توقُّع المتغير العشوائي

Expectation of a Random Variable

فكرة الدرس : إيجاد التوقُّع والتباين لمتغير عشوائي في تجربة عشوائية.

معلومات سابقة  : تعلَّمْتُ سابقًا إيجاد الوسط الحسابي$\left(\overline{x}\right)$لبيانات مُمثَّلة في جداول تكرارية ؛ بقسمة مجموع حاصل ضرب القِيَم في تكراراتها 

$(\underset{}{\sum }x . f)$  على مجموع التكرارات $\underset{}{(\sum }f)$  باستعمال الصيغة الآتية :

                                                              $\overline{x} = \frac{\sum _{}x . f}{\underset{}{\sum f}}$

وبالمثل، يُمكِن إيجاد الوسط الحسابي لتوزيع احتمالي؛ لأنَّ احتمالات قِيَم المتغير العشوائي X تُمثِّل تكرارات لتلك القِيَم (تكرارات نسبية ؛ نظرًا إلى قسمة كل تكرار على مجموع التكرارات). ولأنَّ مجموع احتمالات قِيَم المتغير العشوائي (التكرارات) هو 1، فإنَّ الوسط الحسابي هو  $\sum _{}x . p\left(x\right)$  

في ما يُعرَف باسم التوقُّع ( expectation ) للمتغير العشوائي X  ، ويُرمَز إليه بالرمز  E(x) .

 

مفهوم أساسي (التوقع)

بالكلمات : التوقُّع للمتغير العشوائي X في توزيع احتمالي لتجربة عشوائية يساوي مجموع حواصل ضرب كل قيمة للمتغير X في احتمال تلك القيمة.

بالرموز :   $E\left(x\right) = \sum _{}x . P\left(x\right)$

مثال 1 : 

في مسح عشوائي شمل 100 أسرة لمعرفة عدد الأطفال لدى كل أسرة الذين تقل أعمارهم عن 3 سنوات  ، كانت نتيجة المسح كما في الجدول الآتي:

4	3	2	1	0	عدد الأطفال (x)
2	14	30	33	21	عدد الأسر (التكرار f)

 

 

 

بافتراض أنَّ المتغير العشوائي X يُمثِّل عدد الأطفال الذين تقل أعمارهم عن 3 سنوات :

1) أُنشِئ جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي x.

2) أجد التوقُّع للمتغير العشوائي x.

الحل : 

1) أُنشِئ جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي x.

أقسم كل تكرار على مجموع التكرارات، ثم أُنشِئ جدولًا للتوزيع الاحتمالي:

4	3	2	1	0	(x)
0.02	0.14	0.30	0.33	0.21	P(x)

 

 

 

2) أجد التوقُّع للمتغير العشوائي x.

صيغة التوقُّع للمتغير العشوائي x	$E\left(x\right) = \sum _{}x . P\left(x\right)$
مجاميع حاصل الضرب	$= 0\times 0.21 + 1\times 0.33 + 2\times 0.30 + 3\times 0.14 + 4\times 0.02$
بالتبسيط	$\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{43}$

 

 

 

 

---

 

إذا عُلِمت قيمة التوقُّع E(x) للمتغير العشوائي X، فإنَّه يُمكن تحديد قِيَم احتمالات مجهولة في التوزيع الاحتمالي؛ بتكوين نظام من المعادلات الخطية، ثم حلِّه بطريقة الحذف والتعويض.

مثال 2 : 

إذا كان التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X كما في الجدول الآتي:

5	4	3	2	1	(x)
0.1	0.3	b	0.2	a	P(x)

 

 

 

وكان E(x) = 2.7 ، فأجد قيمة كلٍّ من:  (P(x = 1 و (P(x = 3

الحل : 

صيغة التوقُّع للمتغير العشوائي x	$E\left(x\right) = \sum _{}x . P\left(x\right)$
لأنَّ التوقُّع هو 2	$1\times a + 2 \times 0.2 + 3 \times b + 4 \times 0.3 + 5 \times 0.1 = 2.7$
بتجميع الحدود المتشابهة	$a + 3b +2.1 = 2.7$
بالتبسيط	$a + 3b = 0.6 .... \left(1\right)$
مجموع الاحتمالات هو  1	$a + 0.2 + b +0.3 + 0.1 = 1$
بتجميع الحدود المتشابهة	$a + b + 0.6 =1$
بالتبسيط	$a + b = 0.4 ..... \left(2\right)$
بطرح المعادلة (2) من المعادلة (1)	$2b = 0.2$
بالقسمة على 2	$\mathit{b}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{1}$
أجد a بتعويض قيمة b في المعادلة (2)	$a + 0.1 = 0.4 \Rightarrow \mathbf{ }\mathit{a}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{3}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

إذن  :  $P(x = 3) = 0.1 , P(x= 1) = 0.3$  

 

---

 

• التباين ( Variance ) للمتغير العشوائي X هو مقياس لتشتُّت قِيَم المتغير عن وسطها الحسابي E(x) ، ويُمكِن إيجاده باستعمال الصيغة الآتية :

                 ${\sigma }^2 = (\sum _{}{x}^2. P(x\left)\right) - (E{\left(x\right))}^2$   

مفهوم أساسي (التباين) 

بالكلمات : التباين للمتغير العشوائي X في توزيع احتمالي لتجربة عشوائية يساوي مجموع حواصل ضرب مربعات قِيَم المتغير X في احتمال كل قيمة مطروحًا منه مربع التوقُّع للمتغير x                                          

بالرموز  :     ${\sigma }^2 = (\sum _{}{x}^2. P(x\left)\right) - (E{\left(x\right))}^2$

 

مثال 3 : 

يُبيِّن الجدول الآتي التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي x

3	2	1	0	(x)
0.2	0.35	0.27	0.18	P(x)

 

 

 

1) أجد التوقُّع E(x). 

2) أجد التباين ${\sigma }^2$.

الحل : 

1) أجد التوقُّع E(x). 

صيغة التوقُّع للمتغير العشوائي x	$E\left(x\right) = \sum _{}x . P\left(x\right)$
مجاميع حاصل الضرب	$= 0\times 0.18 + 1 \times 0.27 + 2 \times 0.35 + 3 \times 0.2$
بالتبسيط	$\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{57}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }$

 

 

 

 

2) أجد التباين ${\sigma }^2$

صيغة التباين للمتغير العشوائي x	${\sigma }^2 = (\sum _{}{x}^2. P(x\left)\right) - (E{\left(x\right))}^2$
بالتعويض	$= (0^2\times 0.18 + 1^2\times 0.27 + 2^2\times 0.35 + 3^2\times 0.2) - {(1.57)}^2$
بالتبسيط	$\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{0051}$