المعادلات التفاضلية:
المعادلة التفاضلية:هي معادلة تحوي مشتقة أو أكثر لاقتران ما وقد تحوي الاقتران نفسه.
فمثلًا لو كان y=f(x) فإن:
هي معادلة تفاضلية تتضمن كل من الاقتران ومشتقتيه الأولى والثانية.
ويكون الاقتران y=f(x) حلًا للمعادلة التفاضلية إذا حققها أي إذا عٌوّض الاقتران ومشتقاته في المعادلة وبقيت صحيحة.
مثال:
أحدد فيما إذا كان الاقتران المعطى y=sin x يمثل حلًا للمعادلة التفاضلية y+y"=0
الحل:
وبجمع الطرفين:
لذلك فالاقتران y=sinx حلًا للمعادلة التفاضلية.
مثال:
أحدد فيما إذا كان الاقتران حلًا للمعادلة التفاضلية y-y'+y"=0
الحل:
بالتعويض في المعادلة التفاضلية:
بالتالي فإن الاقتران ليس حلًا للمعادلة.
الحل العام والخاص للمعادلة التفاضلية:
تحل المعادلة التفاضلية بإجراء التكامل لأنها ناتجة عن الاشتقاق.
وسيضاف بعد إجراء التكامل قيمة ثابت التكامل c
وإذا ما أعطيت نقطة على منحنى الاقتران أو العلاقة الناتجة وذلك gلحل قيمة الثابت c, فيسمى ذلك بالحل الخاص.
أما الحل العام فتبقى المعادلة الناتجة دون تحديد قيمة c.
مثال:
أجد الحل العام للمعادلة التفاضلية:
الحل:
بإعادة ترتيب المعادلة:
مثال:
أجد الحل الخاص للمعادلة التفاضلية الذي يحقق النقطة (1,1-)
الحل:
بإعادة ترتيب المعادلة
أما الحل الخاص بتعويض y=1, x=-1 لحل قيمة c
حل المعادلة التفاضلية بفصل المتغيرات:
شاهدنا في المثال السابق أنه وحتى يمكن إجراء التكامل يجب أن يتم فصل في جهة واحدة وما سنتعلمه أيضًا فصل المتغيرات بحيث تصبح على النحو التالي:
مثال:
جد الحل العام للمعادلة التفاضلية
الحل:
بفصل المتغيرات:
بإجراء التكامل:
مثال:
جد الحل الخاص للمعادلة التفاضلية عند النقطة (1,1).
الحل:
بفصل المتغيرات:
بإجراء التكامل:
بتعويض y=1 , x=1 لحل قيمة c
الحل الخاص:
مثال:
إذا علمت أن , وكان f(2)=3,f(0)=1, فما قيمة
الحل:
نحن نعلم أن
لذلك سيعاد كتابة المعادلة السابقة كما يلي
بفصل المتغيرات
بإجراء التكامل:
وسنحل المقدار بالأجزاء
ومنه فإن:
ومنه
x=2 عند y=3
عند x=0,y=1
المعادلة التفاضلية والمسار في خط مستقيم
مثال:
يتحرك جسيم في مسار مستقيم, وتعطى سرعته المتجهة بالمعادلة التفاضلية حيث t الزمن بالثواني, s موقع الجسيم بالأمتار, أجد موقع الجسيم بعد 3 ثواني.
علمًا بأن موقعه الابتدائي s(0)=4m
الحل:
بفصل المتغيرات