المتتاليات والمتسلسلات

Sequences and Series

فكرة الدرس : تعرُّف المتسلسلة المنتهية ، وإيجاد

مجموعها.

المتتالية : هي مجموعة من الأعداد تتبع ترتيبًا مُعيّنًا ، وأنّ كل عدد فيها يُسمى حدًا.

تكون المتتالية منتهية إذا حوت عددًا منتهيًا من الحدود ، وتكون غير منتهية إذا حوت  عددًا لانهائيًا من الحدود.

• متتالية منتهية ، مثل :  $3 , 7 , 11 , 15$

• متتالية غير منتهية ، مثل : $3 , 7 , 11 , 15 , ....$

تُعدّ المتتالية اقترانًا مجاله مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة، أو مجموعة جزئية منها، ومداه مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية ؛ إذ يرتبط كل عدد صحيح في المجال   بعدد حقيقي في المدى ، هو أحد حدود المتتالية.

عند وضع إشارات جمع  (+) بين حدود المتتالية بدلًا من الفواصل ، فإنَّها تُسمّى متسلسلة (series).

وكما هو حال المتتالية ، فإنَّ المتسلسلة تكون منتهية إذا حوت عددًا منتهيًا من الحدود، وتكون غير منتهية إذا حوت عددًا لانهائيًّا من الحدود.

• متسلسلة منتهية ، مثل : $3 + 6 + 9 +12$

• متسلسلة غير منتهية ، مثل : $3 + 6 + 9 +12 +....$

يُمكِن التعبير عن المتسلسلة بطريقة مختصرة باستعمال رمز المجموع ( $\sum _{ }$ ) (sigma notation)
على النحو الآتي :

                                              

فمثلًا ، يُمكِن التعبير عن المتسلسلتين السابقتين باستعمال رمز المجموع  $\sum _{}^{}$  ( يُقرَأ : سيغما )
كما يأتي :

          $\underset{k=1}{\overset{k=4}{\sum }}3k = 3+6+9+12 \sum _{k=1}^{\infty }3k = 3+6+9+12+...$                                                                              

---

مثال : 

أكتب كل متسلسلة ممّا يأتي باستخدام رمز المجموع : 

$\mathbf{1}\mathbf{)} 4 + 8 + 12 + ... + 32$

الحل : 

أُلاحظ أنّ الحد الأول يساوي ( 1) 4 ،  وأنّ الحد الثاني يساوي ( 2) 4 ، وأنّ الحد الثالث يساوي ( 3) 4، وأنّ الحد الأخير يساوي ( 8) 4.

إذن ، يُمكن كتابة حدود المتتالية على النحو الآتي : 

   $a_k = 4k k =1 , 2 , 3 , ... , 8$  

بناءً على ذلك، أكتب المتسلسلة باستعمال رمز المجموع كما يأتي : 

$\sum _{k=1}^{k=8}\left(4k\right)$                                                                                                                            

---

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }2 + 5 + 8 + 11 + ...$

الحل : 

أُلاحظ أنّ الحد الأول يساوي  1 - ( 1) 3 ،  وأنّ الحد الثاني يساوي 1 - ( 2) 3 ، وأنّ الحد الثالث يساوي 1 - ( 3) 3    

إذن ، يُمكن كتابة حدود المتتالية على النحو الآتي : 

$\sum _{k=1}^{\infty }(3k - 1)$                                                                                                                            

---

يُمكن إيجاد مجموع المتسلسلة المنتهية بجمع حدودها. فمثلًا  ، إذا كُتبت المتسلسلة باستخدام رمز المجموع ، فإنَّني أستخدم الحد العام لإيجاد حدودها، ثم جمعها.

مثال : 

أجد مجموع المتسلسلة : $\sum _{k=1}^{k=5}(2k -1)$

الحل : 

اعوض القيم : $k = 1 , 2 , 3 , 4 , 5$  في الحد العام للمتسلسلة ، وهو  : $a_k= 2k - 1$

$$\begin{gathered} k 1 2 3 4 5 \\ {a}_k 1 3 5 7 9 \end{gathered}$$ 

إذن، مجموع المتسلسلة هو : 

حدود المتسلسلة	$\sum _{k=1}^{k=5}(2k - 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9$
المجموع	$= 25$

 

 

 

 

---

إذا كان في المتسلسلة عدد كبير من الحدود، فإنّ إيجاد مجموعها لن يكون سهلًا . ولكنْ توجد قواعد يُمكِن استعمالها لإيجاد مجموع بعض المتسلسلات الخاصة على نحوٍ سهل كما يأتي.

مفهوم أساسي (صيغ لمجموع حالات خاصة من المتسلسلات) 

مجموع الحد الثابت ( c) إلى نفسه ( n) من المرّات.                                      $\sum _{k=1}^n c = n \times c$

مجموع الأعداد الصحيحة المتتالية من (1) إلى (n) .                                 $\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}K = \frac{n(n+1)}{2}$

مجموع مربعات الأعداد الصحيحة المتتالية من (1) إلى (n) .    $\sum _{k=1}^n K^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

---

مثال : 

أجد مجموع كل من المتسلسلات الآتية :

 1) $\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1}^{20}4 \mathbf{2}\mathbf{)}\sum _{k=1}^{14}k \mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\underset{k=1 }{\overset{ 10 }{\sum \mathbf{ }{k}^2}}$

 

الحل : 

مجموع الحد الثابت ( c) إلى نفسه ( n) من المرّات.	$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1}^{20}4 = 20 \times 4 = 80$
مجموع الأعداد الصحيحة المتتالية من (1) إلى (n) .	$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\sum _{k=1}^{14}k =\frac{14(14+1)}{2} =\frac{210}{2} =55$
مجموع مربعات الأعداد الصحيحة المتتالية من (1) إلى (n) .	$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\sum _{k=1}^{10}{k}^{2 }=\frac{10(10+1)(20+1)}{6} = \frac{2310}{6} = 385$