تعلمت سابقًا إيجاد الاقتران الأصلي وإجراء تكاملات بناءً على قواعد الاشتقاق,

لكن هذه القواعد لا تكفي لإيجاد الاقتران الأصلي لاقترانات معينة (مثل ضرب اقترانين أو قسمتهما).

لذلك, توجد طرائق مختلفة لإجراء التكاملات من هذا النوع وإحدى هذه الطرق (التكامل بالتعويض).

بصورة عامة, نستخدم (التكامل بالتعويض) لإيجاد التكاملات التي تكون على الصورة:

$\int f\left(g\right(x\left)\right)g\text{'}\left(x\right) dx$

وذلك عن طريق استبدال الاقتران g(x) بمتغير جديد (u)

وتحويل التكامل بجميع عناصره بدلالة المتغير الجديد u, و du.

فإذا كان u=g(x) اقترانًا قابلا للاشتقاق ومداه الفترة I,

وكان الاقتران f(x) اقترانًا متصلا على I, فإن:

$\int f\left(g\right(x\left)\right)g\text{'}\left(x\right) dx=\int f\left(u\right) du$

وستوضح خطوات التكامل بالتعويض من خلال هذا المثال:

مثال 1: جد كلا من التكاملات التالية:

$1)\int -12x^2{(5-4x^3)}^{6}dx$

نلاحظ أن الاقتران المُكامل عبارة عن ضرب اقترانين,

وليس من السهل تحويله إلى جمع اوطرح اقترانات.

ونلاحظ أن المقدار ما داخل القوس  $(5-4x^3)$, مشتقة $(-12x^2)$,

وهي مضروبة في القوس, مما يشير إلى إمكانية استخدام التكامل بالتعويض.

الحل:

الخطوة 1:

نحدد الاقتران u الذي يمكن به تبسيط الاقتران المُكامل,

وهو (عادة) الاقتران الذي تكون مشتقته (أو مضاعفاتها) موجودة في الاقتران المُكامل.

$u=5-4x^3 :\mathrm{استبدال} \mathrm{يمكن} \mathrm{هنا}$

الخطوة 2:

نقوم باستبدال المتغيرات في الاقتران المُكامل بدلالة u و du مع استبدال متغير المُكامل الأصلي.

ونكتب الناتج في أبسط صورة, ولإيجاد du, نشتق u:

$$\begin{gathered} u=5-4x^3 \mathrm{بالاشتقاق} \\ \frac{du}{dx}=-12x^2 \end{gathered}$$

نجد dx بدلالة x و du:

                                    $dx=\frac{du}{-12x^2}$

وباجراء التعويض نحصل على التكامل التالي بدلالة u و du:

$$\begin{gathered} \int -12x^2{(5-4x^3)}^{6}dx=\int \cancel{-12x^2}{\left(u\right)}^6 \frac{du}{\cancel{-12x^2}} \\ =\int {\left(u\right)}^{6}du \end{gathered}$$

الخطوة 3:

نقوم بإيجاد قيمة التكامل الجديد (بدلالة u)

                    $=\frac{1}{7}{u}^7+c$

الخطوة 4:

نعيد تعويض u بدلالة المتغير الأصلي x:

     $=\frac{1}{7}{(5-4x^3)}^7+c$

$2)\int 4\cos x\sqrt{e^{\sin x}} dx$

الحل:

$$\begin{gathered} \int 4\cos x{\left(e^{\sin x}\right)}^{\frac{1}{2}} dx \\ u=\sin x :\mathrm{أن} \mathrm{نفترض} \\ \frac{du}{dx}=\cos x \\ dx=\frac{du}{\cos x} \\ \int 4\cos x*{\left(e^{\sin x}\right)}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.} dx=\int 4\cos x e^{\frac{1}{2}u} \frac{du}{\cos x} \\ =\int 4e^{\frac{1}{2}u}du \\ =8e^{\frac{1}{2}u}+c=8e^{\frac{1}{2}\sin x}+c \end{gathered}$$

 

 

$3)\int \frac{6 dx}{x+3x\ln x}$

الحل:

بإخراج x عامل مشترك من المقام:

$$\begin{gathered} \int \frac{6 dx}{x(1+3\ln x)} \mathrm{موجودة},\frac{3}{x} \mathrm{هي} (1+3\ln x) \mathrm{مشتقة} \mathrm{أن} \mathrm{نلاحظ} \\ u=1+3\ln x \mathrm{أن} \mathrm{نفترض} \\ \frac{du}{dx}=\frac{3}{x} \\ dx=\frac{x}{3}du \\ \int \frac{6}{x(1+3\ln x)}dx=\int \frac{6}{x\left(u\right)}\frac{x}{3}du \\ =2\int \frac{1}{u}du \\ =2\ln \left|u\right|+c \end{gathered}$$

 

$4)\int 10x^{4}sec(x^5) \tan (x^5)dx$

الحل:نلاحظ أن مشتقة $5x^4 \mathrm{هي} x^5$, موجودة.

$$\begin{gathered} u=x^5 \mathrm{أن} \mathrm{نفترض} \\ \frac{du}{dx}=5x^4 \\ dx=\frac{du}{5x^4} \\ \int 10x^{4}sec\left(x^5\right)\tan \left(x^5\right) dx=\int 10x^{4}sec\left(u\right)\tan \left(u\right) \frac{du}{5x^4} \\ =\int 2sec\left(u\right)\tan \left(u\right)du \\ =2sec\left(u\right)+c \\ =2sec\left(x^5\right)+c \end{gathered}$$ 

 

$5)\int x^{-3}{\left(2\right)}^{\frac{1}{x^2}}dx$

الحل:

نلاحظ أن مشتقة $-2x^{-3} \mathrm{هي} \frac{1}{x^2}=x^{-2}$, والموجود هو مضاعفاتها

$$\begin{gathered} u=\frac{1}{x^2}=x^{-2} :\mathrm{أن} \mathrm{نفترض} \\ \frac{du}{dx}=-2x^{-3} \\ dx=\frac{-du}{2x^{-3}} \\ \int x^{-3}{\left(2\right)}^{x^{-2}}dx=\int x^{-3} 2^u\frac{-du}{2x^{-3}} \\ =\frac{-1}{2}\int 2^{u}du \\ =\frac{-1}{2}\frac{2^u}{\ln 2}+c \\ =\frac{-1}{2\ln 2}{2}^{x^{-2}}+c \end{gathered}$$

نلاحظ أن التكامل بالتعويض يفيد في تبسيط الاقتران المُكامل

في حالة أن مشتقة جزء منه (أو مضاعف المشتقة) موجود معه.

وأحيانًا بعد إجراء التعويض بدلالة u والاختصارات, يبقى في الاقتران المُكامل المتغير الأصلي (x),

عندئذٍ  نعود إلى فرضنا الأصلي (u) لكتابة x بدلالتها, ويمكن استخدام المتطابقات المثلثية عند الحاجة.

مثال 2: جد كلا من التكاملات الآتية:

$1)\int \frac{4x^3}{\sqrt{x^2+5}}dx$

الحل: نلاحظ أن مشتقة $2x \mathrm{هي} (x^2+5)$, فيمكن اختصارها مع جزء من البسط $\left(4x^3\right)$

يمكن أن نفترض أن $u=\sqrt{x^2+5} \mathrm{أو} u^2=x^2+5$,ونكمل الخطوات.

$$\begin{gathered} u=\sqrt{x^2+5} :\mathrm{أن} \mathrm{نفترض} \\ {u}^2=x^2+5 :\mathrm{الطرفين} \mathrm{بتربيع} \\ 2u\frac{du}{dx}=2x :\mathrm{الضمني} \mathrm{بالاشتقاق} \\ dx=\frac{udu}{x} .\mathrm{مباشرة}(2udu=2xdx :\mathrm{الصورة} \mathrm{على} \mathrm{الاشتقاق} \mathrm{إجراء} \mathrm{ويمكن}) \\ \int \frac{4x^3}{\sqrt{x^2+5}}dx=\int \frac{4x^3}{u}\frac{udu}{x} \\ =4\int x^2 du \end{gathered}$$

نلاحظ وجود المقدار $\left(x^2\right)$ داخل التكامل, ولتحويله بدلالة u,

نستخدم الفرض الأصلي (الناتج بعد تربيع الطرفين)

$u^2=x^2+5 \Rightarrow x^2=u^2-5$

يصبح التكامل المطلوب:

$$\begin{gathered} =4\int (u^2-5)du=4(\frac{1}{3}{u}^3-5u)+c \\ =4(\frac{1}{3}{\left(x^2+5\right)}^{\frac{3}{2}}-5\sqrt{x^2+5})+c \end{gathered}$$

 

$2)\int {(x^4+2x)}^{8}dx$

الحل:

نبدأ بإخراج (x) عامل مشترك من القوس:

$\int x^8{(x^3+2)}^{8}dx$

نلاحظ أن مشتقة $3x^2 \mathrm{هي} (x^3+2)$, يمكن اختصار جزء من $x^8$

$$\begin{gathered} u=x^3+2 :\mathrm{أن} \mathrm{نفترض} \\ \frac{du}{dx}=3x^2 \\ dx=\frac{du}{3x^2} \\ \int x^8{(x^3+2)}^{8}dx=\int x^8{u}^8\frac{du}{3x^2} \\ =\frac{1}{3}\int x^6{u}^{8}du \\ u=x^3+2 :\mathrm{الأصلي} \mathrm{الفرض} \mathrm{إلى} \mathrm{وبالعودة} \\ \mathrm{التكامل} \mathrm{داخل} x^6\mathrm{وجود} \mathrm{نلاحظ} \\ {x}^3=u-2 \\ {x}^6={(u-2)}^2=u^2-4u+4 \\ \frac{1}{3}\int x^6{u}^{8}du=\frac{1}{3}\int (u^2-4u+4)u^{8}du \\ =\frac{1}{3}\int (u^{10}-4u^9+4u^8)du \\ =\frac{1}{3}(\frac{u^{11}}{11}-\frac{2u^{10}}{5}+\frac{4u^9}{9})+c \\ =\frac{1}{3}(\frac{{(x^3+2)}^{11}}{11}-\frac{2{(x^3+2)}^{10}}{5}+\frac{4{(x^3+2)}^9}{9})+c \end{gathered}$$

التكامل بالتعويض لتكاملات تحوي المقدار $\sqrt[n]{ax+b}$:

وذلك عن طريق الاستبدال $u=\sqrt[n]{ax+b}$ للتخلص من صيغة الجذر.

مثال 3: جد كلا من التكاملات التالية:

$$\begin{gathered} 1)\int \frac{dx}{\sqrt[5]{x}-x} \\ u=\sqrt[5]{x} :\mathrm{أن} \mathrm{نفترض} :\mathrm{الحل} \\ {u}^5=x :\mathrm{للطرفين} \mathrm{الخامسة} \mathrm{القوة} \mathrm{بأخذ} \\ 5u^{4}du=dx \\ \int \frac{dx}{\sqrt[5]{x}-x}=\int \frac{5u^{4}du}{u-x} \\ :\mathrm{الأصلي} \mathrm{الفرض} \mathrm{حسب} x=u^5\mathrm{وبتعويض} \\ =\int \frac{5u^{4}du}{u-u^5}=\int \frac{5u^3}{1-u^4}du \\ (-4u^3) \mathrm{هي} (1-u^4) \mathrm{المقام} \mathrm{مشتقة} \mathrm{أن} \mathrm{نلاحظ} \\ :\mathrm{الصيغة} \mathrm{على} \mathrm{التكامل} \mathrm{نكتب} \\ \frac{5}{4}\int \frac{-4u^3}{1-u^4}du=\frac{-5}{4}\ln \left|1-u^4\right|+c \\ =\frac{-5}{4}\ln \left|1-{\left(\sqrt[5]{x}\right)}^4\right|+c \end{gathered}$$

 

$$\begin{gathered} 2)\int \frac{3x}{\sqrt[3]{1+x}}dx \\ :\mathrm{الحل} \\ u=\sqrt[3]{1+x} :\mathrm{أن} \mathrm{نفترض} \\ {u}^3=1+x \\ 3u^{2}du=dx \\ =\int \frac{3x}{u}3u^{2}du=\int 9xu du \\ x=u^3-1:\mathrm{لكن} \\ =9\int (u^3-1)udu \\ =9\int (u^4-u)du \\ =9(\frac{u^5}{5}-\frac{u^2}{2})+c \\ =3(\frac{{\left(\sqrt[3]{1+x}\right)}^5}{5}-\frac{{\left(\sqrt[3]{1+x}\right)}^2}{2})+c \end{gathered}$$

التكامل بالتعويض لاقترانات تتضمن اقتراني الجيب أو جيب التمام المرفوعين إلى أس فردي:

تعلمنا سابقًا إيجاد تكاملات لاقتراني الجيب وجيب التمام المرفوعين إلى أس زوجي (باستخدام متطابقات تقليص القوة)

وكذلك تكامل ناتج ضرب اقتراني جيب, أو جيبي تمام, أو جيب في جيب التمام باستخدام المتطابقات.

والآن سنستخدم متطابقة فيثاغورس $({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1)$ 

والتكامل بالتعويض لحل تكاملات تحتوي اقتراني الجيب أو جيب التمام مرفوع إلى أس فردي.

مثال 4: جد كلا من التكاملات الآتية:

$1)\int {\sin }^{5}x dx$

الحل:

يمكن كتابة ${\sin }^{5}x=\sin x {\sin }^{4}x$

$$\begin{gathered} \int \sin x {\left({\sin }^{2}x\right)}^{2}dx=\int \sin x{(1-{\cos }^{2}x)}^{2}dx \\ .\mathrm{فيثاغورس} \mathrm{متطابقة} \mathrm{باستخدام} \\ u=\cos x :\mathrm{أن} \mathrm{نفترض} \\ \frac{du}{dx}=-\sin x \\ dx=\frac{-du}{\sin x} \\ =\int \sin x{(1-u^2)}^2\frac{-du}{\sin x}=-\int (1-2u^2+u^4)du \\ =-(u-\frac{2}{3}{u}^3+\frac{1}{5}{u}^5)+c \\ =-(\cos x-\frac{2}{3}{\cos }^{3}x+\frac{1}{5}{\cos }^{5}x)+c \end{gathered}$$

 

$2)\int 4{\cos }^{5}x {\sin }^{2}x dx$

الحل:

نفرض هنا أن: u=sin x وذلك لأن مشتقتها (cos x) وعند الاختصار,

يتبقى ${\cos }^{4}x$ أس زوجي لاقتران جيب التمام, عندها يمكن استخدام متطابقة فيثاغورس.

(لاحظ أن الفرض u=cos x, بعد الاختصار سيتبقى sin x, قوته فردية, فيصعب استخدام متطابقة فيثاغورس).

$$\begin{gathered} u=\sin x :\mathrm{أن} \mathrm{نفترض} \\ \frac{du}{dx}=\cos x \\ dx=\frac{du}{\cos x} \\ \int 4{\cos }^{5}x {\sin }^{2}x dx=\int 4{\cos }^5\left(x\right) u^2\frac{du}{\cos x} \\ =4\int {\left({\cos }^{2}x\right)}^2{u}^{2}du \\ u=\sin x \mathrm{لكن} \\ {\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x \\ {\cos }^{2}x=1-u^2 \\ {\left({\cos }^{2}x\right)}^2={(1-u^2)}^2=1-2u^2+u^4 \\ 4\int {\left({\cos }^{2}x\right)}^2{u}^{2}du=4\int (1-2u^2+u^4)u^{2}du \\ =4\int (u^2-2u^4+u^6)du \\ =4(\frac{1}{3}{u}^3-\frac{2}{5}{u}^5+\frac{1}{7}{u}^7)+c \\ =4(\frac{1}{3}{\sin }^{3}x-\frac{2}{5}{\sin }^{5}x+\frac{1}{7}{\sin }^{7}x)+c \end{gathered}$$

التكامل بالتعويض لاقترانات تتضمن الظل, أو ظل التمام, أو القاطع, أو قاطع التمام.

في هذه الحالة. نفترض (u) بطريقة تضمن وجود أس زوجي من الاقتران الآخر,

حتى نتمكن من استخدام متطابقتي فيثاغورس:

${\tan }^{2}x=se{c}^{2}x-1 , co{t}^{2}x=cs{c}^{2}x-1$

مثال 5: جد كلا من التكاملات التالية:

$$\begin{gathered} 1)\int {\tan }^{6}x dx \\ {\tan }^{6}x={\tan }^{2}x {\tan }^{4}x \mathrm{كتابة} \mathrm{يمكن} :\mathrm{الحل} \\ \int {\tan }^{2}x {\tan }^{4}x dx=\int {\tan }^{2}x{\left({\tan }^{2}x\right)}^{2}dx \\ =\int {\tan }^{2}x{(se{c}^{2}x-1)}^{2}dx \\ =\int {\tan }^{2}x(se{c}^{4}x-2se{c}^{2}x+1)dx \\ =\int {\tan }^{2}x se{c}^{2}x(se{c}^{2}x-2)dx+\int {\tan }^{2}x dx \\ \int {\tan }^{2}x se{c}^{2}x(se{c}^2\left(x\right)-2) dx :\mathrm{للتكامل} \mathrm{بالنسبة} \\ u=\tan x :\mathrm{أن} \mathrm{نفترض} \\ \frac{du}{dx}=se{c}^{2}x \\ dx=\frac{du}{se{c}^{2}x} \\ \int {\tan }^{2}x se{c}^{2}x(se{c}^2\left(x\right)-2)dx=\int u^{2}se{c}^{2}x({\tan }^{2}x+1-2)\frac{du}{se{c}^{2}x} \\ =\int u^2(u^2-1)du=\int (u^4-u^2)du \\ =\frac{1}{5}{u}^5-\frac{1}{3}{u}^3+c \\ =\frac{1}{5}{\tan }^{5}x-\frac{1}{3}{\tan }^{3}x+c_1 \\ \int {\tan }^{2}x dx=\int (se{c}^{2}x-1)dx :\mathrm{للتكامل} \mathrm{وبالنسبة} \\ =\tan (x)-x+c_2 \\ :\mathrm{الكلي} \mathrm{التكامل} \mathrm{ناتج} \mathrm{فيكون} \\ =\frac{1}{5}{\tan }^{5}x-\frac{1}{3}{\tan }^{3}x+\tan \left(x\right)-x+c \end{gathered}$$

 

$$\begin{gathered} 2)\int cs{c}^{4}x co{t}^{6}x dx \\ u=cot x :\mathrm{أن} \mathrm{نفترض} \\ \frac{du}{dx}=-cs{c}^{2}x \\ dx=\frac{-du}{cs{c}^{2}x} \\ \int cs{c}^{4}x co{t}^{6}x dx=\int cs{c}^{4}x u^6 \frac{-du}{cs{c}^{2}x} \\ =-\int cs{c}^{2}c * u^6 du \\ =-\int (u^2+1)u^6 du \\ =-\int (u^8+u^6)du \\ =-(\frac{1}{9}{u}^9+\frac{1}{7}{u}^7)+c \\ =-(\frac{1}{9}co{t}^{9}x+\frac{1}{7}co{t}^{7}x)+c \end{gathered}$$

 

$3)\int se{c}^{4}x {\tan }^{3}x dx$

 

الحل:

يمكن هنا افتراض u= tan x (فبعد الاختصار يتبقى $se{c}^{2}x$ ويمكن استخدام متطابقة فيثاغورس)

كما أنه يمكن افتراض u=sec x (فبعد الاختصار يتبقى ${\tan }^{2}x$ ويمكن استخدام متطابقة فيثاغورس)

$$\begin{gathered} u=\tan x :\mathrm{أن} \mathrm{بافتراض} \\ dx=\frac{du}{se{c}^{2}x} \\ \int se{c}^{4}x {\tan }^{3}x dx=\int se{c}^{4}x u^3 \frac{du}{se{c}^{2}x} \\ =\int se{c}^{2}x u^{3 } du (se{c}^{2}x={\tan }^{2}x+1) \mathrm{لكن} \\ =\int (u^2+1)u^{3}du \\ =\int (u^5+u^3)du \\ =\frac{1}{6}{u}^6+\frac{1}{4}{u}^4+c \\ =\frac{1}{6}{\tan }^{6}x+\frac{1}{4}{\tan }^{4}x+c \\ \mathrm{آخر} \mathrm{حل} \\ u=sec x :\mathrm{أن} \mathrm{بافتراض} \\ dx=\frac{du}{secx \tan x} \\ \int se{c}^{4}x {\tan }^{3}x dx=\int u^4{\tan }^{3}x \frac{du}{sec x \tan x} \\ =\int u^4{\tan }^{2}x \frac{du}{u} \\ =\int u^3(u^2-1) du ({\tan }^{2}x=se{c}^2-1)\mathrm{لكن} \\ =\int (u^5-u^3) du \\ =\frac{1}{6}{u}^6-\frac{1}{4}{u}^4+c \\ =\frac{1}{6}se{c}^{6}x-\frac{1}{4}se{c}^{4}x+c \end{gathered}$$

نلاحظ هنا أن الاقتران المُكامل $(se{c}^{4}x {\tan }^{3}x)$ 

يوجد له أكثر من صيغة للاقتران الأصلي (ناتج التكامل) يختلفان عن بعضهما فقط في قيمة ثابت التكامل.

التكامل بالتعويض للتكاملات المحدودة.

لحساب قيمة التكامل المحدود باستخدام التكامل بالتعويض, نستطيع استخدام طريقتين:

الطريقة الأولى: بعد إجراء التكامل بدلالة المتغير الأصلي, نعوض الحدود الأصلية في ناتج التكامل.

الطريقة الثانية: نغير حدود التكامل عند تغيير متغير التكامل.

وسنوضح هاتين الطريقتين في المثال التالي:

مثال 6: جد قيمة كل من التكاملات الآتية:

$1){\int }_0^{\raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\frac{\sin x}{\sqrt{4+\cos x}}dx$

الحل: نفترض أن:

$$\begin{gathered} u=\sqrt{4+\cos x} \\ {u}^2=4+\cos x \\ 2udu=-\sin x dx \\ dx=\frac{-2udu}{\sin x} \end{gathered}$$

الطريقة الأولى: نجري خطوات التكامل وكأنه تكامل غير محدود:

$$\begin{gathered} \int \frac{\sin x}{\sqrt{4+\cos x}}dx=\int \frac{\sin x}{u}\frac{-2udu}{\sin x} \\ =\int -2du \\ =-2u+c \\ =-2\sqrt{4+\cos x}+c \\ {\int }_0^{\raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\frac{\sin x}{\sqrt{4+\cos x}}dx=-2\sqrt{4+\cos }{|}_0^{\raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.} :\mathrm{فيكون} \\ =(-2\sqrt{4})-(-2\sqrt{5}) \\ =-4+2\sqrt{5} \end{gathered}$$

الطريقة الثانية:نغير حدود التكامل:

الحد العلوي: $x=\frac{\mathrm{\pi }}{2} \to u=\sqrt{4+0}=2$

الحد السفلي: $x=0 \to u=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$

فيكون:

$$\begin{gathered} {\int }_0^{\raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\frac{\sin x}{\sqrt{4+\cos x}}dx={\int }_{\sqrt{5}}^2-2du \\ =-2u{|}_{\sqrt{5}}^2 \\ =(-4)-(-2\sqrt{5}) \\ =-4+2\sqrt{5} \end{gathered}$$

وسنستخدم الطريقة الثانية في حل بقية الأمثلة:

$2){\int }_{-1}^{1}6x^2{e}^{x^3-1}dx$

الحل: نفترض أن:

$$\begin{gathered} u=x^3-1 \\ du=3x^{2}dx \\ dx=\frac{du}{3x^2} \end{gathered}$$

تغيير حدود التكامل:

الحد العلوي: $x=1 \to u=1-1=0$

$$الحد السفلي: $x=-1 \to u=-1-1=-2$

يصبح التكامل: 

$$\begin{gathered} {\int }_{-1}^{1}6x^2{e}^{x^3-1}dx={\int }_{-2}^{0}6x^2{e}^u\frac{du}{3x^2} \\ ={\int }_{-2}^{0}2e^{u}du \\ =2e^u{|}_{-2}^0 \\ =2e^0-2e^{-2}=2-\frac{2}{e^2} \end{gathered}$$