رياضيات فصل ثاني

حلول أسئلة اتحقق من فهمي

أعمارٌ: يبيّنُ الجدولُ المجاورُ العلاقةَ بينَ طولِ الإنسانِ وعُمُرِهِ بالسنواتِ، هلْ هذهِ علاقةُ تناسُبٍ  أبرّرُ إجابتي       

العمر (yr)	4	6	9	12
الطول (m)	1	1.1	1.3	1.5

أكتبُ النِّسبَ على شكلِ كُسورٍ، ثمَّ أَجِدُ معدَّلَ الوحدةِ لكلِّ نسبةٍ:

$\frac{\mathbf{ }\mathbf{الطول}\mathbf{ }}{\mathbf{ }\mathbf{العمر}\mathbf{ }}\mathbf{\Rightarrow }\frac{1}{4}\mathbf{ }=0.25 , \frac{1.1}{6}=0.18 ,\frac{1.3}{9}=0.14,\frac{1.5}{12}=0.125$

ليست تناسب لأن النسب غير متساوية.

 

تدّخِرُ لميسُ مِنْ مَصروفِها 3 دنانيرَ كلَّ أسبوعَينِ. أبيّنُ ما إذا كانَتِ العلاقةُ بينَ ما تدّخِرُهُ لميسُ وعددِ الأسابيعِ يمثّلُعلاقةَ تناسُبٍ أَم لا

الخطوة الأولى: أنشئ جدول يربط بين ما تدّخِرُهُ لميسُ وعددِ الأسابيعِ

الاسبوع	2	4	6	8
المبلغ	3JD	6JD	9JD	12JD

الخطوة الثانية: أكتبُ النِّسبَ على شكلِ كُسورٍ، ثمَّ أَجِدُ معدَّلَ الوحدةِ لكلِّ نسبةٍ:

$\frac{\mathbf{ }\mathbf{التوفير}\mathbf{ }\mathbf{ }}{\mathbf{ }\mathbf{الاسابيع}\mathbf{ }}\mathbf{\Rightarrow }\frac{3}{2}\mathbf{,}\frac{6}{4}=\frac{3}{2},\frac{9}{6}=\frac{3}{2},\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$

بما أنَّ معدَّلاتِ الوحدةِ لجميعِ النِّسبِ متساويةٌ، إذنْ، توجَدُ علاقةُ تناسُبٍ 

 

عملٌ: يتقاضى عاملٌ عَنْ كلِّ ساعةِ عملٍ 5JD إضافةً إلى 4JD بدلَ وجبةِ طعامٍ، هلِ العلاقةُ بينَ ما يتقاضاهُ العاملُ وعددِ ساعاتِ عملِهِ علاقةُ تناسُبٍ؟ أبرّرُ إجابتي.

الخطوة الأولى: أنشئ جدول يربط بينَ ما يتقاضاهُ العاملُ وعددِ ساعاتِ 

عدد الساعات	1	2	3	4
المبلغ (JD)	9	14	19	24

المبلغ عن عمل ساعة  9JD= 5+4 

المبلغ عن عمل ساعتين  14JD= 10+4 

المبلغ عن عمل 3ساعات 19JD= 15+4 

المبلغ عن عمل 4ساعات 24JD= 20+4 

الخطوة الثانية: أكتبُ النِّسبَ على شكلِ كُسورٍ، ثمَّ أَجِدُ معدَّلَ الوحدةِ لكلِّ نسبةٍ:

$\frac{\mathbf{ }\mathbf{المبلغ}\mathbf{ }\mathbf{ }}{\mathbf{ }\mathbf{الساعات}\mathbf{ }}\mathbf{\Rightarrow }9\mathbf{,}\frac{14}{2}=7,\frac{19}{3},\frac{24}{4}=6$

بما أنَّ معدَّلاتِ الوحدةِ لجميعِ النِّسبِ غير متساويةٌ، إذنْ، لا توجَدُ علاقةُ تناسُبٍ

 

أشجارٌ: يبيّنُ الجدولُ المجاورُ العلاقةَ بينَ تزايُدِ قُطرِ جذعِ إحدى الأشجارِ بِمُرورِ السنواتِ. أستخدمُ التمثيلَ البيانيَّ لأبيّنَ ما إذا كانَتِ العلاقةُ تمثّلُ علاقةَ تناسُبٍ أَمْ لا، وأبرّرُ إجابتي.

الزمن (yr)	0	10	20	30	50
القطر (cm)	10	14	18	22	30

الخطوة الأولى: أكتبُ النِّسبَ في الجدولِ على شكلِ أزواجٍ مرتَّبةٍ:

$\left(\begin{array}{cc}0,& 10\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}10,& 14\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}20,& 18\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}30,& 22\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}50,& 30\end{array}\right)$

الخطوة الثانية: أمثّلُ الأزواجَ المرتَّبةَ في المستوى الإحداثيِّ، وأَصِلُ بينَها بِمستقيمٍ

 

 

 

 

 

 

بما ان التمثيل البياني مستقيم لا يمر بنقطة الأصل. لا يمثل علاقة تناسب. 

---

حلول أسئلة اتدرب وأحل المسائل

أحددُ أيُّ العلاقاتِ المبيَّنةِ في الجداولِ الآتيةِ تمثّلُ علاقةَ تناسُبٍ، وأبرّرُ إجابتي:

1)              

المسافة m	الزمن s
2	1
4	2
8	4

 أكتبُ النِّسبَ على شكلِ كُسورٍ، ثمَّ أَجِدُ معدَّلَ الوحدةِ لكلِّ نسبةٍ

$\frac{\mathbf{ }\mathbf{المسافة}\mathbf{ }}{\mathbf{الزمن}}\mathbf{\Rightarrow }\frac{2}{1}\mathbf{ }=2, \frac{4}{2}=2 ,\frac{8}{4}=2$

بما أنَّ معدَّلاتِ الوحدةِ لجميعِ النِّسبِ متساويةٌ، إذنْ، توجَدُ علاقةُ تناسُبٍ 

 

2)

   

عدد القطع	الثمن JD
1	3
3	5
5	7

 أكتبُ النِّسبَ على شكلِ كُسورٍ، ثمَّ أَجِدُ معدَّلَ الوحدةِ لكلِّ نسبةٍ 

$\frac{\mathbf{ }\mathbf{الثمن}\mathbf{ }}{\mathbf{القطع}\mathbf{ }\mathbf{عدد}\mathbf{ }}\mathbf{\Rightarrow }\frac{3}{1}\mathbf{ }=3, \frac{5}{3}=1.66 ,\frac{7}{5}=1.4$

بما أنَّ معدَّلاتِ الوحدةِ لجميعِ النِّسبِ غير متساويةٌ، إذنْ، لا توجَدُ علاقةُ تناسُبٍ

 

3)

المبلغ	الزمن h
2	1/2
8	2
12	3

 أكتبُ النِّسبَ على شكلِ كُسورٍ، ثمَّ أَجِدُ معدَّلَ الوحدةِ لكلِّ نسبةٍ

$\frac{\mathbf{ }\mathbf{المبلغ}\mathbf{ }}{\mathbf{الزمن}}\mathbf{\Rightarrow }\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\mathbf{ }=4, \frac{8}{2}=4 ,\frac{12}{3}=4$

بما أنَّ معدَّلاتِ الوحدةِ لجميعِ النِّسبِ متساويةٌ، إذنْ، توجَدُ علاقةُ تناسُبٍ 

 

4)

الطول m	الثمن JD
2	2.5
3	3.5
4	4.5

 أكتبُ النِّسبَ على شكلِ كُسورٍ، ثمَّ أَجِدُ معدَّلَ الوحدةِ لكلِّ نسبةٍ

$\frac{\mathbf{ }\mathbf{الثمن}}{\mathbf{الطول}}\mathbf{\Rightarrow }\frac{2.5}{{\displaystyle 2}}\mathbf{ }=1.25, \frac{3.5}{3}=1.16 ,\frac{4.5}{4}=1.25$

بما أنَّ معدَّلاتِ الوحدةِ لجميعِ النِّسبِ متساويةٌ، إذنْ، توجَدُ علاقةُ تناسُبٍ 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9) تطبَعُ سعادُ 45 كلمةً في الدقيقةِ الواحدةِ. هل توجَدُ علاقةُ تناسُبٍ بينَ عددِ الكلماتِ الّتي تطبعُها سعادُ والزمنِ؟ أبرّرُ إجابتي.

الخطوة الأولى: أنشئ جدول يربط بينَ عدد الكلمات والزمن  

الزمن	1	2	3	4
عدد الكلمات	45	90	135	180

الخطوة الثانية: أكتبُ النِّسبَ على شكلِ كُسورٍ، ثمَّ أَجِدُ معدَّلَ الوحدةِ لكلِّ نسبةٍ:

$\frac{\mathbf{ }\mathbf{الكلمات}\mathbf{ }\mathbf{عدد}\mathbf{ }\mathbf{ }}{\mathbf{الزمن}}\mathbf{\Rightarrow }\frac{45}{{\displaystyle 1}}\mathbf{ }=45, \frac{90}{2}=45 ,\frac{135}{3}=45,\frac{180}{4}=45$

بما أنَّ معدَّلاتِ الوحدةِ لجميعِ النِّسبِ متساويةٌ، إذنْ، توجَدُ علاقةُ تناسُبٍ 

 

10) واجبٌ منزليٌّ: يُمكنُ لعامرٍ حلُّ 6 مسائلَ مِنْ مادّةِ الرياضياتِ في $\frac{1}{4}h$ اكمل الجدول الآتيَ الّذي يمثّلُ العلاقةَ بينَ عددِ المسائلِ الّتي يُمكنُ لعامرٍ حلُّها في كلِّ مدةٍ زمنيةٍ،ثمَّ أبيّنُ ما إذا كانَتِ العلاقةُ تمثّلُ علاقةَ تناسُبٍ أَمْ لا.

الزمن (h)	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{4}$	1
عدد المسائل	6	12	18	24

    $\frac{6}{{\displaystyle \frac{1}{4}}}=24 , \frac{12}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}= 24 , \frac{18}{{\displaystyle \frac{3}{4}}}=24 ,\frac{24}{1}=24$

 

  بما أنَّ معدَّلاتِ الوحدةِ لجميعِ النِّسبِ متساويةٌ، إذنْ، توجَدُ علاقةُ تناسُبٍ 

 

11) يُبيّنُ الجدولانِ الآتيانِ المسافاتِ الّتي قطعَتْها سيّارتانِ. أيُّ السيارتَينِ تمثّلُ العلاقةُ بينَ المسافةِ الّتي قطعَتْها والزمنِ علاقةَ تناسُبٍ؟ أبرّرُ إجابتي.

السيارة الأولى						السيارة الثانية
6	5	3	2	الزمن h		6	4	3	1	الزمن h
420	350	210	140	المسافةkm		360	280	135	60	المسافةkm

 

 

 

السيارة الأولى :

$\frac{140}{2}=70 , \frac{350}{5} =70 , \frac{210}{3} = 70, \frac{140}{2} = 70$

  بما أنَّ معدَّلاتِ الوحدةِ لجميعِ النِّسبِ متساويةٌ، إذنْ، توجَدُ علاقةُ تناسُبٍ 

السيارة الثانية : 

$\frac{60}{1}=60, \frac{135}{3}=45 , \frac{280}{4}=70 , \frac{360}{6}=60$

بما أنَّ معدَّلاتِ الوحدةِ لجميعِ النِّسبِ غير متساويةٌ، إذنْ، لا توجَدُ علاقةُ تناسُبٍ

درجاتُ حرارةٍ: لتحويلِ درجاتِ الحرارةِ مِنْ مِئويٍّ إلى فِهرِنْهايْتيٍّ أضرِبُ الدرجةَ المِئويةَ في$\frac{9}{5}$ ثمَّ أجمعُ $32°\mathrm{C}$إلى الناتجِ:

12) أُكملُ الجدولَ المجاورَ: باستخدام المعادلة ${\mathrm{F}}^{\circ }=\frac{9}{5}\times \left({\mathrm{C}}^{\circ }\right)+32$

الدرجاتُ المئويةُ$°\mathrm{C}$	0	10	20	30
الدرجاتُ الفِهرِنْهايْتِيةُ	32	50	68	86

 

 

 

13) هلْ توجَدُ علاقةُ تناسُبٍ بينَ درجاتِ الحرارةِ المئويةِ والدرجاتِ الفِهرِنْهايْتيةِ؟

$\frac{0}{32}=0 , \frac{10}{50} =0.2 , \frac{20}{68}=0.294 , \frac{30}{86}=0.348$

بما أنَّ معدَّلاتِ الوحدةِ لجميعِ النِّسبِ غير متساويةٌ، إذنْ، لا توجَدُ علاقةُ تناسُبٍ

 

14) أكتشفُ الخطأَ: يقولُ خليلٌ: إنَّ الجدولَ المجاورَ يمثّلُ علاقةَ تناسُبٍ؛ لأنَّ كلًّ مِنَ السعرِ وعددِ الحبّاتِ يزدادُ بمقدارٍ ثابتٍ.

عدد الحبات	السعر JD
4	1
6	2
8	3
10	4

 $\frac{1}{4},\frac{2}{6} = \frac{1}{3} , \frac{3}{8} , \frac{4}{10}=\frac{2}{5}$

  بما أنَّ معدَّلاتِ الوحدةِ لجميعِ النِّسبِ غير متساويةٌ، إذنْ، لا توجَدُ علاقةُ تناسُبٍ

 

 

 

15)  تبريرٌ: إذا علمْتُ أنَّ هناكَ علاقةَ تناسُبٍ بينَ كمّيتَينِ، وأُعطيتُ زوجًا مرتَّبًا مِنْ هذهِ العلاقةِ غيرَ (0,0) فكيفَ أَجِدُ زوجًا مرتَّبًا آخرَ؟ أبرّرُ إجابتي.

الطريقة الاولى : أجد معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة (0,0) والنقطة المعطاة ثم اختار زوج مرتب يحقق المعادلة التي حصلت عليها.

الطريقة الثانية : أجد ميل المستقيم$\frac{y}{x}$  ثم أجد كسراً مكافئاً للنقطة المعطاة معنا حيث تمثل جميع الكسور المكافئة لهذه النقطة تمثل نقطة تقع على هذا المستقيم 

---

---

حلول أسئلة كتاب التمارين

أحدّدُ أيُّ العلاقاتِ المبيَّنةِ في الجداولِ الآتيةِ تمثّلُ علاقةَ تناسُبٍ، وَأبرّرُ إجابتي:

الدقائق min	عدد النقاط
6	5
7	6
9	8

1)

لا تمثل علاقة تناسب لان النسب غير متساوية 

 

 

 

الدقائق min	عدد النقاط
2.5	10
4	16
5.25	21

2)

علاقة تناسب لان جميع النسب متساوية 

 

 

 

الدقائق min	عدد النقاط
3	1/2
6	1
9	$\mathbf{1}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$

3)

علاقة تناسب لان جميع النسب متساوية 

 

 

 

 

يمثّلُ الجدولُ المجاورُ علاقةً بينَ عددِ عُلَبِ طلاءٍ وَثمنِها بِالدينارِ:

عدد العلب	1	2	4	5
الثمن JD	8.5	17	34	42.5

4) أبيّنُ ما إذا كانَتِ العلاقةُ بينَ عددِ العُلَبِ وَثمنِها تمثّلُ علاقةَ تناسُبٍ.

الإجابة: علاقةُ تناسُبٍ لأن جميع النسب متساوية $\frac{42.5}{5}=\frac{34}{4}=\frac{17}{2}=\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{5}$

5) إذا احتاجَ عُمَرُ 10 عُلَبٍ لِطلاءِ منزلِهِ، أَجِدُ كَمْ دينارًا دفعَ ثمنًا لِلطّلاءِ.

بحل التناسب $$\begin{gathered} \frac{2}{17}=\frac{10}{x} \\ x=85 \end{gathered}$$    الإجابة: 85 ديناراُ 

6) يمثّلُ الجدولُ المجاورُ العلاقةَ بينَ المساحةِ بِالدونمِ وَعددِ أشجارِ الزيتونِ المزروعةِ فيها. أبيّنُ ما إذا كانَتِ العلاقةُ تمثّلُ علاقةَ تناسُبٍ أَمْ لا 

المساحة	2	3	4	5
عدد الاشجار	40	60	88	110

الإجابة: ليست علاقة تناسب لأن النسب غير متساوية ، $\frac{110}{5}=\frac{88}{4} = 22 , \mathrm{بينما} \frac{40}{2}=\frac{60}{3}=20$

 

7) يتّسعُ موقفٌ مساحتُهُ 4500m² لِ 300 سيارةٍ. تقرّرَ زيادةُ مساحةِ الموقفِ بِمقدارِ 375m² لِتوفيرِ مواقفَ جديدةٍ، أَجِدُ كَمْ موقِفًا جديدًا يمكنُ توفيرُهُ إذا علمْتُ أنَّ العلاقةَ بينَ مساحةِ موقفِ السيّاراتِ وَعددِ السيّاراتِ الّذي يستوعبُهُ الموقفُ تمثّلُ علاقةَ تناسُبٍ.

 بحل التناسب   $$\begin{gathered} \frac{300}{4500}=\frac{x}{4875} \\ x=325 \end{gathered}$$     الإجابة : 25 موقفاً إضافياً

8) إذا كانَتْ تكلفةُ استئجارِ سيّارةٍ سياحيةٍ مدةَ يومَينِ 40JD أُكملُ الجدولَ الآتيَ الّذي يمثلُ العلاقةَ بينَ عددِ الأيامِ وَتكلفةِ استئجارِالسيّارةِ، ثمَّ أبيّنُ ما إذا كانَتِ العلاقةُ تمثّلُ علاقةَ تناسُبٍ أَمْ لا.

الزمن (day)	1	2	3	4
التكلفة (JD)	20	40	60	80

   الإجابة: علاقة تناسب لأن $\frac{80}{4}=\frac{60}{3}=\frac{40}{2}=\frac{20}{1}$

 

يمثّلُ الشكلُ المجاورُ ثلاثَ علاقاتٍ ${\mathit{w}}^{\mathbf{\text{'}}}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }{\mathit{u}}^{\mathbf{\text{'}}}\mathbf{,}\mathit{v}$ بين X و Y

9) أحدّدُ أيُّ العلاقاتِ تمثّلُ علاقةَ تناسُبٍ مبررًا إجابتي.

الإجابة: u لأن التمثيل البياني مستقيم يمر بنقطة الأصل.

10) أَجِدُ معدَّلَ الوحدةِ لِعلاقةِ التناسُبِ. 

الإجابة: معدل الوحدة 1 لأن المستقيم يمر بالنقطة (1,1)