مدرسة جواكاديمي

هنا يمكنك تصفح مدرسة جو اكاديمي، المنهاج، اسئلة، شروحات، والكثير أيضاً

التكامل بالأجزاء

رياضيات - الصف التوجيهي علمي

فهرس الكتاب

الشرح

النتاجات

الملخص

أوراق العمل

حل اسئلة الدرس

التكامل بالأجزاء

درسنا فيما سبق طريقتي التكامل بالتعويض, والكسور الجزئية وكذلك الحل الجبري المعتمد على التبسيط, وسندرس الآن طريقة التكامل بالأجزاء لكل تكامل لا يُحل بالطرق السابقة.

وتقوم فكرة التكامل بالأجزاء على قانون مشتقة الضرب

فكما تعلم أن

$(f \times g)' = f \times g' + f' \times g$

وبإجراء التكامل

$\int (f \times g)' d x = \int f \times g' d x + \int f' \times g d x$

أي أن

$\int f \times g' d x = f \times g - \int f' \times g d x$

مثال 1

ما قيمة $\int x e^{x} d x$

الحل:

لاحظ أن التكامل لا يحل بالطرق السابقة كالتعويض أو التبسيط لذلك سنقوم بحله بالأجزاء وذلك بفرض:

$u = x \to d u = d x d v = e^{x} \to v = e^{x}$

ومنه فإن

$\int x e^{x} d x = x e^{x} - \int e^{x} d x للتكامل قابل المقدار وهذا = x e^{x} - e^{x} + c$

والمهم ذكره هنا أنه يمكن استخدام طريقة الجداول لحل التكامل بالأجزاء على النحو التالي

ومن المهم معرفة أيهما يكون للإشتقاق وأيهما يكون للتكامل

$للتكامل للإشتقاق e^{x} x + e^{x} 1 - e^{x} \overset{\int}{\to} 0 + \int x e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + c$

مثال 2:

ما قيمة $\int x {(x + 1)}^{3} d x$ ؟

الحل: باستخدام طريقة الجداول:

$للتكامل للإشتقاق {(x + 1)}^{3} x + \frac{1}{4} {(x + 1)}^{4} 1 - \frac{1}{20} {(x + 1)}^{5} \overset{\int}{\to} 0 + = \int x {(x + 1)}^{3} d x = \frac{x}{4} {(x + 1)}^{4} - \frac{1}{20} {(x + 1)}^{5} + c$

مثال 3

ما قيمة $\int x l n x d x$ ؟

الحل: باستخدام طريقة الجداول

$للتكامل للإشتقاق x l n x + \frac{x^{2}}{2} \overset{\int}{\to} \frac{1}{x} -$

لاحظ أننا لن نصل إلى مشتقة = 0 فتتوقف بعد الاشتقاق مباشرة عند التخلص من اللوغرتم

$\int x l n x d x = x^{2} l n x - \int x d x = x^{2} l n x - \frac{x^{2}}{2} + c$

مثال 4:

ما قيمة $\int e^{x} s i n x d x$

الحل: باستخدام طريقة الجداول

$للتكامل للإشتقاق e^{x} s i n x + e^{x} c o s x - e^{x} \overset{\int}{\to} - s i n x +$

لاحظ أننا لن نصل إلى مشتقة = صفر فنتوقف عند تكرار أصل المسألة $e^{x} s i n x$

$\int e^{x} s i n x d x = e^{x} s i n x - e^{x} c o s x - \int e^{x} s i n x d x \int e^{x} s i n x d x = \frac{e^{x} s i n x - e^{x} c o s x}{2} + c$

مثال 5:

ما قيمة $\int \frac{l n x - 1}{{(l n x)}^{2}} d x$ ؟

الحل:

لابد من إعادة كتابة المسألة على النحو التالي

$\int \frac{l n x - 1}{{(l n x)}^{2}} d x = \int \frac{1}{l n x} d x - \int \frac{1}{{(l n x)}^{2}} d x$

وسنبدأ بتكامل المقدار $\frac{1}{l n x}$ باستخدام طريقة الجداول

$للتكامل للإشتقاق d x \frac{1}{l n x} + x \overset{\int}{\to} \frac{- 1}{x {(l n x)}^{2}} -$

التوقف بعد أول اشتقاق للوغرثم

$\int \frac{1}{l n x} d x = \frac{x}{l n x} + \int \frac{1}{{(l n x)}^{2}} d x$

وبتجميع المسألة:

$\int \frac{l n x - 1}{{(l n x)}^{2}} d x = \frac{x}{l n x} + \int \frac{1}{{(l n x)}^{2}} d x - \int \frac{1}{{(l n x)}^{2}} d x$

وباختزال المقدار $\int \frac{1}{{(l n x)}^{2}} d x$

$\int \frac{l n x - 1}{{(l n x)}^{2}} d x = \frac{x}{l n x} + c$

مثال 6: العلاقة بين التعويض والأجزاء

ما قيمة $\int x e^{\sqrt{x}}$ ؟

الحل:لاحظ أن المقدار $e^{\sqrt{x}}$ سيحل بالتعويض أولًا وذلك بفرض:

$u = \sqrt{x} \to u^{2} = x 2 u d u = d x \int x e^{\sqrt{x}} d x = \int x e^{u} 2 u d u = 2 \int u^{3} e^{u} d u x = u^{2} لكن$

وسيحل الآن بالأجزاء

$للتكامل للإشتقاق e^{u} 2 u^{3} + e^{u} 6 u^{2} - e^{u} 12 u + e^{u} 12 - e^{u} \overset{\int}{\to} 0 + \int 2 u^{3} e^{u} d u = 2 u^{3} e^{u} - 6 u^{2} e^{u} + 12 u e^{u} - 12 e^{u} = 2 x \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - 6 x e^{\sqrt{x}} + 12 \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - 12 e^{\sqrt{x}} + c$ بإعادة $u = \sqrt{x}$

مثال 7:

ما قيمة $\int s i n (\sqrt{x}) d x$ ؟

الحل:

$u = \sqrt{x} بفرض u^{2} = x \to 2 u d u = d x \int s i n \sqrt{x} d x = \int 2 u s i n u d u$

والآن سنحل بالأجزاء

$للتكامل للإشتقاق s i n u 2 u + - c o s u 2 - - s i n u \overset{\int}{\to} 0 + \int 2 u s i n u d u = - 2 u c o s u + 2 s i n u$

بإعادة $u = \sqrt{x}$

$= - 2 \sqrt{x} c o s \sqrt{x} + s i n \sqrt{x} + c$

مدرسة جواكاديمي

التكامل بالأجزاء

رياضيات - الصف التوجيهي علمي

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS