الشرح - الصف التوجيهي علمي - رياضيات - مدرسة جواكاديمي

الضرب القياسي للمتجهات في الفضاء:

نعلم أن الضرب القياسي لمتجهين في المستوى الإحداثي يعرف بالقاعدة:

إذا كان $\overset{⇀}{v} = < v_{1}, v_{2} >, \overset{⇀}{w} = < w_{1}, w_{2} >$ متجهين فإن:

$\overset{⇀}{v} . \overset{⇀}{w} = v_{1} w_{1} + v_{2} w_{2} = |\overset{⇀}{v}| . |\overset{⇀}{w}| . \cos θ$

وهي كمية قياسية (قيمة عددية)

حيث $θ$ الزاوية بين المتجهين $\overset{⇀}{v} و \overset{⇀}{w}$

و يمكن تعميم الضرب القياسي للمتجهين $\overset{⇀}{w} = < w_{1}, w_{2}, w_{3} > و \overset{⇀}{v} = < v_{1}, v_{2}, v_{3} >$ في الفضاء بالطريقة ذاتها, فيكون:

$\overset{⇀}{v} . \overset{⇀}{w} = v_{1} . w_{1} + v_{2} . w_{2} + v_{3} . w_{3} \overset{⇀}{v} . \overset{⇀}{w} = |\overset{⇀}{v}| . |\overset{⇀}{w}| . \cos θ : أيضًا$

حيث $θ$ هي الزاوية بين المتجهين $\overset{⇀}{w} و \overset{⇀}{v}$ عند رسمها من النقطة نفسها لاحظ الشكل:

ويمكن كتابة: $θ = \cos^{- 1} \frac{\overset{⇀}{v} . \overset{⇀}{w}}{|\overset{⇀}{v}| . |\overset{⇀}{w}|}$

حيث $\overset{⇀}{w} و \overset{⇀}{v}$ متجهان غير صفريين

مثال 1: إذا كان

$\overset{⇀}{v} = < - 2, 4, 1 >, \overset{⇀}{u} = < 1, - 1, 2 > \overset{⇀}{w} = < - 3, 3, - 6 > \overset{⇀}{a} = < - 1, 2, - 10 >$

فجد كل مما يلي:

$1) \overset{⇀}{v} . \overset{⇀}{w} \overset{⇀}{v} . \overset{⇀}{w} = < - 2, 4, 1 > . < - 3, 3, - 6 > : الحل = (- 2) (- 3) + (4) (3) + (1) (- 6) = 6 + 12 - 6 = 12$

$2) \overset{⇀}{w} و \overset{⇀}{v} المتجهين بين الزاوية قياس \overset{⇀}{v} . \overset{⇀}{w} = |\overset{⇀}{v}| . |\overset{⇀}{w}| . \cos θ : الحل$

حيث $θ$ الزاوية بين المتجهين $\overset{⇀}{w} و \overset{⇀}{v}$

$12 = \sqrt{4 + 16 + 1} . \sqrt{9 + 9 + 36} . \cos θ 12 = \sqrt{21} . \sqrt{54} \cos θ θ = \cos^{- 1} (\frac{12}{\sqrt{21} \sqrt{54}}) θ \approx 15 ° الحاسبة الآلة باستخدام$

قياس الزاوية بين المتجهين $15 ° هو \overset{⇀}{w} و \overset{⇀}{v}$ تقريبًا

$3) \overset{⇀}{u} و \overset{⇀}{w} المتجهين بين الزاوية قياس : الحل \overset{⇀}{u} . \overset{⇀}{w} = < 1, - 1, 2 > . < - 3, 3, - 6 > = - 3 + - 3 + - 12 = - 18 |\overset{⇀}{u}| = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} |\overset{⇀}{w}| = \sqrt{9 + 9 + 36} = \sqrt{54} \overset{⇀}{u} . \overset{⇀}{w} = |\overset{⇀}{u}| . |\overset{⇀}{w}| . \cos θ : باستخدام - 18 = \sqrt{6} \sqrt{54} . \cos θ : \overset{⇀}{w} و \overset{⇀}{u} بين الزاوية θ حيث \cos θ = \frac{- 18}{\sqrt{324}} = - 1 θ = 180 ° فإن \cos θ = - 1 أن بما$

وهذا يعني أن المتجهين $\overset{⇀}{w} و \overset{⇀}{u}$ متعاكسان في الاتجاه (أي أنهما متوازيان)

$4) \overset{⇀}{a} و \overset{⇀}{v} المتجهين بين الزاوية قياس : الحل \overset{⇀}{a} . \overset{⇀}{v} = < - 1, 2, - 10 > . < - 2, 4, 1 > = 2 + 8 + - 10 = 0 : فإن β هي \overset{⇀}{v} و \overset{⇀}{a} بين الزاوية أن وبفرض, |\overset{⇀}{v}| \neq 0 و |\overset{⇀}{a}| \neq 0 ولأن \cos β = \frac{\overset{⇀}{a} . \overset{⇀}{v}}{|\overset{⇀}{a}| . |\overset{⇀}{v}|} = 0 β = 90 °$

أي أن المتجهين $\overset{⇀}{v} و \overset{⇀}{a}$ متعامدان.

لاحظ أنه:

عندما تكون الزاوية بين المتجهين $\overset{⇀}{v} و \overset{⇀}{a}$ قائمة

$\overset{⇀}{a} . \overset{⇀}{v} = |\overset{⇀}{a}| . |\overset{⇀}{v}| . \cos 90 ° : فإن$

بذلك:

يمكن استنتاج شرط تعامد متجهين غير صفرين, هو أن ناتج ضربهما القياسي يساوي صفرٍا

الزاوية بين مستقيمين في الفضاء:

يمكن إيجاد قياس الزاوية بين أي مستقيمين في الفضاء عن طريق إيجاد قياس الزاوية بين اتجاهيهما باستعمال الضرب القياسي للمتجهات

مثال2: جد قياس الزاوية الحادة (مقربة إلى أقرب درجة) بين المستقيمين التي معادلتيهما المتجهة:

$L_{1} : \overset{⇀}{r} = < 1, - 3, 4 > + t < 1, 3, - 4 > L_{2} : \overset{⇀}{r} = - \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{R} + s (- \hat{i} - 4 \hat{j} - 2 \hat{R})$

الحل:

بإيجاد الضرب القياسي لمتجهي اتجاه المستقيمين:

$\overset{⇀}{a} = < 1, 3, - 4 > : L_{1} المستقيم اتجاه \overset{⇀}{b} = < - 1, - 4, - 2 > : L_{2} المستقيم اتجاه \overset{⇀}{a} . \overset{⇀}{b} = - 1 + - 12 + 8 = - 5 : |\overset{⇀}{b}| و |\overset{⇀}{a}| من كل بإيجاد |\overset{⇀}{a}| = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26} |\overset{⇀}{b}| = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21}$

باستخدام صيغة الزاوية بين المتجهين $θ وهي, \overset{⇀}{b} و \overset{⇀}{a}$ :

$\cos θ = \frac{\overset{⇀}{a} . \overset{⇀}{b}}{|\overset{⇀}{a}| . |\overset{⇀}{b}|} \cos θ = \frac{- 5}{\sqrt{26} \sqrt{21}} θ = \cos^{- 1} \frac{- 5}{\sqrt{26} \sqrt{21}} θ \approx 102 ° : الحاسبة الآلة باستخدام$

فيكون قياس الزاوية بين المستقيمين L₁ و L₂ تقريبا 102 وهي زاوية منفرجة.

قياس الزاوية الحادة بين المستقيمين L₁ و L₂ j تقريبا هي

$180 ° - 102 ° = 78 °$

إيجاد مساحة المثلث باستعمال المتجهات:

يمكن توظيف الضرب القياسي للمتجهات في إيجاد مساحة مثلث في الفضاء عُلمت إحداثيات رؤوسه.

لاحظ الشكل المجاور:

لإيجاد مساحة المثلث ABC:

1)نجد متجهين لهما نقطة البداية نفسها مثل: $\overset{⇀}{A C} و \overset{⇀}{A B}$

2)نجد قياس الزاوية بينهما $θ$ عن طريق الضرب القياسي وصيغة الزاوية بين المتجهين.

3)نستخدم صيغة مساحة المثلث:

$A r e a = \frac{1}{2} |\overset{⇀}{A B}| . |\overset{⇀}{A C}| . \sin θ$

مثال 3: جد مساحة المثلث ABC حيث:

A(0,1,3) , B(1,-2,3) , C(-2,1,4)

الحل: بإيجاد المتجهين $\overset{⇀}{A C} و \overset{⇀}{A B}$ :

$\overset{⇀}{A B} = < 1 - 0, - 2 - 1, 3 - 3 > = < 1, - 3, 0 > \overset{⇀}{A C} = < - 2 - 0, 1 - 1, 4 - 3 > = < - 2, 0, 1 >$

بإيجاد قياس الزاوية $θ$ بين المتجهين $\overset{⇀}{A C} و \overset{⇀}{A B}$ :

$\overset{⇀}{A B} . \overset{⇀}{A C} = < 1, - 3, 0 > . < - 2, 0, 1 > = - 2 + 0 + 0 = - 2 |\overset{⇀}{A B}| = \sqrt{1 + 9 + 0} = \sqrt{10} |\overset{⇀}{A C}| = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5} θ = \cos^{- 1} \frac{\overset{⇀}{A B} . \overset{⇀}{A C}}{|\overset{⇀}{A B}| . |\overset{⇀}{A C}|} θ = \cos^{- 1} \frac{- 2}{\sqrt{10} \sqrt{5}} θ \approx 106.4 ° : الحاسبة الآلة باستخدام A r e a = \frac{1}{2} |\overset{⇀}{A B}| . |\overset{⇀}{A C}| . \sin θ : وبذلك = \frac{1}{2} (\sqrt{10} \sqrt{5}) (\sin 106.4 °) \approx 3.4$

فتكون مساحة المثلث ABC تقريبًا 3.4 وحدة مربعة.

مسقط العامود على مستقيم من نقطة خارجه:

مسقط العمود من النقطة p الواقعة خارجه المستقيم L هي نقطة تقاطع العمود من p على L مع المستقيم L لاحظ الشكل أدناه:

النقطة F هي مسقط العمود من P على المستقيم L .

وإذا كانت النقطة p تقع على المستقيم L فمسقط العمود هو نفس النقطة P

و يمكن توظيف الضرب القياسي للمتجهات في إيجاد مسقط العمود من النقطة p على المستقيم L باستخدام شرط تعامد متجهين.

وكذلك يمكن إيجاد أقصر مسافة في الفضاء بين نقطة ومستقيم وذلك بإيجاد البعد بين النقطة p ومسقط العمود منها على المستقيم L.

مثال 4: إذا كانت $\overset{⇀}{r} = < 1, - 1, 2 > + t < 1, 4, - 1 >$ معادلة متجهة للمستقيم L والنقطة p(2,2,-3) لا تقع عليه.

1)جد مسقط العمود من النقطة p على المستقيم L

الحل: لاحظ الشكل المجاور:

حيث o نقطة الأصل F مسقط العمود من p على المستقيم L

بكتابة $\overset{⇀}{O F} و \overset{⇀}{O P} بدلالة \overset{⇀}{P F}$ باستخدام قاعدة المثلث في جمع المتجهات:

$\overset{⇀}{P F} = \overset{⇀}{P O} + \overset{⇀}{O F} = - \overset{⇀}{O P} + \overset{⇀}{O F} O (0, 0, 0) حيث P (2, 2, - 3) F (1 + t, - 1 + 4 t, 2 - t)$

ولأن F تقع على المستقيم L إذن F تحقق معادلته المتجهة وهي:

$\overset{⇀}{r} = < 1, - 1, 2 > + t < 1, 4, - 1 > \overset{⇀}{P F} = - < 2, 2, - 3 > + < 1 + t, - 1 + 4 t, 2 - t > = < t - 1, 4 t - 3, - t + 5 >$

بما أن $\overset{⇀}{P F}$ يعامد المستقيم L فإن $\overset{⇀}{P F}$ يعامد اتجاه المستقيم L أي أن:

$< 1, 4, - 1 > يعامد \overset{⇀}{P F} \overset{⇀}{P F} . < 1, 4, - 1 > = 0 (التعامد شرط) إذن < t - 1, 4 t - 3, - t + 5 > . < 1, 4, - 1 > = 0 (t - 1) + 4 (4 t - 3) + - 1 (- t + 5) = 0 t - 1 + 16 t - 12 + t - 5 = 0 18 t - 18 = 0 t = 1$

لتحديد النقطة F نعوض t=1 في متجه موقع النقطة F

$\overset{⇀}{O F} = < 1 + t, - 1 + 4 t, 2 - t > = < 2, 3, 1 >$

فيكون مسقط العمود من p على المستقيم L هو النقطة F(2,3,1)

2)جد بُعد النقطة p عن المستقيم L

الحل: لإيجادبعد النقطة p عن المستقيم L نجد طول المتجه $\overset{⇀}{P F}$ لكن: F(2,3,1) , p(2,2,-3)

فيكون:

$\overset{⇀}{P F} = < 2 - 2, 3 - 2, 1 - - 3 > = < 0, 1, 4 > |\overset{⇀}{P F}| = \sqrt{0 + 1 + 16} = \sqrt{17} : إذن$

فيكون بُعد النقطة P عن المستقيم L هو $\sqrt{17}$ وحدة

استعمال المتجهات لتحديد قياسات في الفضاء:

يمكن توظيف الضرب القياسي للمتجهات في إيجاد قياسات بعض الزوايا والأضلاع في مستويات مائلة ضمن أشكال ثلاثية الأبعاد

مثال:

يظهر الشكل المجاور الهرم ABCDE, قاعدته المربعة ABCD والنقطة M منتصف $B C$

حيث:

$A (2, 01), B (10, - 2, - 1), C (10, - 8, 5), D (2, - 6, 7), E (10, 5, 9)$

جد قياس الزاوية AME مقربة إلى أقرب عُشر درجة

الحل:

نفرض أن الزاوية AME= $θ$

الزاوية $θ$ محصورة بين المتجهين $\overset{⇀}{M E} و \overset{⇀}{M A}$ ولهما نقطة البداية نفسها (M)

إحداثيات النقطة M منتصف $B C$ هي:

$M (\frac{10 + 10}{2}, \frac{- 2 - 8}{2}, \frac{- 1 + 5}{2}) M (10, - 5, 2) A (2, 0, 1), E (10, 5, 9), M (10, - 5, 2) : النقط \overset{⇀}{M E} = < 10 - 10, 5 - - 5, 9 - 2 > = < 0, 10, 7 > \overset{⇀}{M A} = < 2 - 10, 0 - - 5, 1 - 2 > = < - 8, 5, - 1 > : θ الزاوية قياس لإيجاد القياسي الضرب نستخدم \overset{⇀}{M E} . \overset{⇀}{M A} = |\overset{⇀}{M E}| . |\overset{⇀}{M A}| . \cos θ < 0, 10, 7 > . < - 8, 5, - 1 > = \sqrt{0 + 100 + 49} . \sqrt{64 + 25 + 1} . \cos θ 0 + 50 + - 7 = \sqrt{149} . \sqrt{90} \cos θ 43 = \sqrt{149} \sqrt{90} \cos θ \cos θ = \frac{43}{\sqrt{149} \sqrt{90}} θ = \cos^{- 1} \frac{43}{\sqrt{149} \sqrt{90}} θ \approx 68.2 ° : الحاسبة الآلة باستخدام 68.2 ° تقريبا تساوي A M E الزاوية قياس : إذن$

رياضيات

التوجيهي علمي

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS