تطبيقات الحركة التوافقية البسيطة 

    تعرفنا في  الدرس السابق على مفهوم الحركة التوافقية  البسيطة وشروط تحقيفها مثل حركة كتلة معلقة بخيط ( بندول بسيط ) 

وحركة كتلة  تتصل بنابض  وما يرتبط بها من  مفاهيم  وعلاقات رياضية. والشكل التالي يوضح باختصار ما تم دراسته في الدرس

 السابق.  

 

البندول البسيط	نظام (كتلة- نابض) رأسي
أثبتنا في الدرس السابق أن حركة البندول حركة توافقية بسيطة،  وفي هذا الدرس سنطبق ما تعلمناه من مفاهيم في وصف الحركة على البندول البسيط	وكذلك الحال بالنسبة إلى نظام نابض - كتلة رأسي

 

مثال محلول

     استخدم جيولوجي بندول طوله 17.1 cm لقياس مقدار تسارع السقوط الحر في منطقة على سطح الأرض، فإذا أكمل البندول 72 دورة

   في مدّة زمنية ( 60 s ). أحسب تسارع السقوط الحر في تلك المنطقة.

الحل

             يحسب الزمن الدوري عن طريق قسمة الزمن الكلّي للدورات ( t) على عدد الدورات الكاملة: 

                                                               $T=\frac{60}{72}=0.833 s$

                                        $$\begin{gathered} T=2\mathrm{\pi }\sqrt{\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{g}}} \to \mathrm{g}=4{\mathrm{\pi }}^2\frac{\mathrm{L}}{{\mathrm{T}}^2} \\ \mathrm{g}= 4{\mathrm{\pi }}^2\frac{0.171}{0.{833}^2}=9.73 \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2 \end{gathered}$$

---

مثال محلول أراد مصطفى قياس ارتفاع برج فلاحظ وجود حبل معلّق في سقف البرج ويصل الأرض تقريبا. ربط كرة كتلتها 10 kg بالطرف السفلي للحبل وأزاحه مسافة مقدارها 3 m عن موقع اتّزانه، وتركه يتذبذب كما في الشكل، وحسب زمن الذبذبة الواحدة للبندول (عن طريق قياس زمن عدة ذبذبات) فكان 10 s . أحسب: أ . ارتفاع البرج. ب. التردّد والتردد الزاوي للبندول. ج. مقدار القوّة المعيدة عند أقصى إزاحة. الحل     أ. ارتفاع البرج:  $T=2\mathrm{\pi }\sqrt{\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{g}}}\to \mathrm{L}=\frac{{\mathrm{T}}^2\mathrm{g}}{4{\mathrm{\pi }}^2} = 25.3 \mathrm{m}$     ب. التردد                                          $$\begin{gathered} f=\frac{1}{T} \\ =\frac{1}{10}=0.1 Hz \end{gathered}$$       التردد الزاوي: $$\begin{gathered} \omega =2\pi f \\ = 2 \times 3.14 \times 0.1=0.628 rad/s \end{gathered}$$   ج. القوة المعيدة                                                         $F = - k x \to k=\frac{mg}{L}$   $F = -(\frac{mg}{L} ) x = -\left(\frac{10 \times 10}{ 25.3}\right) \times 3 = -11.86 N$
مثال محلول جسم كتلته 150 g معلّق بطرف نابض ويتذبذب في حركة توافقية بسيطة بشكل رأسي، فإذا كان ثابت النابض 25 N/m فأحسب: أ . الزمن الدوري. ب. التردّد الزاوي.        الحل       ` أ. الزمن الدوري:                      $$\begin{gathered} \mathrm{T} = 2\mathrm{\pi } \sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{k}}} \\ \mathrm{T} = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{ 0.15}{25}} = 0.486 \mathrm{s} \end{gathered}$$        ب. التردّد الزاوي: إمّا بتطبيق العلاقة:                                              $\omega = \frac{ 2\pi }{T} = \frac{2 \times 3.14}{ 0.487} = 12.9 rad/s$           وإمّا بتطبيق العلاقة:            ${\omega }^2 =\frac{ k}{m} \to \omega =\sqrt{\frac{ k}{m}} =\sqrt{\frac{ 25}{ 0.15}} =12.9 rad/s$

    مثال :  علقت فدوى كرة  بنابض رأسي، وبعد استقرارها عند موقع الاتزان سحبتها إ‘لى أسفل  مسافة معينة كما في الشكل التالي،    

    

ثم تركتها تتذبذب حول ذلك الموقع  في حركة توافقية بسيطة بحيث تكمل  خمس دورات  في ثانيتين،   حيث ثابت النابض  (  k = 350 N/m ). أحسب:

      أ.  التردد 

     ب. كتلة الكرة.

    ج.  كلاً من تسارع الكرة والقوة المعيدة  وقوة شد النابض  عند موقع الاتزان.

  الحل: 

     أ.             الزمن الدوري             $T = \frac{2}{5}= 0.4 s$

               التردد   :   $f= \frac{1}{T}= \frac{1}{0.4}=2.5$

       ب.   كتلة الكرة:       $T\mathit{ }\mathit{=}\mathit{2}\pi \sqrt{\frac{\mathit{m}}{\mathit{k}}}\mathit{ }\mathit{ }\mathit{\to }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }m\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }\frac{{\mathit{T}}^{\mathit{2}\mathit{ }}\mathit{k}}{\mathit{4}{\mathit{\pi }}^{\mathit{2}}}\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }\frac{{\mathit{(}\mathit{0}\mathit{.}\mathit{4}\mathit{)}}^{\mathit{ }\mathit{2}}\mathit{\times }\mathit{350}}{\mathit{4}\mathit{ }{\mathit{(}\mathit{ }\mathit{3}\mathit{.}\mathit{14}\mathit{)}}^{\mathit{2}}}\mathit{=}\mathit{ }\mathit{1}\mathit{.}\mathit{4}\mathit{ }kg$

 

 

         ج.  عند موقع الاتزان(  x=0 )        التسارع : $a = - \frac{k}{m}x = 0$    

                                                                  القوة  :   $F = - kx =0$  

                                                               

                                                               قوة الشد (    F_T    ) : $F = F_T - mg \Rightarrow 0 = F_{T } - mg \Rightarrow F_{T }= mg = 1.4\times 10=14 N$

 

   مثال: وضع طفل كتلته (    $5.4 kg$  )  في كرسي أطفال  معلقة بنابض كما في الشكل التالي فاستطال بمقدار ( $24 cm$  )  ليصل إلى حالة الاتزان،

       سُحب الطفل إلى أسفل ثم تُركالطفل يتذبذب  بشكل رأسي في  حركة توافقية بسيطة.

 بإهمال قوة الاحتكاك أحسب:    

      أ .  ثابت النابض

      ب .  تردد الذبذبات 

 

 الحل : أ .عند زصول الطفل إلى حالة الاتزان فإن: 

                          $$\begin{gathered} F_T = mg = 5.4 \times 10 = 54 N \\ F_T= - kx\Rightarrow 54 = - k( - 0.24) \Rightarrow k= 225 N/m \end{gathered}$$

    ب .    تردد الذبذبات:

                                             $$\begin{gathered} T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\times 3.14 \times \sqrt{\frac{5.4}{225}} = 0.97 s \\ f =\frac{1}{T} = \frac{1}{0.97} =1.03 hz \end{gathered}$$            

                           تطبيقات الحركة التوافقية البسيطة

         الساعة البندولية Pendulum Clock

يمن التطبيقات للبندول البسيط الساعة البندولية Pendulum Clock أنظر إلى الشكل التي اخترعها العالم الهولندي كريستيان   هايغنز Christian Huygens عام 1657 م،  إذ وظّف فكرة البندول البسيط؛ فالزمن الدوري لبندول الساعة المثبّت عند سطح البحر ( g = 9.81 m/s2 ) يكون ثانية واحدة عندما يكون طوله:$$\begin{gathered} T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \\ 1 = 2 \times 3.14 \sqrt{\frac{L}{ 9.81}}\Rightarrow L= 24.87 cm \end{gathered}$$ أي إنّ البندول يكمل ذبذبة واحدة في زمن مقداره ثانية واحدة.
الآلات الموسيقية Musical Instruments عندما يعزف الموسيقار على الغيتار أو العود كما في الشكل، ينتج عن اهتزاز أوتار تلك الآلات أصوات تسمعها الأذن البشرية موسيقى. فعند إزاحة وتر الغيتار عن موقع اتّزانه مسافة معيّنة (تعتمد على القوّة التي يؤثّر بها عازف الغيتار في الوتر) ثم تركه؛ فإنّه يتذبذب حول موقع الاتّزان ذهابا وإيابا في حركة توافقية بسيطة، وينتج عن طاقة تذبذب الوتر صوت موسيقي يتلاشى تدريجيا نتيجة التناقص في طاقة الذبذبات.
القفز بالحبال المطّاطية (بنجي) Bungee Jumping يعد القفز بالحبال أو ما يعرف بالبنجي كما في الشكل، تطبيقا آخر على الحركة التوافقية البسيطة، وهو نشاط رياضي ينطوي على القفز من مناطق شاهقة الارتفاع، بينما يكون القافز مربوطا بحبل مطّاطي يحقّق مواصفات الأمان؛ ويقفز من مناطق ثابتة كالجسور والمباني، أو متحرّكة كالقفز من منطاد أو من طائرة عمودية. وعندما يقفز الشخص ويصل إلى أقصى إزاحة يبدأ بالتذبذب إلى أعلى وأسفل، وتكون الحركة توافقية بسيطة إذا تحقّقت شروطها.
البندول الإيقاعي (الرقاص) Metronome هو جهاز يعمل على إصدار صوت منتظم ومكرّر على شكل تكّة أو نقرة بعد إكمال ذبذبة كاملة؛ أي خلال الزمن الدوري للبندول الذي يمكن تغييره عن طريق تغيير طول البندول؛ باستخدام الكتلة القابلة للحركة على ذراع البندول لزيادة طوله أو إنقاصه. والبندول الإيقاعي ُ يصدر نبضات صوتية يمكن ملاحظتها بصريا كبندول الساعة. وقد يكون البندول الإيقاعي ميكانيكيا كما في الشكل  أو كهربائيا أو إلكترونيا يمكن تحميله كتطبيق على هاتفي الخلوي. يستخدم البندول الايقاعي من  قبل الموسيقيين للتأكّد من أنّ العزف يجري بوتيرة تامّة وأداء دقيق، ويستخدم كذلك في الساعات للحفاظ على دقّة مماثلة لتلك المستخدمة في ساعات اليد.

 

الحركة التوافقية المُخمدة Damped Harmonic motion

عند دراسة الحركة التوافقية البسيطة (مثل حركة البندول وحركة الكتلة المعلقة بالنابض وغيرها) افترضنا عدم وجود قوى احتكاك؛

ولذلك فالنظام لا يفقد طاقة وسعة التذبذب تبقى ثابتة ويستمر في الحركة إلى اللانهاية، وهذا الافتراض لتسهيل التعامل مع

الحركة التوافقية البسيطة رياضيا، لكن في الواقع تقل سعة التذبذب مع الزمن بالتدريج حتى تتوقف الحركة التذبذبية لأن قوى

  أخرى تؤثر في النظام مثل قوى الاحتكاك تبدد من طاقة النظام حتى تؤول إلى الصفر، حيث تتحول الطاقة الميكانيكية إلى طاقة

  داخلية في الجسم والوسط الذي يتذبذب فيه، ونتيجة لذلك تقل سعة الذبذبات. 

    في الجزء الأيمن  من الشكل  التالي نلاحظ أن الطاقة الميكانيكية متناقصة مع الزمن بسببة تناقص سعة الاهتزازة لوجود

قوى احتكاك بينما في الجزء الأيسر الطاقة الميكانيكية  ثابتة ( سعة الاهتزازة ثابتة ) مع الزمن حيث لا يوجد  قوى احتكاك.

بشكل عام فإن أنظمة التذبذب الطبيعية تكون متخامدة. ويطلق على الحركة التذبذبية التي تقل سعتها مع الزمن بسبب قوى

المقاومة؛ مثل قوة الاحتكاك اسم الحركة التوافقية المخمدة .Damped harmonic motion في حالة التخامد فإن الحركة التذبذبية

لا تعد حركة توافقية بسيطة، لذا يمكن التعامل مع ثلاث حالات شائعة من التذبذب المتخامد لاقتران الإزاحة - الزمن ممثلة في

الرسم البياني المبين في الشكل ،( لا حظ المنحنى باللون الأزرق يمثل حركة توافقية بسيطة  غير متخامدة بغياب قوى خارجية تبدد

 الطاقة كقوى الاحتكاك أو المقاومة  )

التخامد البسيط Underdamped : يكون التخامد في النظام متوسطا، بحيث يتذبذب عدّة مرّات يتناقص خلالها مقدار كلّ من السعة والطاقة بالتدريج قبل أن تصل إلى الصفر، ويصل الجسم إلى موقع الاتّزان،     ( لاحظ المنحنى باللون الأصفر  في  الرسم البياتي في الأعلى  )   مثل حركة جسم يتصل بنابض على سطح أفقي بوجود قوة احتكاك بسيطة.
التخامد القوي  Overdamped : يكون التخامد في النظام كبيرا جدا، بحيث يصل النظام إلى موقع الاتّزان دون أن يتذبذب، ومثال على ذلك غالق الباب الهيدروليكي Hydraulic door closer أو ما يسمّى رداد الباب  يوجد في داخل الغالق نابض ينضغط عند فتح الباب، وعند فتح الباب يرتخي النابض فيؤثّر بقوّة في الزيت لدفعه عبر ثقب صغير؛  إذ تعمل هذه القوّة على تخميد النظام؛ لذا، ُ يغلق الباب ببطء. ( لاحظ المنحنى  ذو اللون الأحمر في الرسم البياني  السابق)
التخامد الحرج Critically damped : يكون التخامد في النظام كبيرا، ويتّجه نحو موقع الاتّزان في زمن أقصر من الزمن في حالة التخامد القوي دون أن يتذبذب، ( لاحظ المنحني  ذو اللون الأخضر في  الرسم البياني  السابق). ومثال على ذلك ممتصّ الصدمات shock absorber في المركبات، ومخمد الذبذبات في برج Taipei 101.

النظام الخاضع للاهتزاز القسري Forced oscillation
النظام الذي تؤثّر فيه قوى خارجية إضافية تبذل شغلا يزوّد النظام بالطاقة باستمرار، للتغلّب على الطاقة

الضائعة بسبب قوة الاحتكاك وغيرها من المقاومات. فمثلا، إذا دفعت أرجوحة باستمرار فإنّها تستمر في

التذبذب ولا تتخامد حركتها.