{3}\right)}^x , x= -1$
الاقتران المعطى	$f\left(x\right)= {\left(\frac{1}{3}\right)}^x$
بتعويض $x=-1$	$f(-1)= {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}$
بالتبسيط : ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}={\left(3^{-1}\right)}^{-1}= {\left(3\right)}^{-1\times -1}=3$	$=3$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

 

أتحقق من فهمي: صفحة 10

إذا كان $f\left(x\right)=3^x$، فأجب عن الأسئلة الآتية:

a) مثل الاقتران بيانيًا، ثم حدد مجاله ومداه وخطوط التقارب

b) جد المقطعين من المحورين الإحداثيين

c) هل الاقتران $f\left(x\right)$ متزايد أم متناقص؟

d) هل الاقتران $f\left(x\right)$ واحد لواحد؟

 

الحل:

a) مثل الاقتران بيانيًا

2	1	0	-1	-2	x
9	3	1	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{9}$	y=f(x)
(2, 9)	(1, 3)	(0, 1)	(-1, $\frac{1}{3}$)	(-2, $\frac{1}{9}$)	(x,y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 مجال الاقتران $f\left(x\right)$ هو : مجموعة الأعداد الحقيقية$\mathrm{ℝ}$:( $\infty$   , $\infty$  -)

مدى الاقتران $f\left(x\right)$ هو :  مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ${\mathrm{ℝ}}^{+}$، حيث إنه لا يمس محور x $( \infty ,0)$

خط التقارب لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)$  هو:  خط التقارب الأفقي محور  x

 

b) المقطعان من المحورين الإحداثيين:

- بما أن 3^x موجبة دائمًا، فإنه لا يوجد للاقتران مقطع مع المحور x ، لأن 0 $<$y دائمًا.

- عندما $x=0$ ؛ فإن$y=1$ ، ومنه فإن المقطع y للاقتران هو 1 .

 

c) كلما زادت قيم x زادت قيم y ؛فالاقتران $f\left(x\right)$ متزايد

d) الاقتران $f\left(x\right)$ هو اقتران واحد لواحد، ويمكن التحقق من ذلك باستخدام اختبار الخط الأفقي.

---

أتحقق من فهمي: صفحة 12

إذا كان:  ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x$$f\left(x\right)=$ ،فأجب عن الأسئلة الآتية:

a) مثل الاقتران بيانيًا ثم حدد مجاله ومداه وخطوط التقارب

b) جد المقطعين من المحورين الإحداثيين

c) هل الاقتران $f\left(x\right)$ متزايد أم متناقص؟

d) هل الاقتران $f\left(x\right)$ واحد لواحد؟

 

الحل:

a) مثل الاقتران بيانيًا:

2	1	0	-1	-2	x
$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	1	3	9	y=f(x)
$(2, \frac{1}{9})$	$(1, \frac{1}{3})$	(0, 1)	(-1, 3)	(-2, 9)	(x, f(x))

 

مجال الاقتران: مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathrm{ℝ}$ $(-\infty , \infty )$

مدى الاقتران:مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ${\mathrm{ℝ}}^{+}$ أي $(0,\infty )$

خط التقارب لمنحنى الاقتران  هو خط تقارب أفقي هو المحور $x$

 

b) المقطعان من المحورين الإحداثيين:

بما أن ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ موجب دائمًا؛ فإنه لا يوجد للاقتران مقطع مع المحور $x$ ، لأن$y>0$

عندما $x=0$ ؛ فإن $y=1$ ، ومنه فإن المقطع y لهذا الاقتران هو 1 .

 

c) بما أنه كلما زادت قيم x تقل قيم y ؛فالاقتران $f\left(x\right)$ متناقص

d) الاقتران $f\left(x\right)$ هو اقتران واحد لواحد، ويمكن التحقق من ذلك باستخدام اختبار الخط الأفقي.

---

أتحقق من فهمي: صفحة 15

جد خط التقارب الأفقي لكل من الاقترانات الآتية ثم حدد مجاله ومداه مبينًا إذا كان متناقصًا أو متزايدًا:

                   $a) f(x)=2 {\left(3\right)}^{x+2} - 1 b) f(x)=4 {\left(5\right)}^{-x} c) f(x)=-\frac{1}{4} {\left(3\right)}^{x-1} + 2$                                              

 

الحل:

	$c) f(x)=-\frac{1}{4} {\left(3\right)}^{x-1} + 2$	$b) f(x)=4 {\left(\frac{1}{5}\right)}^x + 0$	$a) f(x)=2 {\left(3\right)}^{x+2} - 1$
قيم $a , b , h , k$	$$\begin{gathered} a=-\frac{1}{4} , b=3 \\ h=1 , k=2 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} a=4 , b=\frac{1}{5} \\ h=0 , k=0 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} a=2 , b=3 \\ h=-2 , k=-1 \end{gathered}$$
خط تقارب أفقي هو	$y=2$	$y=0$	$y=-1$
المجال	$\mathrm{ℝ}$	$\mathrm{ℝ}$	مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathrm{ℝ}$
المدى	$(-\infty , 2)$	$(0, \infty )$	$(-1, \infty )$
متزايد / متناقص	متناقص لأن $b=3 >1$ ، وقيمة a سالبة	متناقص لأن $b=\frac{1}{5} <1$	متزايد لأن $b=3 >1$

 

---

أتحقق من فهمي: صفحة 16

يمثل الاقتران: $f\left(x\right) = 500 {\left(2\right)}^x$  عدد الخلايا البكتيرية في عينة مخبرية ، حيث x الزمن بالساعات:

a) جد عدد الخلايا البكتيرية في العينة بعد مضي 5 ساعات

b) بعد كم ساعة يصبح عدد الخلايا البكتيرية في العينة 4000 خلية؟

الحل:

a) عدد الخلايا البكتيرية في العينة بعد مضي 5 ساعات

الاقتران المعطى	$f\left(x\right) = 500 {\left(2\right)}^x$
بتعويض x=5	$f\left(5\right) = 500 {\left(2\right)}^5$
بالتبسيط حيث: 32=25	$= 16000$

$\therefore$عدد الخلايا البكتيرية في العينة بعد مضي 5 ساعات هو 16000 خلية بكتيرية .

 

b) بعد كم ساعة يصبح عدد الخلايا البكتيرية في العينة 4000 خلية؟

الاقتران المعطى	$f\left(x\right) = 500 {\left(2\right)}^x$
بتعويض f(x)=4000	$4000 = 500 {\left(2\right)}^x$
بقسمة الطرفين على 500	$8 = {\left(2\right)}^x$
(2)3 = 8	${\left(2\right)}^3 = {\left(2\right)}^x$
بمساواة الأسس	$x=3$

$\therefore$بعد 3 ساعات يصبح عدد الخلايا البكتيرية في العينة 4000 خلية

---

أتدرب وأحل المسائل: صفحة 16

أجد قيمة كل اقتران مما يأتي عند قيمة $x$ المعطاة:

                                   1)          $$\begin{gathered} f\left(x\right)= {\left(11\right)}^x , x=3 \\ f\left(3\right)={\left(11\right)}^3 \\ = 1331 \end{gathered}$$                                     

  2)      $$\begin{gathered} f\left(x\right)=-5 {\left(2\right)}^{x }, x=1 \\ f\left(1\right)= -5 {\left(2\right)}^1 \\ = -5\left(2\right) \\ = -10 \end{gathered}$$                                           

3)     $$\begin{gathered} f\left(x\right)= 3 {\left(\frac{1}{7}\right)}^x , x=2 \\ f\left(2\right)= 3 {\left(\frac{1}{7}\right)}^2 \\ = 3 \left(\frac{1}{49}\right)=\frac{3}{49} \end{gathered}$$

 

 

 

                           4)      $$\begin{gathered} f\left(x\right)= -{\left(5\right)}^x+4 , x=4 \\ f\left(4\right)= -{\left(5\right)}^4+4 \\ = -\left(625\right)+4 \\ = -621 \end{gathered}$$                                   

5)     $$\begin{gathered} f\left(x\right)= 3^x +1 , x=5 \\ f\left(5\right)= 3^5 +1 \\ = 243+1 \\ =244 \end{gathered}$$                                               

6)    $$\begin{gathered} f\left(x\right)={\left(\frac{1}{9}\right)}^x - 3 , x=2 \\ f\left(2\right)={\left(\frac{1}{9}\right)}^2 - 3 \\ = \frac{1}{81}-3 \\ = -\frac{242}{81} \end{gathered}$$ 

---

أمثل كل اقتران مما يأتي بيانيًا، ثم أجد مجاله ومداه:

 

7) $f\left(x\right)=4^x$                                                                                                                                                                                        

       8) $f\left(x\right)=9^{-x}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مجال الاقتران : الأعداد الحقيقية $\mathrm{ℝ}$                                                                                                                                                                مجال الاقتران : الأعداد الحقيقية $\mathrm{ℝ}$

مدى الاقتران: $(0 , \infty )$                                                                                                                                                                                   مدى الاقتران: $(0, \infty )$

 

 

 

9) $f\left(x\right)=7{\left(\frac{1}{7}\right)}^x$                                                                                                                                                             10) $f\left(x\right)=3{\left(6\right)}^x$

                                                                                                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مجال الاقتران : الأعداد الحقيقية $\mathrm{ℝ}$                                                                                                                                                مجال الاقتران : الأعداد الحقيقية ${\mathrm{ℝ}}^{+}$

مدى الاقتران:  $(0 , \infty )$                                                                                                                                                                      مدى الاقتران: $(0 , \infty )$

---

 

أجد خط التقارب الأفقي لكل اقتران مما يأتي، ثم أجد مجاله ومداه مبينًا إذا كان متناقصًا أم متزايدًا:

$11) 5^{x-1} +2 12) f\left(x\right)={\left(\frac{1}{4}\right)}^{x+2}-5 13) f(x)=3 {\left(\frac{1}{7}\right)}^{x+5}-6 14) f\left(x\right)=3 {\left(7\right)}^{x-2} +1$

 

	$14) f(x)=3 {\left(7\right)}^{x-2} +1$	$13) f(x)=3 {\left(\frac{1}{7}\right)}^{x+5}-6$	$12) f(x)={\left(\frac{1}{4}\right)}^{x+2}-5$	$11) 5^{x-1} +2$
قيم  $\mathit{a}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{b}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{h}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{k}$	$$\begin{gathered} a=3 , b=7 \\ h=2 , k=1 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} a=3 , b=\frac{1}{7} \\ h=-5 , k=-6 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} a=1 , b=\frac{1}{4} \\ h=-2 , k=-5 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} a=1 , b=5 \\ h=1 , k=2 \end{gathered}$$
خط تقارب أفقي هو	y=1	y=-6	y=-5	y=2
المجال	$\mathrm{ℝ}$	$\mathrm{ℝ}$	$\mathrm{ℝ}$	$\mathrm{ℝ}$
المدى	$(1, \infty )$	$(-6, \infty )$	$(-5, \infty )$	$(2, \infty )$
متزايد / متناقص	متزايد	متناقص	متناقص	متزايد

---

بكتيريا : يمثل الاقتران:$\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{7000}\mathbf{ }{\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{2}\mathbf{)}}^{\mathbf{x}}$ عدد الخلايا البكتيرية في تجربة مخبرية، حيث x الزمن بالساعات:

15) أجد عدد الخلايا البكتيرية في بداية التجربة.

16) أجد عدد الخلايا البكتيرية بعد 12 ساعة.

17) بعد كم ساعة يصبح عدد الخلايا البكتيرية 10080 خلية؟

 

الحل:

15) عدد الخلايا البكتيرية في بداية التجربة.

بداية التجربة أي الزمن x يساوي 0

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=7000 {(1.2)}^x$
بتعويض x=0	$f\left(0\right)=7000 {(1.2)}^0$
بالتبسيط حيث: ${(1.2)}^0=1$	$=7000$

 

 

 

 

$\therefore$عدد الخلايا البكتيرية في بداية التجربة هو 7000 خلية بكتيرية

 

16) عدد الخلايا البكتيرية بعد 12 ساعة.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=7000 {(1.2)}^x$
بتعويض x=12	$f\left(12\right)=7000 {(1.2)}^{12}$
باستعمال الآلة الحاسبة	$\approx 62413$

 

 

 

 

$\therefore$عدد الخلايا البكتيرية بعد 12 ساعة تقريبًا هو 62413 خلية بكتيرية

 

17) بعد كم ساعة يصبح عدد الخلايا البكتيرية 10080 خلية؟

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=7000 {(1.2)}^x$
بتعويض f(x)=10080	$10080=7000 {(1.2)}^x$
بالتبسيط بقسمة طرفي المعادلة على 7000	$1.44= {(1.2)}^x$
بحل المعادلة الأسية حيث ${(1.2)}^2=1.44$	${(1.2)}^2={(1.2)}^x$
بما أن الأساسات متساوية فإن الأسس متساوية	$\therefore x=2$

 

 

 

 

 

 

 

 

$\therefore$بعد ساعتين من بدء التجربة يصبح عدد الخلايا البكتيرية 10080 خلية .

---

ضوء : يمثل الاقتران: $\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{100}\mathbf{ }{\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{97}\mathbf{)}}^{\mathbf{x}}$ نسبة الضوء المار خلال x من الألواح الزجاجية المتوازية:     

 

18) أجد نسبة الضوء المار خلال لوح زجاجي واحد.       

19) أجد نسبة الضوء المار خلال 3 ألواح زجاجية .

 

 

الحل:

18) نسبة الضوء المار خلال لوح زجاجي واحد:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=100 {(0.97)}^x$
بتعويض x=1	$f\left(1\right)=100 {(0.97)}^1$
بالتبسيط	$\approx 97$

 

 

 

$\therefore$  % 97 من الضوء يمر خلال لوح زجاجي واحد.

 

19) نسبة الضوء المار خلال 3 ألواح زجاجية :

 

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=100 {(0.97)}^x$
بتعويض x=3	$f\left(3\right)=100 {(0.97)}^3$
بالتبسيط	$\approx 91$

 

 

 

 

$\therefore$ % 91 من الضوء تقريبًا يمر خلال ثلاثة ألواح زجاجية .

---

سرطان البنكرياس : يمثل الاقتران:$\mathit{P}\mathbf{\left(}\mathit{t}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{100}\mathbf{ }{\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{3}\mathbf{)}}^{\mathbf{t}}$ نسبة المتعافين من مرضى سرطان البنكرياس،

ممن هم في المرحلة المتقدمة،حيث تعافوا بعد t سنة من التشخيص الأولي للمرض:

 

20) أجد نسبة المتعافين بعد سنة من التشخيص الأولي للمرض.

21) بعد كم سنة تصبح نسبة المتعافين %9؟

 

الحل:

20) نسبة المتعافين بعد سنة من التشخيص الأولي للمرض:

الاقتران المعطى	$P\left(t\right)=100{(0.3)}^t$
بتعويض t=1	$P\left(1\right)=100{(0.3)}^1$
بالتبسيط	$= 30$

 

 

 

 

$\therefore$ % 30 هي نسبة المتعافين بعد سنة من التشخيص الأولي للمرض

 

21) بعد كم سنة تصبح نسبة المتعافين %9:

الاقتران المعطى	$P\left(t\right)=100{(0.3)}^t$
بتعويض النسبة P(t)=9%	$9=100{(0.3)}^t$
بالتبسيط بقسمة طرفي المعادلة على 100	$0.09={(0.3)}^t$
بحل المعادلة الأسية حيث: $0.09={(0.3)}^2$	${(0.3)}^2={(0.3)}^t$
بما أن الأساسات متساوية فإن الأسس متساوية	$\therefore t=2$

 

 

 

 

 

 

 

$\therefore$بعد سنتين تصبح نسبة المتعافين %9

---

مهارات التفكير العليا:

 

22) تبرير: يبين الشكل المجاور التمثيل البياني لمنحنى الاقتران:$f\left(x\right)=a{b}^x$            

 

 أجد $f\left(3\right)$ ، مبررًا إجابتي.

 

 

الحل:

22) باستخدام الرسم وتعويض النقاط يمكن إيجاد قيمتي a,b

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=a{b}^x$
بتعويض النقطة $(0, 1)$ من الشكل	$$\begin{gathered} 1=a{b}^0 \\ 1=a\times 1 \\ \therefore 1=a \end{gathered}$$
بتعويض  a=1 بالاقتران المعطى	$f\left(x\right)=b^x$
بتعويض النقطة $(1, \frac{1}{4})$ من الشكل	$$\begin{gathered} \frac{1}{4}=b^1 \\ \therefore \frac{1}{4}=b \end{gathered}$$
بتعويض  $b=\frac{1}{4}$ بالاقتران المعطى	$f\left(x\right)={\left(\frac{1}{4}\right)}^x$
لإيجاد f(3) ، عوض x=3 بالاقتران	$f\left(3\right)={\left(\frac{1}{4}\right)}^3=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{64}}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

23) أكتشف المختلف: أي الاقترانات الآتية مختلف، مبررًا إجابتي:

$y=5{\left(3\right)}^x$

$f\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$

$f\left(x\right)=2{\left(4\right)}^x$

$y=3^x$

 

 

 

الحل:

الاقتران المختلف هو $\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}{\mathbf{\left(}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{\right)}}^{\mathbf{x}}$ لأنه الاقتران الوحيد المتناقص حيث أساسه أقل من 1 ( $b=\frac{1}{3} < 1$)، أما الاقترانات الأخرى فجميعها متزايدة .

---

24) تحدٍّ: إذا كان الاقتران: $f\left(x\right)=a{b}^x$ أسيًّا، فأثبت أنّ: $\frac{f(x+1)}{f\left(x\right)}=b$

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=a{b}^x$
بتعويض (x+1) بالاقتران المعطى	$f(x+1)=a b^{x+1}$
بالتعويض من الخطوتين السابقتين	$\frac{f(x+1)}{f\left(x\right)} =\frac{ a{\left(b\right)}^{\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{1}}}{a {\left(b\right)}^x}$
بما أن $a \ne 0$ فإن $\frac{\mathit{a}}{\mathit{a}}=1$	$\frac{f(x+1)}{f\left(x\right)} =\frac{ {\left(b\right)}^{\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{1}}}{ {\left(b\right)}^x}$
باستخدام قانون قسمة الأسس	$=b^{\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{1}-\mathit{x}}$                     $$\begin{gathered} =b^{\mathit{x}-\mathit{x}+\mathbf{1}}=b^{0+\mathbf{1}} \\ =b^1=\mathit{b} \end{gathered}$$
الإثبات	$\therefore \frac{f(x+1)}{f\left(x\right)} = \mathit{b}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

كتاب التمارين صفحة 8:

جد قيمة x كل اقتران مما يأتي عند قيمة x المعطاة:

 

الحل:

1)$f\left(x\right) = {\left(13\right)}^{x } , x=2$ $f\left(2\right)={\left(13\right)}^2 =169$	2) $f\left(x\right) = {4 \left(5\right)}^{x } , x=3$ $f\left(3\right)=4 {\left(5\right)}^3 =4 \times 125 =\mathbf{500}$
3)$f\left(x\right) =7 {\left(\frac{1}{2}\right)}^{x } , x=3$ $f\left(3\right)=7{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=7\times \left(\frac{1}{8}\right)=\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{8}}$	4) $f\left(x\right) = {- \left(3\right)}^{x } + 7 , x=4$ $f\left(\mathbf{4}\right) = -{\left(3\right)}^{\mathbf{4}} +7=-81+7=\mathbf{-}\mathbf{74}$
5) $f\left(x\right) =- {\left(2\right)}^{x } +1 , x=6$ $f\left(\mathbf{6}\right)=-{\left(2\right)}^{\mathbf{6}} +1=-64 +1=\mathbf{-}\mathbf{63}$	6) $f\left(x\right) = {\left(\frac{1}{4}\right)}^{x } -12 , x=3$ $$\begin{gathered} f\left(3\right)={\left(\frac{1}{4}\right)}^3 - 12 =\frac{1}{64}-12 \\ = \frac{1}{64}- \frac{768}{64} \\ = \mathbf{-}\frac{\mathbf{767}}{\mathbf{64}} \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

أمثل كل اقتران مما يأتي بيانيًا، ثم أجد مجاله ومداه:

$7) f(x)=7{\left(6\right)}^x$                          $8) f(x)=7^{-x}$

$9) f(x)=5{\left(\frac{1}{8}\right)}^x$                    $10) f(x)=2{\left(9\right)}^x$

 

الحل:

مجال كل اقتران من الاقترانات السابقة : مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathrm{ℝ}$

مدى كل اقتران من الاقترانات السابقة :مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة  $(0, \infty ) \mathrm{أي} {\mathrm{ℝ}}^{+}$

 $7) f(x)=7{\left(6\right)}^x$                                                                                                                                                          $8) f(x)=7^{-x}$

                                                

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 $9) f(x)=5{\left(\frac{1}{8}\right)}^x$                                                                                                                                                                $10) f(x)=2{\left(9\right)}^x$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

أجد خط التقارب الأفقي لكل اقتران مما يأتي، ثم أحدد مجاله ومداه، مبينًا إذا كان متناقصًا أم متزايدًا:

$11) f(x)=7^{x-2}+1$                   $12) f(x)={\left(\frac{1}{7}\right)}^{x+1}-3$                              $13) f(x)=5 {\left(\frac{1}{4}\right)}^{x+3} -7$                               $14) f(x)=7 {\left(4\right)}^{x-5} +3$  

الحل:

	$14) f(x)=7 {\left(4\right)}^{x-5} +3$	$13) f(x)=5 {\left(\frac{1}{4}\right)}^{x+3} -7$	$12) f(x)={\left(\frac{1}{7}\right)}^{x+1}-3$	$11) f(x)=7^{x-2}+1$
قيم $\mathit{a}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{b}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{h}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{k}$	a=7      b=4 h=5      k=3	a=5      b=$\frac{1}{4}$ h=-3      k=-7	a=1      b=$\frac{1}{7}$ h=-1      k=-3	a=1      b=7 h=2      k=1
خط تقارب أفقي هو	$y=3$	$y=-7$	$y=-3$	$y=1$
المجال	$\mathrm{ℝ}$	$\mathrm{ℝ}$	$\mathrm{ℝ}$	$\mathrm{ℝ}$
المدى	$(3, \infty )$	$(-7, \infty )$	$(-3, \infty )$	$(1, \infty )$
متزايد / متناقص	$4>1$ متزايد	$\frac{1}{4}<1$ متناقص	$\frac{1}{7}<1$ متناقص	$7>1$ متزايد

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

بكتيريا: يمثل الاقتران:$\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{400}\mathbf{ }{\mathbf{\left(}\mathbf{2}\mathbf{\right)}}^{\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{3}}}$ عدد الخلايا البكتيرية بعد x ساعة في تجربة مخبرية:

15) أجد عدد الخلايا البكتيرية عند بدء التجربة.

16) أجد عدد الخلايا البكتيرية بعد 12 ساعة.

17) بعد كم ساعة يصبح عدد الخلايا البكتيرية 102400 خلية؟

 

الحل:

15) عدد الخلايا البكتيرية عند بدء التجربة.

بداية التجربة أي الزمن x يساوي 0

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=400 {\left(2\right)}^{\frac{x}{3}}$
بتعويض x=0	$$\begin{gathered} f\left(0\right)=400 {\left(2\right)}^{\frac{0}{3}} \\ = 400 {\left(2\right)}^0 \end{gathered}$$
بالتبسيط حيث: ${\mathbf{2}}^{\mathbf{0}}\mathbf{=}\mathbf{1}$	$= 400$

 

 

 

 

 

 

$\therefore$عدد الخلايا البكتيرية عند بدء التجربة هو 400 خلية

 

16) عدد الخلايا البكتيرية بعد 12 ساعة(x=12).

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=400 {\left(2\right)}^{\frac{x}{3}}$
بتعويض x=12	$$\begin{gathered} f\left(12\right)=400 {\left(2\right)}^{\frac{12}{3}} \\ = 400 {\left(2\right)}^4 \end{gathered}$$
بالتبسيط حيث:$2^4=16$	$=400 \times 16=6400$

 

 

 

 

 

 

$\therefore$عدد الخلايا البكتيرية بعد 12 ساعة هو 6400 خلية.

 

17) بعد كم ساعة يصبح عدد الخلايا البكتيرية (102400)خلية.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=400 {\left(2\right)}^{\frac{x}{3}}$
بتعويض f(x)=102400	$102400=400 {\left(2\right)}^{\frac{x}{3}}$
بقسمة طرفي المعادلة على 400	$256={\left(2\right)}^{\frac{x}{3}}$
بحل المعادلة الأسية حيث:$256=2^8$	$2^8={\left(2\right)}^{\frac{x}{3}}$
بما أن الأساسات متساوية فإن الأسس متساوية	$\therefore 8=\frac{x}{3}\to x=8\times 3=24$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$\therefore$بعد 24 ساعة يصبح عدد الخلايا البكتيرية (102400)خلية.

---

خزان: يمثل الاقتران: $\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{ }{\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{75}\mathbf{)}}^{\mathbf{x}}$ كمية الماء المتبقية في خزان (بالمتر المكعب) بعد x ساعة نتيجة ثقب فيه:

18) أجد كمية الماء المتبقية في الخزان بعد ساعة واحدة.

19) ما الزمن الذي تصبح فيه كمية الماء المتبقية في الخزان $\frac{9}{8} m^3$ تقريبًا؟

الحل:

18) كمية الماء المتبقية في الخزان بعد ساعة واحدة (x=1)

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=2 {(0.75)}^x$
بتعويض x=1	$f\left(1\right)=2 {(0.75)}^1$
بالتبسيط	$= 1.5 m^3$

 

 

 

 

$\therefore$كمية الماء المتبقية في الخزان بعد ساعة واحدة هي 1.5 مترًا مكعبًا.

 

19) الزمن الذي تصبح فيه كمية الماء المتبقية في الخزان $\frac{9}{8}{m}^3$ تقريبًا($f\left(x\right)=\frac{9}{8}$):

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=2 {(0.75)}^x$
بتعويض $f\left(x\right)=\frac{9}{8}$	$\frac{9}{8}=2 {(0.75)}^x$
بقسمة طرفي المعادلة على 2	$$\begin{gathered} \frac{9}{16}= {(0.75)}^x \\ = {\left(\frac{3}{4}\right)}^x \end{gathered}$$
بحل المعادلة الأسية حيث:$\frac{9}{16}= {\left(\frac{3}{4}\right)}^2$	${\left(\frac{3}{4}\right)}^2 = {\left(\frac{3}{4}\right)}^x$
بما أن الأساسات متساوية فإن الأسس متساوية	$\therefore x= 2$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$\therefore$ بعد ساعتين من الزمن  تصبح كمية الماء المتبقية في الخزان $\frac{9}{8}{m}^3$

---