تعاملنا سابقًا مع النقاط والمستقيمات والمنحنيات في المستوى الإحداثي, وهو مستوى ذو بعدين, x و y, ولدراسة النقاط في الفضاء, يلزمنا إضافة محور ثالث, المحور z, يعامد المستوى الإحداثي, المستوى xy, فيصبح لدينا (نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد),والذي يمكننا من التعامل مع النقاط في الفضاء.

فالمحاور الثلاثة, المحور x, والمحور y, والمحور z, محاور متعامدة, تتقاطع معًا في نقطة الأصل 0 ويمكن تعيين أي نقطة في الفضاء عن طريق ثلاثي مرتب, p(x,y,z).

وينتج من تقاطع كل محورين, مستوى يحويهما, هي: المستوى xy, والمستوى xz, والمستوى yz, والتي تقسم الفضاء إلى ثمن أجزاء يسمى كل منها ثمناً .

ولتعيين النقطة p(a,b,c) في نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد, نعين النقطة (a,b) في المستوى xy, ثم نتحرك إلى الأعلى (إذا كانت c موجبة) أو إلى الأسفل (إذا كانت c سالبة) مسافة |c| لتحديد النقطة p.

 

مثال 1: عيّن النقاط التالية في نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد: 

A(3,1,4)

B(-2,-3,1)

المسافة بين نقطتين في الفضاء, وإحداثيات نقطة المنتصف:

يمكن تعميم صيغة المسافة بين نقطتين في المستوى, وإحداثيات نقطة المنتصف, للحصول على الصيغة التالية:

إذا كانت B(x₂,y₂,z₂) و A(x₁,y₁,z₁) نقطتين في الفضاء, فإن:

1) المسافة بين النقطتين A و B هي:

$AB=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2+{(z_2-z_1)}^2}$

2) احداثيات نقطة من منتصف القطعة المستقيمة $\overline{AB}$ هي:

$M(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2})$

مثال 2: إذا كانت:

 B(4,2,-1) , A(3,-1,4)

فجد: 1) المسافة بين A و B

الحل:

$$\begin{gathered} AB=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2+{(z_2-z_1)}^2} \\ =\sqrt{{(4-3)}^2+{(2+1)}^2+{(-1-4)}^2} \\ =\sqrt{35} \end{gathered}$$

المسافة بين A و B هي $\sqrt{35}$ وحدة

2)إحداثيات نقطة منتصف $\overline{AB}$

الحل:

$$\begin{gathered} M(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2}) \\ M(\frac{4+3}{2},\frac{2+-1}{2},\frac{-1+4}{2}) \\ M(\frac{7}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2}) \end{gathered}$$

نقطة منتصف $\overline{AB}$ هي $M(\frac{7}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2})$

المتجهات في الفضاء:

لا بد من دراسة المتجهات في الفضاء, لأن كثيرًا من الكميات الفيزيائية هي كميات متجهة (مثل الإزاحة والسرعة المتجهة).

ونرمز للمتجه بإحدى الطريقتين التاليتين:

1) حرف غامق فوقه الرمز $\rightharpoonup$, مثل المتجه: $\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{V}}$

2)حرفان (نقطة البداية A, ونقطة النهاية B) فوقهما الرمز $\rightharpoonup$ مثل المتجه $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}$

والذي يمكن تمثيله في الإحداثيات ثلاثية الأبعاد كما يلي:

ويمكن كتابة المتجه بالصورة الإحداثية عن طريق طرح الإحداثيات للحصول على إحداثيات المتجه وهي v₁, v₂ ,v₃ بالصيغة:

_{$$\begin{gathered} \stackrel{\rightharpoonup }{\mathit{v}}=\stackrel{\rightharpoonup }{AB}=<x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1> \\ =<v_1,v_2,v_3> \end{gathered}$$}

حيث تمثل إحداثيات المتجه $\stackrel{\rightharpoonup }{\mathit{v}}$ مقدار الإزاحة بالنسبة إلى المحور المناظر فمثلا v₁ يمثل مقدار الإزاحة بالنسبة للمحور x وهكذا.

ويتم حساب مقدار المتجه (طول المتجه) (ويرمز له بالرمز $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{AB}\right|$ أو $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{\mathit{v}}\right|$) عن طريق صيغة المسافة بين نقطتين, كالتالي:

$$\begin{gathered} \left|\stackrel{\rightharpoonup }{AB}\right|=\left|\stackrel{\rightharpoonup }{\mathit{v}}\right|=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2+{(z_2-z_1)}^2} \\ =\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2} \end{gathered}$$

مثال 3: جد مقدار المتجه $\stackrel{\rightharpoonup }{MN}$ حيث:

N(-3,1,4) , M(-1,4,2)

الحل:

$$\begin{gathered} \stackrel{\rightharpoonup }{MN}=<-3+1,1-4,5-2> \\ =<-2,-3,3> :\mathrm{الإحداثية} \mathrm{الصورة} \\ \left|\stackrel{\rightharpoonup }{MN}\right|=\sqrt{{(-2)}^2+{(-3)}^2+{\left(3\right)}^2} \\ =\sqrt{22} \end{gathered}$$

إذن: مقدار $\stackrel{\rightharpoonup }{MN}$ هو $\sqrt{22}$ وحدة.

جمع المتجهات وطرحها وضربها في عدد حقيقي هندسيا:

1)جمع المتجهات: لاحظ الشكلين التاليين:

2)طرح المتجهات لاحظ الشكلين التاليين:

3)ضرب المتجه في عدد حقيقي: $R\stackrel{\rightharpoonup }{\mathit{v}}$ (حيث R عدد حقيقي):

هو متجه, يوازي المتجه $\stackrel{\rightharpoonup }{\mathit{v}}$ وطوله يساوي |R| في طول $\stackrel{\rightharpoonup }{\mathit{v}}$,

(في نفس اتجاه $\stackrel{\rightharpoonup }{\mathit{v}}$ إذا كان R>0, وفي عكس اتجاه $\stackrel{\rightharpoonup }{\mathit{v}}$إذا كان R سالب):

لاحظ الشكل التالي:

 

مثال 4: في المثلث ABC:

إذا كانت E منتصف $\overline{AC}$, DB = 2CD,  $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}=6\stackrel{\rightharpoonup }{n},\stackrel{\rightharpoonup }{CD}=4\stackrel{\rightharpoonup }{m}$ فجد $\stackrel{\rightharpoonup }{AE}$ بدلالة $\stackrel{\rightharpoonup }{n} و \stackrel{\rightharpoonup }{m}$

الحل: لاحظ الشكل أعلاه:

$$\begin{gathered} \stackrel{\rightharpoonup }{AE}=\frac{1}{2}\stackrel{\rightharpoonup }{AC} \mathrm{سنجد} \\ \stackrel{\rightharpoonup }{AC}=\stackrel{\rightharpoonup }{AB}+\stackrel{\rightharpoonup }{BC} \\ =\stackrel{\rightharpoonup }{AB}+-\stackrel{\rightharpoonup }{CB} \\ =6\stackrel{\rightharpoonup }{n}+-(CD+DB) \\ =6\stackrel{\rightharpoonup }{n}+-(4\stackrel{\rightharpoonup }{m}+8\stackrel{\rightharpoonup }{m}) \\ \stackrel{\rightharpoonup }{AC}=6\stackrel{\rightharpoonup }{n}-12\stackrel{\rightharpoonup }{m} \\ \stackrel{\rightharpoonup }{DB}=2\stackrel{\rightharpoonup }{CD} \mathrm{لأن}) \\ \stackrel{\rightharpoonup }{DB}=2(4\stackrel{\rightharpoonup }{m}\left) \\ \right(\stackrel{\rightharpoonup }{DB}=8\stackrel{\rightharpoonup }{m} \\ \stackrel{\rightharpoonup }{AE}=\frac{1}{2}\stackrel{\rightharpoonup }{AC} \\ =\frac{1}{2}(6\stackrel{\rightharpoonup }{n}-12\stackrel{\rightharpoonup }{m}) (\stackrel{\rightharpoonup }{AC} \mathrm{منتصف} E) \\ =3\stackrel{\rightharpoonup }{n}-6\stackrel{\rightharpoonup }{m} \end{gathered}$$

جمع المتجهات وطرحها وضربها في عدد حقيقي جبريًا:

يمكن اجراء عمليتي جمع وطرح المتجهات جبريًا, بجمع أو طرح الإحداثيات المتناظرة, وكذلك ضربه في عدد حقيقي, بضرب الاحداثيات في هذا العدد, كما يلي:

إذا كان: $\stackrel{\rightharpoonup }{v}=<v_1,v_2,v_3>,\stackrel{\rightharpoonup }{w}=<w_1,w_2,w_3>$ , R عدد حقيقي, فإن:

$$\begin{gathered} \stackrel{\rightharpoonup }{v}+\stackrel{\rightharpoonup }{w}=<v_1+w_1,v_2+w_2,v_3+w_3> \\ \stackrel{\rightharpoonup }{v}-\stackrel{\rightharpoonup }{w}=<v_1-w_1,v_2-w_2,v_3-w_3> \\ R\stackrel{\rightharpoonup }{v}=<R{v}_1,R{v}_2,R{v}_3> \end{gathered}$$

مثال 5: إذا كان: $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=<-1,2,7> , \stackrel{\rightharpoonup }{a}=<4,-2,3>$

فجد:

$1)\stackrel{\rightharpoonup }{b}+3\stackrel{\rightharpoonup }{a}$

الحل:

$$\begin{gathered} \stackrel{\rightharpoonup }{b}+3\stackrel{\rightharpoonup }{a}=<-1,2,7>+3<4,-2,3> \\ =<11,-4,16> \\ 2)2\stackrel{\rightharpoonup }{a}-3\stackrel{\rightharpoonup }{b} \end{gathered}$$

الحل:

$$\begin{gathered} 2\stackrel{\rightharpoonup }{a}-3\stackrel{\rightharpoonup }{b}=2<4,-2,3>-3<-1,2,7> \\ =<8,-4,6>+<3,-6,-21> \\ =<11,-10,-15> \\ 3\left)\frac{1}{2}\right(\stackrel{\rightharpoonup }{a}+2\stackrel{\rightharpoonup }{b}) \end{gathered}$$

الحل:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}(\stackrel{\rightharpoonup }{a}+2\stackrel{\rightharpoonup }{b})=\frac{1}{2}(<4,-2,3>+2<-1,2,7>) \\ =\frac{1}{2}<2,2,17> \\ =<1,1,\frac{17}{2}> \end{gathered}$$

المتجهان المتساويان:

يتساوى متجهان, إذا وفقط إذا كانت الإحداثيات المتناظرة لهما متساوية:

$\stackrel{\rightharpoonup }{w}=<w_1,w_2,w_3> , \stackrel{\rightharpoonup }{v}=<v_1,v_2,v_3>$

فإن $\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\stackrel{\rightharpoonup }{w}$إذا وفقط إذا كان :$v_1=w_1 , v_2=w_2 , v_3=w_3$

مثال 6: إذا كان $\stackrel{\rightharpoonup }{n}=<a+b,a+1,R> , \stackrel{\rightharpoonup }{m}=<1,-3,5>$ وكان $\stackrel{\rightharpoonup }{n}=2\stackrel{\rightharpoonup }{m}$ فجد كلا من الثوابت a,b,R.

الحل:

$$\begin{gathered} \stackrel{\rightharpoonup }{n}=2\stackrel{\rightharpoonup }{m} \\ <a+b,a+1,R>=<2,-6,10> \\ a+b=2 و a+1=-6 و R=10 \\ -7+b=2 | a=-7 | R=10 \\ b=9 \end{gathered}$$

متجها الموقع و الإزاحة:  

إذا كانت O هي نقطة الأصل B(x₂,y₂,z₂), A(x₁,y₁,z₁) فإن: 

متجه الموقع $\stackrel{\rightharpoonup }{OA}$ هو المتجه الذي يبدأ بنقطة الأصل وينتهي بالنقطة A.

متجه الموقع $\stackrel{\rightharpoonup }{OB}$ هو المتجه الذي بدايته نقطة الأصل ونهايته النقطة B.

متجه الإزاحة $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}$ من النقطة A إلى النقطة B.

ويكون:

$$\begin{gathered} \stackrel{\rightharpoonup }{OA}=<x_1,y_1,z_1>-<0,0,0>=<x_1,y_1,z_1> \\ \stackrel{\rightharpoonup }{OB}=<x_2,y_2,z_2>-<0,0,0>=<x_2,y_2,z_2> \\ \stackrel{\rightharpoonup }{AB}=\stackrel{\rightharpoonup }{OB}-\stackrel{\rightharpoonup }{OA}=<x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1> \end{gathered}$$

لاحظ أن: الموقع والإزاحة كميتان متجهتان, أما المسافة فهي كمية قياسية, فالمسافة بين النقطتين A و B هي قيمة مقدار (طول) المتجه $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}$.

مثال 7: إذا كانت النقطتان: Q(2,0,-8), P(1,2,-4) فجد:

1)متجه الموقع $\stackrel{\rightharpoonup }{OP}$

الحل:

$\stackrel{\rightharpoonup }{OP}=<1,2,-4>$

2)متجه الإزاحة من النقطة Q إلى النقطة P.

الحل:

$$\begin{gathered} \stackrel{\rightharpoonup }{PQ}=OQ-OP=<2,0,-8>-<1,2,-4> \\ =<1,-2,-4> \end{gathered}$$

3) المسافة بين النقطة Q و النقطة P

الحل:

$$\begin{gathered} \left|\stackrel{\rightharpoonup }{PQ}\right|=\sqrt{{\left(1\right)}^2+{(-2)}^2+{(-4)}^2} \\ =\sqrt{21} \mathrm{طول} \mathrm{وحدة} \end{gathered}$$

متجهات الوحدة الأساسية:

متجهات الوحدة الأساسية هي:

في اتجاه المحور x الموجب: $\widehat{i }=<1,0,0>$

في اتجاه المحور y الموجب: $\hat{j}=<0,1,0>$

في اتجاه المحور z الموجب: $\hat{k}=<0,0,1>$

لاحظ الشكل التالي:

ونعبر عن متجه الوحدة (طوله وحدة واحدة) في اتجاه المتجه $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ بالرمز $\hat{v}$, ويقرأ v hat.

لذلك يمكن كتابة المتجه $\stackrel{\rightharpoonup }{v}=<v_1,v_2,v_3>$ بدلالة متجهات الوحدة الأساسية بالصورة

$\stackrel{\rightharpoonup }{v}=v_1\hat{i}+v_2\hat{j}+v_3\hat{k}$

و يمكن إيجاد متجه الوحدة في اتجاه أي متجه, عن طريق قسمة هذا المتجه على مقدار المتجه, أي أن:

$\hat{v}=\frac{\stackrel{\rightharpoonup }{v}}{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right|}$

مثال 8: إذا كان:$\stackrel{\rightharpoonup }{b}=3\hat{i}+4\hat{k} , \stackrel{\rightharpoonup }{a}=<1,-4,5>$

1)اكتب $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$ بدلالة متجهات الوحدة الأساسية:

الحل:

$\stackrel{\rightharpoonup }{a}=\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}$

2)جد $3\stackrel{\rightharpoonup }{a}-4\stackrel{\rightharpoonup }{b}$ بدلالة متجهات لوحدة الأساسية

الحل:

$$\begin{gathered} 3\stackrel{\rightharpoonup }{a}-4\stackrel{\rightharpoonup }{b}=3(\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k})-4(3\hat{i}+4\hat{k}) \\ =-9\hat{i}-12\hat{j}-\hat{k} \end{gathered}$$

3) متجه الوحدة في اتجاه المتجه $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$

الحل:

$$\begin{gathered} \hat{b}=\frac{\stackrel{\rightharpoonup }{b}}{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right|}=\frac{3\hat{i}+4\hat{k}}{\sqrt{3^2+4^2}} \\ =\frac{3}{5}\hat{i}+\frac{4}{5}\hat{k} \end{gathered}$$