توازي المتجهات:
درسنا سابقًا أن ضرب المتجه في عدد حقيقي R , ينتج عنه متجه جديد, له نفس اتجاه إذا كانت R>0, وعكس اتجاه إذا كانت R<0.
فمثلًا: المتجه هو متجه له نفس اتجاه ومقداره يساوي أربعة أمثال مقدار
والمتجه هو متجه له عكس اتجاه , ومقداره يساوي نصف مقدار .
فبذلك تكون المتجهات متوازية.
لذلك: تقول عن المتجهين أنهما متوازيان, إذا وفقط إذا أمكن كتابة:
حيث R عدد حقيقي, .
ويمكن توظيف توازي المتجهات في:
1)اثبات بعض خصائص الأشكال الهندسية.
2)اثبات أن ثلاثة نقاط تقع على استقامة واحدة.
مثال 1: إذا كان:
A(1,-2,3),B(3,-5,7), C(-5,7,-9), D(5,-8,10),E(-1,f,g)
1) هل ?
الحل: نجد المتجهين :
نلاحظ أنه لا يوجد عدد حقيقي R بحيث يكون المتجه:
2)بين أن النقاط C,B,A تقع على استقامة واحدة.
الحل: نجد المتجهين : (لهما البداية نفسها)
إذن: المتجهان متوازيان ولأن لهما نقطة البداية نفسها A, فإن النقاط C,B,A تقع على استقامة واحدة.
3) إذا كان يوازي فجد قيمة الثابتين f و g.
الحل: نجد المتجهين:
بما أن فإنه يوجد عدد حقيقي بحيث أن:
مثال 2: في المثلث ABC المجاور, ، D تقع على بحيث أن DB=2DA
E تقع على بحيث أن أثبت أن
الحل: لاحظ التمثيل أعلاه:
نكتب المتجهين :
إذن: المتجهان متوازيان.
مثال 3: في متوازي الأضلاع ABCD المجاور, إذا كان
G تقع على امتداد من جهة B حيث BG:AG=1:3
أثبت أن النقاط E و F و G تقع على استقامة واحدة.
الحل: لاحظ الشكل المجاور: نكتب المتجهين حيث أن لهما البداية نفسها (F).
(لاحظ أن ضلعي متوازي الأضلاع المتقابلين, متوازيان ولهما الطول نفسه)
ولأن لهما نفس البداية F فإن النقاط E و F و G تقع على استقامة واحدة
المعادلة المتجهة للمستقيم:
لكتابة المعادلة المتجهة لمستقيم في الفضاء نحتاج إلى معرفة نقطة تقع عليه, ومتجه يوازيه وتكون المعادلة المتجهة على الصورة:
حيث:
هو متجه الموقع للنقطة الواقعة على المستقيم
هو متجه يوازي المستقيم (ويسمى: اتجاه المستقيم)
t هو المتغير الوسيط
ويفضل أن يكون العامل المشترك الأكبر لإحداثيات المتجه في صورته الإحداثية (1).
مثال 4: جد المعادلة المتجهة للمستقيم L الذي يمر بالنقطة p(1,-4,9) ويوازي المتجه
الحل: متجه الموقع للنقطة p هو
اتجاه المستقيم L هو : ويمكن قسمة الإحداثيات على 3 فينتج اتجاه المستقيم L:
فتكون المعادلة للمتجه المستقيم L هي:
ويمكن كتابتها باستخدام متجهات الوحدة على الصورة:
مثال 5:
جد المعادلة المتجهة للمستقيم المار بالنقطتين B(5,-7,10) , A(1,3,-4)
الحل: لإيجاد اتجاه المستقيم: نجد المتجه
فيكون اتجاه المستقيم هو وهو متجه يوازي المستقيم ومعادلته المتجهة هي:
ويمكن استبدال متجه موقع النقطة A باتجاه موقع النقطة B لأن كلا النقطتان A و B تقع على المستقيم.
مثال 6: بين أن النقطة A(2,-8,-10) تقع على المستقيم الذي معادلته
الحل:
A(2,-8,-10)
نعوض متجه موقع النقطة A في معادلة المستقيم:
تنتج المعادلات التالية:
بما أن المعادلات الثلاث نتج عنها الحل نفسه (t=-2) فإن النقطة A(2,-8,-10) تقع على المستقيم.
مثال 7:إذا كانت النقطة p(x,7,z) تقع على المستقيم الذي معادلته المتجه:
فجد قيمة كل من الثابتين x و z.
الحل: تعويض متجه موقع النقطة p في المعادلة المتجه للمستقيم:
بما أن الإحداثي y هو 7 , فإن:
وبتعويض t=-3 ينتج أن:
المستقيمات المتوازية والمتقاطعة والمتخالفة في الفضاء:
نقول عن مستقيمين في الفضاء أنهما متخالفان إذا لم يوجد مستوى يحويهما ولم يتقاطعا مثل المستقيمين L و h في الشكل المجاور.
وإذا كان لدينا المستقيمان:
1)يتوازى المستقيمان L1 و L2 إذا وفقط إذا كان لهما الاتجاه نفسه (أي أن )
2)يتقاطع المستقيمان L1 و L2 إذا نتجت قيمة واحدة فقط لكل من المتغيرين الوسيطين t و u عند حل المعادلات الثلاث الناتجة من مساواة متجهي الموقع للمستقيمين.
3)إذا لم يكن المستقيمان متوازيين أو متقاطعين يكونان متخالفين.
مثال 8: إذا كان لدينا المستقيمات:
1)أي المستقيمات الثلاثة متوازية مع بعضها؟
الحل: لاحظ اتجاه كل مستقيم:
نلاحظ أن المتجهين متوازيان وهما يمثلان اتجاهي المستقيمين L1 , L3
إذن المستقيمان L1 و L3 متوازيان
2)بين أن المستقيمين L1 و L2 متقاطعان وجد نقطة تقاطعهما.
الحل: تساوي متجهي الموقع
تنتج المعادلات التالية:
بحل المعادلتين (1) و(2):
بتعويض u=3 في معادلة (1)
بتعويض u=3 و t=-1 في معادلة (3) ينتج:
وهي معادلة صحيحة
إذن المستقيمان L1 و L2 متقاطعان.
ولإيجاد نقطة التقاطع نعوض t=-1 في المعادلة المتجه للمستقيم L1 (أو u=3 في المعادلة المتجه للمستقيم L2)
إذن متجه الموقع لنقطة التقاطع هو:
فتكون نقطة التقاطع هي
3) هل المستقيمان L2 و L3 متخالفان؟ وضح ذلك
الحل: نساوي متجهي الموقع:
إذن: المستقيمان L2 و L3 متخالفان