رياضيات فصل أول

 المجموعاتُ والفتراتُ

 

• المجموعةُ : تجمعُ أشياءَ مُتَمايِزَةً تحملُ صفةً مشتركةً ، وتسمّى كلٌّ مِنَ الأشياءِ الَّتي تكوِّنُ المجموعةَ عُنصرًا  ، ويمكنُ أنْ تكونَ عناصرُ

المجموعةِ أحرفًا أو أعدادًا أو كلماتٍ. فمثلًا، يُعَدُّ يومُ الاثنين عُنصرًا مِنْ عناصرِ مجموعةِ أيامِ الأُسبوعِ.

• تُستعمَلُ الأحرفُ الكبيرةُ لتسميةِ المجموعاتِ ، مثلِ : … , A, B, C, X, Y ، وَتُستعمَلُ الأحرفُ الصغيرةُ لتسميةِ عناصرِ المجموعةِ، مثلِ : $a , b , c , x , y$

• إذا كانَ a عنصرًا مِنْ عناصرِ المجموعة A، فإنَّنا نقولُ إنَّ a ينتمي إلى المجموعةِ A، ونكتبُ ذلكَ على الصورةِ: a ∈ A ؛ حيثُ يستعملُ الرمزُ (∋) للدلالةِ على (ينتمي إلى). ومِنْ ناحيةٍ أُخرى إذا كانَ b لا ينتمي إلى المجموعةِ A، فإنَّنا نكتبُ ذلكَ على الصورةِ : b ∉ A ؛ حيثُ يستعملُ الرمزُ (∌) للدلالةِ على (لا ينتمي إلى).

 

• يمكنُ التعبيرُ عَنِ المجموعةِ بطريقةِ سردِ العناصرِ ، بحيثُ تُكتَبُ عناصرُ المجموعةِ داخلَ رمزِ المجموعةِ { }، وَيُفْصَلُ بينَ كلِّ عنصرٍ وآخَرَ بفاصلةٍ.

فمثلًا ، نُعَبِّرُ عَنِ المجموعةِ A، الَّتي عناصرُها الأعدادُ الكُلِّيَّةُ الّتي تقلُّ عنْ أوْ تُساوي 4، بطريقةِ سردِ العناصرِ على الصورةِ: $A = \{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4\}$

 

• يمكنُ أيضًا التعبيرُ عَنِ المجموعةِ باستعمالِ الصِّفةِ المُمَيِّزَةِ للمجموعةِ. فمثلًا ، يمكنُ التعبيرُ عَنِ المجموعةِ {4 , 3 , 2 , 1 , A ={0 بطريقةِ
الصفةِ المميزةِ { A ={x | x ≤ 4, x ∈ W ، وَتُقرَأُ: مجموعةُ الأعدادِ x ؛ حيثُ ينتمي x إلى مجموعةِ الأعدادِ الكُلِّيَّةِ الَّتي تقلُّ عَنْ أوْ تُساوي 4.

 

أنواعُ المجموعات

يوجدُ عِدَّةُ أنواعٍ للمجموعاتِ تبعًا لعددِ عناصرِها، منها:

•  المجموعةُ الخاليةُ  : هِيَ المجموعةُ الَّتي لا تحتوي على أيِّ عنصرٍ، وَيُرمَزُ لها بالرَّمزِ ∅ أوِ الرَّمزِ { }، وَمِنْ أمثلتِها مجموعةُ الأعدادِ الفرديَّةِ الَّتي تقبَلُ القِسمَةَ على 2 ، فَمِنَ المعلومِ أنَّهُ لا يوجدُ عددٌ فرديٌّ يقبَلُ القِسمَةَ على 2 .

• المجموعةُ المفردةُ : هِيَ المجموعةُ الَّتي تحتوي على عنصرٍ واحدٍ فقط، وَمِنْ أمثلتِها مجموعةُ حلِّ المُعادلةِ 0 = x + 5 ؛ فَهِيَ تحتوي على عنصرٍ واحدٍ فقط، هُوَ 5-

• المجموعةُ المُنتهيةُ : هِيَ المجموعةُ الَّتي تحتوي على عددٍ محدّدٍ منَ العناصرِ، مثلُ { 15 , 12 , 9 , 6 , T = {3 ؛ حيثُ تحتوي على 5 عناصرَ.

• المجموعةُ غيرُ المُنتهيةِ : هِيَ المجموعةُ الَّتي تحتوي على عددٍ لا نهائيٍّ منَ العناصرِ، مثلُ مجموعةِ الأعدادِ الكُليَّةِ الَّتي تزيدُ على 20، وَهِيَ : 

$\{21 , 22 , 23 , ...\}$

 

يُستعمَلُ رمزا المالانهاية ( infinity ) أدناهُ للدَّلالةِ على أنَّ الفترةَ غيرُ محُدودةٍ في الاتِّجاهِ الموجبِ أوِ السالبِ.

$\infty$	$-\infty$
يُقرَأُ الرَّمزُ : المالانهاية الموجبة، وَيُستعمَلُ للدَّلالةِ على أنَّ الفترةَ غيرُ محُدودةٍ في الاتِّجاهِ الموجبِ.	يُقرَأُ الرَّمزُ : المالانهاية السالبة، وَيُستعمَلُ للدَّلالةِ على أنَّ الفترةَ غيرُ محُدودةٍ في الاتِّجاهِ السالبِ.

 

يُستعمَلُ الرَّمزُ ] أوِ الرَّمزُ [عندما يكونُ رمزُ المُتباينةِ ≤ أوْ ≥ للدَّلالةِ على انتماءِ طرفِ الفترةِ إليها، وَيُستعمَلُ الرَّمزُ ) أوِ الرَّمزُ ( عندما يكونُ رمزُ المُتباينةِ < أوْ > للدَّلالةِ على عدمِ انتماءِ طرفِ الفترةِ إليها.

مفهومٌ أساسيٌّ (الفتراتُ غيرُ المحدودةِ)

إذا كانَ a وَ b عددَيْنِ حقيقيَّيْنِ فيمكنُ التعبيرُ عَنْ كلٍّ مِنَ المُتبايناتِ الآتيةِ باستعمالِ فترةٍ غيرِ محُدودةٍ :