التكامل بالكسور الجزئية.
تعلمت سابقاً أن الاقتران النسبي على الصورة $u\left(x\right) = \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$، حيث أن كلاً من g, f كثيرات حدود $g\left(x\right) \ne 0$.

وقد نواجه في ايجاد التكامل مثل تلك الحالة ومن الأمثلة على ذلك:

$\int \frac{x+3}{x^2-1}dx, \int \frac{x^2+1}{x^2-3x}dx, \mathrm{وهكذا}$

و من الجدير بالذكر وجوب الانتباه إلى تلك الحالة التي يكون فيها البسط يساوي مشتقة المقام أو أحد مضاعفاته و هنا لا حاجة لاستخدام الكسور الجزئية بل الحل بالقانون:

$\int \frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx = \ln \left|f\right(x\left)\right| + C$

مثال:

$\int \frac{x}{x^2-1}dx$

الحل:

البسط = مشتقة المقام بعد التعديل

$\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2-1}dx= \frac{1}{2} \ln (x^2-1)+c$

والان كيف نستخدم الكسور الجزئية كطريقة في حل التكامل؟ 

تعلمنا سابقاً أنه يمكن تجزئة الاقتران النسبي إلى ناتج جمع اقترانين نسبيين أو أكثر.

و مثال على ذلك: 

$\frac{3}{x^2-4}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+2}$

حيث إن تحليل المقام $x^2-4=(x+2)(x-2)$

ولايجاد قيمة كل من a, b سنقوم بتوحيد المقام ليصبح الكسر كما يلي: 

 

$\frac{3}{x^2-4}=\frac{a(x+2)+b(x-2)}{x^2-4}$

ومنه فإن: $3 = a(x+2) +b(x-2)$

وعندما x +2 = 0 فإن x = -2

وبتعويض x = -2 سنجد أن: 

$3 = -4b \to b= \frac{-3}{4}$

وبتعويض x-2 = 0 فإن x = 2

وبتعويض x =2 سنجد أن:

$3=4a \to a = \frac{3}{4}$

$$\begin{gathered} \frac{3}{x^2-4}= \frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+2} \mathrm{فإن} \mathrm{لذلك} \\ \frac{3}{x^2-4}= \frac{{\displaystyle \frac{3}{4}}}{x-2}+\frac{{\displaystyle \frac{-3}{4}}}{x+2} \end{gathered}$$

ويمكننا الان إجراء التكامل على النحو التالي: 

$\int \frac{3}{x^2-4}dx = \frac{3}{4}\int \frac{1}{x-2}dx - \frac{3}{4}\int \frac{1}{x+2}$

و المقام خطي و مشتقته موجودة في البسط

$$\begin{gathered} =\frac{3}{4}\ln |x-2| - \frac{3}{4}\ln \hspace{0.17em}|x+2| + c \\ =\frac{3}{4}\ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right| + c \mathrm{اللوغرتمات} \mathrm{قوانين} \mathrm{من} \end{gathered}$$

ومن الحالات التي سنناقشها في هذا الدرس تجزئة الكسور ما يلي:

1) عوامل المقام كثيرات حدود خطية مختلفة كما في المثال السابق.

و من الامثلة عليها:

$$\begin{gathered} a) x^2-2x= x(x-2\left) \\ b\right) x^2-3x+2 = (x-1)(x-2) \\ c) x^3-4x = x(x-2\left)\right(x+2) \end{gathered}$$

لاحظ أن كافة العوامل كثيرات حدود خطية مختلفة.

2) عوامل المقام كثيرات حدود خطية أحدهما مكرر:

مثال ذلك:$x{(x+1)}^2=x(x+1)(x+1)$

لاحظ تكرار العامل x +1

3) عوامل المقام كثيرات حدود أحدهما تربيعي غير قابل للتحليل( مميزه سالب) و غير مكرر.

ومثال ذلك: $\frac{x^2-x}{(x+1)(x^2+1)}$

لاحظ العامل $x^2+1$( مميزه سالب) غير قابل للتحليل و غير مكرر.

وسنعرض الان مجموعة من الامثلة التوضيحية لكل من الحالات السابقة. 

الحالة الأولى: عوامل المقام كثيرات حدود خطية مختلفة.

مثال: 

$\int \frac{x+2}{x^2-3x}dx \mathrm{قيمة} \mathrm{جد}$

الحل: 

لاحظ بداية أن البسط ليس مشتقة المقام و المقام عبارة تربيعية قابلة للتحليل فيكون كتابة الكسر على النحو التالي: 

 $\frac{x+2}{x^2-3x}= \frac{a}{x}+\frac{b}{x-3}$

حيث x-3 , x عوامل المقام.

$$\begin{gathered} \frac{x+2}{x^2-3x}= \frac{a(x-3) + bx}{x^2-3x} \mathrm{المقام} \mathrm{توحيد} \mathrm{بعد} \\ x +2 = a(x-3) + bx \end{gathered}$$

عندما x = 0 فإن: 

$2 = -3a \to a = \frac{-2}{3}$

عندما x = 3 فإن: 

$5 = 3b \to b = \frac{5}{3}$

$$\begin{gathered} \int \frac{x+2}{x^2-3x}dx = \frac{-2}{3}\int \frac{1}{x}dx + \frac{5}{3}\int \frac{1}{x-3 } \mathrm{فإن} \mathrm{ومنه} \\ = \frac{-2}{3}\ln \left|x\right| + \frac{5}{3}\ln |x-3| + c \end{gathered}$$

مثال 2)

جد قيمة $\int \frac{x^2+1}{x^2+3x-4}dx$:

لاحظ أن درجة البسط تساوي درجة المقام فلا يمكن تجزئة الكسر حتى تصبح درجة المقام أقل من درجة البسط و لحل هذه الإشكالية سنلجأ إلى واحدة مما يلي:

1) الإضافة و الطرح

2) القسمة الطويلة

$\frac{x^2+1}{x^2+3x-4} = \frac{x^2+3x-4}{x^2+3x-4}+ \frac{-3x+5}{x^2+3x-4}$

ولتحقق يمكن جمع البسط ليصبح $x^2+1$

$= 1 + \frac{-3x+5}{x^2+3x-4}$

الان يمكن القيام بالتجزئة:

$$\begin{gathered} \frac{-3x+5}{x^2+3x-4}= \frac{a}{x+4}+ \frac{b}{x-1} \\ \frac{-3x+5}{x^2+3x-4}= \frac{a(x-1) + b(x+4)}{x^2+3x-4} \mathrm{المقام} \mathrm{توحيد} \mathrm{بعد} \\ -3x+5 = a(x-1) +b(x+4) \end{gathered}$$

عندما x= -4 فإن

$17 = -5 a \to a= \frac{-17}{5}$

عندما x = 1 فإن: 

$2 = 5b \to b =\frac{2}{5}$

بالتالي: 

$$\begin{gathered} \int \frac{x^2+1}{x^2+3x-4}dx = \int 1dx - \frac{17}{5}\int \frac{1}{x+4}dx + \frac{2}{5}\int \frac{1}{x-1}dx \\ = x -\frac{17}{5}\ln |x+4| +\frac{2}{5}\ln |x-1| +c \end{gathered}$$

 

2)عوامل المقام كثيرات حدود خطية أحدها مكرر:

مثال:

أجد:

$\int \frac{x^2+1}{x{(x+2)}^2}dx$

الحل: يمكن إعادة كتابة المقدار على النحو التالي:

$\frac{x^2+1}{x{(x+2)}^2}=\frac{a}{x}+\frac{b}{(x+2)}+\frac{c}{{(x+2)}^2}$

وبتوحيد المقام نجد أن:

$$\begin{gathered} \frac{x^2+1}{x{(x+2)}^2}=\frac{a{(x+2)}^2+bx(x+2)+cx}{x{(x+2)}^2} \\ {x}^2+1=a{(x+2)}^2+bx(x+2)+cx \\ 5=-2c \to c=\frac{-5}{2} :\mathrm{فإن} x=-2 \mathrm{عندما} \\ 1=4a \to a=\frac{1}{4} :\mathrm{فإن} x=0 \mathrm{عندما} \\ 2=\frac{1}{4}\left(1\right)+-b+\frac{5}{2} \mathrm{العوامل} \mathrm{أحد} \mathrm{وليست} \mathrm{افتراضية} \mathrm{قيمة} \mathrm{وهذه} :x=-1 \mathrm{عندما} \\ b=\frac{3}{4} \mathrm{أن} \mathrm{نجد} b \mathrm{قيمة} \mathrm{وبحل} \end{gathered}$$

 بالتالي فإن:

$$\begin{gathered} \int \frac{x^2+1}{x{(x+2)}^2}dx=\frac{1}{4}\int \frac{1}{x}dx+\frac{3}{4}\int \frac{1}{x+2}dx-\frac{5}{2}\int \frac{1}{{(x+2)}^2}dx \\ =\frac{1}{4}\ln \left|x\right|+\frac{3}{4}\ln \left|x+2\right|+\frac{5}{2(x+2)}+c \end{gathered}$$

مثال 2:

أجد قيمة:

$\int \frac{x-1}{3x^3+6x^2+3x}dx$

الحل: يمكن إعادة كتابة الكسر بعد تحليل المقام على النحو التالي:

$$\begin{gathered} \frac{x-1}{3x{(x+1)}^2}=\frac{1}{3}\frac{x-1}{x{(x+1)}^2} \\ =\frac{1}{3}(\frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{{(x+1)}^2}) \end{gathered}$$

وبعد توحيد المقام نجد أن:

$$\begin{gathered} x-1=a{(x+1)}^2+bx(x+1)+c\left(x\right) \\ -2=-c \to c=2 :\mathrm{فإن} x=-1 \mathrm{عندما} \\ -1=a \to a=-1 :\mathrm{فإن} x=0 \mathrm{عندما} \\ 0=4a+2b+c :\mathrm{فإن} \mathrm{افتراضية} \mathrm{قيمة} x=1 \mathrm{عندما} \\ 0=-4+2b+2 \\ b=1 \mathrm{أن} \mathrm{نجد} a,b \mathrm{من} \mathrm{كل} \mathrm{قيمة} \mathrm{وبتعويض} \end{gathered}$$

ليصبح ناتج التجزئة ما يلي:

$$\begin{gathered} \int \frac{x-1}{3x{(x+1)}^2}dx=\frac{-1}{3}\int \frac{1}{x}dx+\frac{1}{3}\int \frac{1}{x+1}dx+\frac{2}{3}\int \frac{1}{{(x+1)}^2}dx \\ =\frac{-1}{3}\ln \left|x\right|+\frac{1}{3}\ln \left|x+1\right|-\frac{2}{3(x+1)}+c \end{gathered}$$

3)عوامل المقام كثيرات حدود و أحدها تربيعي غير قابل للتحليل وغير مكرر

مثال:

أجد قيمة: $\int \frac{4x^2+1}{x^3+x}dx$

الحل: يمكن كتابة الكسر على النحو التالي:

$\frac{4x^2+1}{x(x^2+1)}=\frac{a}{x}+\frac{bx+c}{x^2+1}$ 

ملاحظة: البسط أقل درجة من المقام عند التجزئة.

وبتوحيد المقام نجد أن:

$$\begin{gathered} \frac{4x^2+1}{x(x^2+1)}=\frac{a(x^2+1)+x(bx+c)}{x(x^2+1)} \\ 4x^2+1=a(x^2+1)+x(bx+c) \\ 1=a \to a=1 :\mathrm{فإن} x=0 \mathrm{عندما} \\ 5=2+b-c :a=1و \mathrm{افتراضية} \mathrm{قيمة} x=-1 \mathrm{عندما} \\ 3=b-c\to \left(1\right) \\ 5=2+b+c :a=1و \mathrm{افتراضية} \mathrm{قيمة} x=1 \mathrm{عندما} \\ 3=b+c\to \left(2\right) \\ 6=2b \to b=3 \mathrm{أن} \mathrm{نجد} ,\left(1\right) ,\left(2\right) \mathrm{المعادلتين} \mathrm{وبحل} \\ 3=3-c \to c=0 b=3 \mathrm{وتعويض} \left(1\right) \mathrm{إلى} \mathrm{بالعودة} \end{gathered}$$

ليصبح الكسر على النحو التالي:

ملاحظة: يجب أن يكون البسط = مشتقة المقام هنا دائمًا 

$$\begin{gathered} \int \frac{4x^2+1}{x^3+x}dx=\int \frac{1}{x}dx+3\int \frac{x}{x^2+1}dx \\ =\ln \left|x\right|+\frac{3}{2}\int \frac{2x}{x^2+1}dx \\ =\ln \left|x\right|+\frac{3}{2}\ln \left|x^2+1\right|+c \end{gathered}$$

التكامل بالكسور الجزئية لتكاملات محدودة.

مثال:

ما قيمة  ${\int }_2^3\frac{4x^2+x+1}{x^3-1} dx$؟

الحل: يمكن إعادة كتابة المقدار على النحو التالي

$$\begin{gathered} \frac{4x^2+x+1}{x^3-1}=\frac{a}{x-1}+\frac{bx+c}{x^2+x+1} \mathrm{مكعبين} \mathrm{بين} \mathrm{الفرق} \mathrm{تحليل} \\ 4x^2+x+1=a(x^2+x+1)+(x-1)(bx+c) \\ 6=3a \to a=2 \mathrm{فإن} x=1 \mathrm{عندما} \\ 4=2+2b-2c a=2 ,\mathrm{افتراضية} \mathrm{قيمة} x=-1 \mathrm{عندما} \\ 1=b-c \to \left(1\right) \\ 1=2-c \to c=1 a=0 ,\mathrm{افتراضية} \mathrm{قيمة} x=0 \mathrm{عندما} \\ 1=b-1\to b=2 b \mathrm{قيمة} \mathrm{وحل} \left(1\right) \mathrm{المعادلة} \mathrm{إلى} \mathrm{بالعودة} \end{gathered}$$

ليصبح: 

$$\begin{gathered} {\int }_2^3\frac{4x^2+x+1}{x^3-1}dx =2{\int }_2^3\frac{1}{x-1}dx +{\int }_2^3\frac{2x+1}{x^2+x+1}dx \\ =2\ln \left|x-1\right|{|}_2^3 +\ln \left|x^2+x+1\right|{|}_2^3 \\ =2(\ln \left|2\right|-\ln \left|1\right|)+\ln \left|13\right|-\ln \left|7\right| \\ =\ln 4+\ln 13-\ln 7 \\ =\ln \frac{52}{7} \end{gathered}$$

التكامل بالكسور الجزئية والتكامل بالتعويض.

مثال:

أجد قيمة $\int \frac{\cos x}{{\sin }^{2}x+\sin x} dx$

لاحظ أنه لا يمكن أن نبدأ بتجزئة الكسر كون محتوياته ليست كثيرات حدود, لذلك سنفكر في حل آخر هو التعويض

$$\begin{gathered} u=\sin x \mathrm{بفرض} \\ dx=\frac{du}{\cos x} \end{gathered}$$

بالعودة والتعويض نجد أن

$\int \frac{\cos x}{{\sin }^{2}x+\sin x}dx=\int \frac{\cos x}{u^2+u}\times \frac{du}{\cos x}$

باختصار cos x.

الكسر الآن تنطبق عليه شروطة التجزئة.

$$\begin{gathered} \int \frac{1}{u^2+u}du \\ \frac{1}{u^2+u}=\frac{a}{u}+\frac{b}{u+1} \end{gathered}$$

بتوحيد المقام

$$\begin{gathered} 1=a(u+1)+bu \\ 1=a u=0 \mathrm{عندما} \\ 1=-b \to =-1 u=-1 \mathrm{عندما} \end{gathered}$$

 

بالتالي فإن:

$$\begin{gathered} \int \frac{1}{u^2+u}du=\int \frac{1}{u}du -\int \frac{1}{u+1}du \\ =\ln \left|u\right|-\ln \left|u+1\right|+c \\ =\ln \left|\frac{u}{u+1}\right|+c \end{gathered}$$

وبإعادة u=sinx

$=\ln \left|\frac{\sin x}{\sin x+1}\right|+c$

مثال:

أجد قيمة  ${\int }_2^4\frac{1}{x{\left(\ln x\right)}^2-x}dx$

الحل:

$$\begin{gathered} u=\ln x \mathrm{بفرض} \\ dx=\frac{du}{{\displaystyle \frac{1}{x}}} \\ dx=xdu \\ \int \frac{1}{x({\left(\ln x\right)}^2-1)}dx=\int \frac{1}{x(u^2-1)}xdu \mathrm{فإن} \mathrm{ومنه} \end{gathered}$$

باختصار x نجد أن:

$$\begin{gathered} \int \frac{1}{u^2-1}du=\int \frac{a}{u-1}du +\int \frac{b}{u+1}du \\ 1=a(u+1)+b(u-1) \\ 1=2a \to a=\frac{1}{2} u=1 \mathrm{عندما} \\ 1=-2b \to b=-\frac{1}{2} u=-1 \mathrm{عندما} \end{gathered}$$

بالتالي:

$$\begin{gathered} \int \frac{1}{u^2-1}du=\frac{1}{2}\int \frac{1}{u-1}du -\frac{1}{2}\int \frac{1}{u+1}du \\ =\frac{1}{2}\ln \left|u-1\right|-\frac{1}{2}\ln \left|u+1\right| \end{gathered}$$

بإعادة u=lnx

   $$\begin{gathered} =\frac{1}{2}\ln \left|\ln x-1\right|{|}_2^4 -\frac{1}{2}\ln \left|\ln x+1\right|{|}_2^4 \\ =\frac{1}{2}\ln \left|\left(\ln 4\right) -1\right|-\frac{1}{2}\ln \left|\left(\ln 2\right) -1\right|-\frac{1}{2}\ln \left|\ln \left(4\right) +1\right|+\frac{1}{2}\ln \left|\ln \left(2\right)+1\right| \\ =\frac{1}{2}\ln \left|\frac{\ln 4-1}{\ln 4+1}\right|+\frac{1}{2}\ln \left|\frac{\ln 2+1}{\ln 2-1}\right| \end{gathered}$$