رياضيات فصل ثاني

حل المتباينات بالجمع والطرح 

 

حل أسئلة أتحقق من فهمي: 

أتحقق من فهمي: 

أحل كل متباينة مما يأتي وأمثل الحل على خط الأعداد ثم أتحقق من صحة الحل:

1)        x - 4 < 1                                                      المتباينة الأصلية

            x - 4 + 4 < 1 + 4                                      أضيف  4 الى طرفي المتباينة

            x < 5                                                                    +4 -4 = 0

            x < 5                                                                                إذن الحل

تمثيل حل المتباينة على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن الحل  x < 5  أختار أي عدد أقل من 5 وأعوضه في المتباينة

مثلاً أختار   x = 1   

x - 4 < 1                                     المتباينة الأصلية

1 - 4 < 1                                  ب 1  x  أعوض عن 

- 3 < 1                                        المتباينة صحيحة

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

4)        y - 6 $\mathbf{\le }$ -10                                                      المتباينة الأصلية

           y - 6 + 6   $\mathbf{\le }$  -10 + 6                                 أضيف  6 الى طرفي المتباينة

            y $\mathbf{\le }$-4                                                                    +6 -6 = 0

           y  $\mathbf{\le }$  -4                                                                  إذن الحل

تمثيل حل المتباينة على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن الحل  $\mathbf{4}\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{y}$   أختار أي عدد أكبر أو يساوي 4-  وأعوضه في المتباينة

مثلاً أختار العدد  ( 7 ) 

y- 6 $\mathbf{\le }$ -10                               المتباينة الأصلية

7 - 6 $\mathbf{\le }$ - 10                              ب 7  y أعوض عن 

1    $\mathbf{\le }$    - 10                             المتباينة صحيحة

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

أتحقق من فهمي:

أحل كل متباينة مما يأتي وأمثل الحل على خط الأعداد ثم أتحقق من صحة الحل:

3)        2 + x  $\mathbf{\le }$  6                                                      المتباينة الأصلية

          2 + x - 2   $\mathbf{\le }$   6 - 2                               أطرح 2 من طرفي المتباينة

           x   $\mathbf{\le }$  4                                                                    +2 -2 = 0

          x  $\mathbf{\le }$  4                                                                     إذن الحل

تمثيل حل المتباينة على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن حل المتباينة $\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathit{x}$  أختار أي عدد أكبر أو يساوي 4  وأعوضه في المتباينة

مثلاً أختار العدد  ( 5 ) 

2 + x   $\mathbf{\le }$    6                               المتباينة الأصلية

2 + 5   $\mathbf{\le }$    6                              ب 5  x أعوض عن 

7     $\mathbf{\le }$    6                                  المتباينة صحيحة

 

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

4)        5 > y + 12                                                    المتباينة الأصلية

          5 - 12  > y + 12 - 12                                أطرح 12 من طرفي المتباينة

          - 7 >  y                                                            +12  -12 = 0

         y < -7                                                                 إذن الحل

تمثيل حل المتباينة على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن حل المتباينة  $\mathbf{7}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{y}$   أختار أي عدد أصغر من  7-   وأعوضه في المتباينة

مثلاً أختار العدد  ( 8 - ) 

5 > y + 12                               المتباينة الأصلية

5 > -8 +12                            - 8   ب  y أعوض عن 

5 >   +4                                  المتباينة صحيحة

 

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

أتحقق  من فهمي : 

تريد ملك شراء سيارة لا يقل ثمنها عن  15000  JD  ، وقد وفرت  13500 JD ،

كم المبلغ المتبقي عليها لشراء السيارة ؟ 

الحل:

المعطيات : السيارة لا يقل ثمنها عن  15000

             المبلغ المتوفر    13500

المتغير :  y  يمثل المبلغ المتبقي عليها لشراء السيارة

المطلوب: المبلغ المتبقي على ملك لشراء السيارة

المتباينة:                  $\mathbf{15000}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{y}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{13500}$  

أحل المتباينة لحساب  y 

$\mathbf{15000}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{y}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{13500}$                                 المتباينة الأصلية

$\mathbf{13500}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{15000}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{y}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{13500}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{13500}\mathbf{ }\mathbf{+}$                             أطرح 13500 من طرفي المتباينة

$\mathbf{1500}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{y}$                                                حل المتباينة

إذن المبلغ المتبقي على ذلك يجب أن لا يقل عن  1500  JD

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

أتدرب وأحل المسائل 

1)        v - 6 < -3                                                      المتباينة الأصلية

            v - 6 + 6 < -3 + 6                                      أضيف  6 الى طرفي المتباينة

            v < 3                                                                    +6 -6 = 0

            v < 3                                                                         إذن الحل

تمثيل حل المتباينة على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن الحل  v < 3  أختار أي عدد أقل من 3 وأعوضه في المتباينة

مثلاً أختار العدد  2  

v - 6 <  -3                                     المتباينة الأصلية

2 - 6 < -3                                 2 ب   v أعوض عن 

- 4 <  -3                                        المتباينة صحيحة

......................................................................................................................................................................................................................................................................................

2)        y - 11 $\mathbf{\le }$  0                                                      المتباينة الأصلية

            y - 11 + 11 $\mathbf{\le }$  0 + 11                                      أضيف  +11  الى طرفي المتباينة

            y  $\mathbf{\le }$  11                                                                    +11  -11 = 0

            y $\mathbf{\le }$ 3                                                                                إذن الحل

تمثيل حل المتباينة على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن الحل  y $\mathbf{\le }$  11  أختار أي عدد أكبر أو يساوي 11 وأعوضه في المتباينة

مثلاً أختار العدد  12  

y - 11 $\mathbf{\le }$  0                                     المتباينة الأصلية

12 - 11 $\mathbf{\le }$ 0                                 12 ب   y أعوض عن 

1 $\mathbf{\le }$  0                                        المتباينة صحيحة

......................................................................................................................................................................................................................................................................................

3)        h – 7.8  > - 2.8                                                    المتباينة الأصلية

          h – 7.8 + 7.8  >  -2.8 + 7.8                                أضيف 7.8 الى طرفي المتباينة

          h >  +5                                                            +7.8  -7.8 = 0

          h > +5                                                                 إذن الحل

تمثيل حل المتباينة على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن حل المتباينة  h > 5   أختار أي عدد أكبر من  5   وأعوضه في المتباينة

مثلاً أختار العدد  ( 6 ) 

h – 7.8 > -2.8                               المتباينة الأصلية

6 – 7.8 > -2.8                            6 ب  h أعوض عن 

-1.8 >   -2.8                                  المتباينة صحيحة

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................

4)        0  $\mathbf{\ge }$  n - 8                                                  المتباينة الأصلية

0 + 8  $\mathbf{\ge }$  n -8 +8                                أضيف 8 الى طرفي المتباينة

8 $\mathbf{\ge }$  n                                                            +8  -8 = 0

 n  $\mathbf{\le }$ +8                                                                 إذن الحل

تمثيل حل المتباينة على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن حل المتباينة  n $\mathbf{\le }$ 8   أختار عدد أكبر او يساوي 8  وأعوضه في المتباينة

مثلاً أختار العدد  ( 10 ) 

0 $\mathbf{\ge }$ n - 8                               المتباينة الأصلية

0 $\mathbf{\ge }$ 10 - 8                           10 ب  n أعوض عن 

0 $\mathbf{\ge }$   2                                  المتباينة صحيحة

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................

5)        k - 4 $\mathbf{\le }$  -5                                                  المتباينة الأصلية

k -4 + 4 $\mathbf{\le }$  -5 +4                                أضيف  4+ الى طرفي المتباينة

k $\mathbf{\le }$  -1                                                            +4  -4 = 0

 k  $\mathbf{\le }$ -1                                                                إذن الحل

تمثيل حل المتباينة على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن حل المتباينة  k $\mathbf{\le }$ -1   أختار أي عدد أكبر أو يساوي 1-   وأعوضه في المتباينة

مثلاً أختار العدد  ( 0 ) 

k -4 $\mathbf{\le }$ -5                               المتباينة الأصلية

0 -4 $\mathbf{\le }$ -5                           0 ب  k أعوض عن 

-4 $\mathbf{\le }$  -5                                  المتباينة صحيحة

................................................................................................................................................................................................................................................................................................

6)        S - $\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}$  <  4                                                  المتباينة الأصلية

S - $\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}$  <  4 - $\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}$                               أضيف  $\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}$  الى طرفي المتباينة

S <  $\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\frac{\mathbf{12}}{\mathbf{3}}$                                                            نوحد المقامات

      S  < $\frac{\mathbf{14}}{\mathbf{3}}$                                                                 إذن الحل

تمثيل حل المتباينة على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن حل المتباينة  S < $\frac{\mathbf{14}}{\mathbf{3}}$   أختار أي عدد أصغر من $\frac{\mathbf{14}}{\mathbf{3}}$  وأعوضه في المتباينة

مثلاً أختار العدد  ( 3 ) 

S - $\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}$ < 4                               المتباينة الأصلية

3 - $\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}$ <  4                          3 ب  S أعوض عن 

$\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{3}}$ <   4

$\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{3}}$ < 4                                   المتباينة صحيحة

...................................................................................................................................................................................................................................................................................

7)        y + 5  <  11                                                  المتباينة الأصلية

y + 5 - 5  <  11 - 5                                أطرح 5 من طرفي المتباينة

y < 6                                                             +5 -5 = 0

      y  < +6                                                                 إذن الحل

تمثيل حل المتباينة على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن حل المتباينة  y < 6   أختار أي عدد أقل  من  6   وأعوضه في المتباينة

مثلاً أختار العدد  ( 1 ) 

y + 5 <  11                               المتباينة الأصلية

1+5 < 11                           1 ب  y أعوض عن 

6 <   11                                  المتباينة صحيحة

..........................................................................................................................................................................................................................................................................

8)        -1  $\mathbf{\le }$  3 + b                                                  المتباينة الأصلية

-1 -3  $\mathbf{\le }$  3 + b - 3                               أطرح 3 من طرفي المتباينة

     -4 $\mathbf{\le }$  b                                                            +3  -3 = 0

      b  $\mathbf{\ge }$ -4                                                                 إذن الحل

تمثيل حل المتباينة على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن حل المتباينة  b $\mathbf{\ge }$ - 4   أختار أي عدد أصغر أو يساوي  4-   وأعوضه في المتباينة

مثلاً أختار العدد  ( -5 ) 

-1 $\mathbf{\le }$ 3 + b                               المتباينة الأصلية

-1 $\mathbf{\le }$3 + -5                           -5 ب  b أعوض عن 

-1 $\mathbf{\le }$   3 - 5

-1 $\mathbf{\le }$ -2                                    المتباينة صحيحة

......................................................................................................................................................................................................................................................................................

9)        8.1  <  y + 6.1                                               المتباينة الأصلية

8.1 - 6.1  <  y + 6.1 - 6.1                               أطرح 6.1 من طرفي المتباينة

2 <  y                                                            +8  -8 = 0

      y > 2                                                                 إذن الحل

تمثيل حل المتباينة على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن حل المتباينة  y > 2   أختار عدد أكبر من  2   وأعوضه في المتباينة

مثلاً أختار العدد  ( 3 ) 

8.3 < y + 6.1                              المتباينة الأصلية

8.1  < 3 + 6.1                          3 ب  y أعوض عن 

8.1 <   9.1                                  المتباينة صحيحة

..................................................................................................................................................................................................................................................................................

10)        2.4  $\mathbf{\ge }$  6.4 + n                                                 المتباينة الأصلية

2.4 - 6.4  $\mathbf{\ge }$  6.4 + n - 6.4                                أضيف  6.4-  الى طرفي المتباينة

-4 $\mathbf{\ge }$  n                                                            +6.4  -6.4 = 0

      n  $\mathbf{\le }$ -4                                                                 إذن الحل

تمثيل حل المتباينة على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن حل المتباينة  n $\mathbf{\le }$ -4   أختار عدد أكبر او يساوي 4-   وأعوضه في المتباينة

مثلاً أختار العدد  ( 1 ) 

2.4 $\mathbf{\ge }$ 6.4 + n                               المتباينة الأصلية

2.4 $\mathbf{\ge }$ 6.4 + 1                           1 ب  n أعوض عن 

2.4 $\mathbf{\ge }$   7.4                                  المتباينة صحيحة

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................

11)        -8  $\mathbf{\ge }$  8 + x                                                 المتباينة الأصلية

-8 - 8  $\mathbf{\ge }$  8 + x - 8                               أطرح 8 من طرفي المتباينة

- 16 $\mathbf{\ge }$  x                                                           +8  -8 = 0

      x  $\mathbf{\le }$ -16                                                                 إذن الحل

تمثيل حل المتباينة على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن حل المتباينة  x $\mathbf{\le }$ -16   أختار عدد أكبر او يساوي  -16   وأعوضه في المتباينة

مثلاً أختار العدد  ( -10 ) 

-8 $\mathbf{\ge }$ 8 + x                               المتباينة الأصلية

-8 $\mathbf{\ge }$  8 + - 10                           -10 ب  x أعوض عن 

-8 $\mathbf{\ge }$   -2                                  المتباينة صحيحة

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................

12)       $\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\mathbf{w}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{1}$                                                  المتباينة الأصلية

$\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{4}}$ + w > 3                                                                 ( $\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{4}}\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{1}$  )  نبسط المتباينة  

$\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{4}}\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{<}\mathbf{ }\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathit{w}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{4}}$                                                    $\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{4}}$  أطرح

 $\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\frac{\mathbf{12}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\mathit{w}$                                                            نوحد المقامات

$\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{4}}\mathbf{<}\mathbf{ }\mathit{w}$                                                               إذن الحل

تمثيل حل المتباينة على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن حل المتباينة  $\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\mathit{w}$   أختار أي عدد أكبر من  $\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{4}}$ وأعوضه في المتباينة

مثلاً أختار العدد  ( 2 ) 

$\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\mathbf{w}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{1}$                             المتباينة الأصلية

$\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{4}}$                           2 ب  w أعوض عن 

$\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\frac{\mathbf{8}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{4}}$                           نوحد المقامات

$\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{<}\frac{\mathbf{13}}{\mathbf{4}}$                                  المتباينة صحيحة

..........................................................................................................................................................................................................................................................................

اكتب المتباينة التي تمثل كل جملة مما يأتي ثم أحلها: 

13) عدد مضاف إليه  7  أكبر من  20

الحل:

أفرض أن العدد هو  y 

                                                                                                                                                                                                                                               فتكون المتباينة:                                               y + 7 > 20 

                                                                                                                                                                                                                                               أحل المتباينة                                                 y + 7  >  20 

                                                                                                                                                                                                                                               أطرح  7  من طرفي المتباينة                 y  + 7 - 7 >  20 - 7

y > 13                                                حل المتباينة

...................................................................................................................................................................................................................................................................................

14) عدد مطروح منه  9  أكبر من  5 -

الحل: 

أفرض أن العدد هو  x  : 

x - 9 > -5                                  فتكون المتباينة

x - 9 > -5                                    أحل المتباينة

x - 9 + 9 > - 5 + 9                أضيف  9  الى طرفي المتباينة

x > + 4                                      حل المتباينة

................................................................................................................................................................................................................................................................................

15)  العدد  6  أقل من أو يساوي مجموع عدد و 15

الحل: 

أفرض أن العدد هو  a : 

6   $\mathbf{\ge }$   a + 15                                        فتكون المتباينة 

6   $\mathbf{\ge }$   a + 15                                        أحل المتباينة

6 - 15    $\mathbf{\ge }$   a + 15 - 15                 أطرح  15  من طرفي المتباينة

-9   $\mathbf{\ge }$   a                                                حل المتباينة

...................................................................................................................................................................................................................................................................................

16) يخطط مندوب مبيعات إحدى شركات تصنيع الأدوية لتسويق  200  عبوة دواء على الأقل في أسبوع.

إذا تمكن من تسويق  30  عبوة في اليوم الأول من الأسبوع، فكم عبوة يحتاج الى تسويقها في الأيام المتبقية من الأسبوع ليصل إلى هدفه ؟ 

الحل : 

المعطيات:  1-  تسويق  200  عبوة دواء على الأقل في اسبوع.

               2-  تم تسويق  30  عبوة في اليوم الأول من الأسبوع.

المتغير:  ليكن  x  عدد العبوات باقي أيام الأسبوع

المطلوب : عدد العبوات المطلوب تسويقها باقي ايام الاسبوع 

x + 30  $\mathbf{\le }$    200                                      المتباينة 

x + 30   $\mathbf{\le }$    200                                    المتباينة الأصلية

x + 30 - 30     $\mathbf{\le }$     200 - 30                   أطرح  30  من طرفي المتباينة

x  $\mathbf{\le }$   170                                                حل المتباينة

إذن : عدد العبوات التي يحتاج تسويقها باقي أيام الأسبوع يجب أن يكون على الأقل   170  عبوة 

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................

17 )  إذا كان طول قاعدة المثلث المجاور أقل من ارتفاعه ، فما القيم الممكنة للمتغير  x ؟ 

12  <  4 + x                                 المتباينة الأصلية

12 - 4  < 4 + x - 4               أطرح  4  من طرفي المتباينة

8 < x                                               حل المتباينة

x > 8                                               حل المتباينة

القيم الممكنة للمتغير  x  أكبر من  8 

...............................................................................................................................................................................................................................................................................

18 ) ميزانية شهرية: يتقاضى موظف راتباً شهرياً مقداره  560  JD ، يوفر منه  100 JD شهرياً ، 

ويدفع 20 JD اشتراكاً شهرياَ في أحد مراكز اللياقة البدنية ويصرف باقي الراتب .

اكتب متباينة وأحلها لأجد الحد الأعلى للمبلغ الذي يمكن للموظف صرفه شهرياً .

الحل: 

المعطيات:  1-  الراتب الشهري للموظف  650

               2- توفير من الراتب      100

               3- اشتراك شهري  20

المتغير :  ليكن  y  مقدار مايصرفه الموظف شهرياً 

المطلوب: الحد الأعلى الذي يمكن للموظف صرفه شهرياً

y + 100 + 20  $\mathbf{\ge }$  560                              المتباينة

y + 120    $\mathbf{\ge }$    560                                   المتباينة الأصلية

y + 120 - 120  $\mathbf{\ge }$  560 - 120                    أطرح  120  من طرفي المتباينة

y   $\mathbf{\ge }$   440                                               حل المتباينة

وبذلك يكون الحد الأعلى للمصروف الشهري  440  JD

...................................................................................................................................................................................................................................................................................

19 ) زواحف: يحتاج حيوان أبو بريص الفهد إلى أن تكون درجة الحرارة في منطقة تعرضه للشمس 28 درجة سليسوس على الأقل،

إذا كانت درجة الحرارة الحالية  24 درجة سليسوس ، فأكتب متباينة وأحلها لأجد كم يجب أن ترتفع درجة الحرارة لتلبي حاجة ذلك الحيوان.

الحل: 

المعطيات:  1-  يحتاج الفهد أبو بريص درجة حرارة لا تقل عن  28  درجة

               2- درجة الحرارة الحالية  24  درجة 

المتغير :  ليكن x  مقدار ما يجب أن ترتفع درجة الحرارة 

المطلوب: درجة الحرارة المطلوبة لتلبية حاجة ابو بريص الفهد

x + 24   $\mathbf{\le }$  28                             المتباينة

x + 24 - 24  $\mathbf{\le }$  28 - 24               أطرح 24 من طرفي المتباينة

x   $\mathbf{\le }$  4                                    حل المتباينة

يجب أن ترتفع درجة الحرارة  4  درجات على الأقل.

...............................................................................................................................................................................................................................................................................

20) أعود إلى فقرة ( استكشف ) بداية الدرس، وأحل المسألة 

المعطيات: 1- سعة القرص  180  جيجابايت

              2- مقدار الاستعمال من القرص  112  جيجابايت

المتغير:  ليكن  a  حجم البيانات التي يمكن تخزينها على القرص

المطلوب : الحد الأقصى لحجم البيانات التي يمكن تخزينها على القرص

a + 112  $\mathbf{\ge }$    180

a + 112    $\mathbf{\ge }$   180

a + 112 - 112    $\mathbf{\ge }$   180 - 112

a   $\mathbf{\ge }$   68

إذن الحد الأقصى لحجم البيانات التي يمكن تخزينها على القرص  68  جيجابايت

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

21) مسألة مفتوحة : اكتب ثلاث متباينات مكافئة للمتباينة  y < -2  

الحل: 

للحصول على متباينات مكافئة للمتباينة  y <-2  

أضيف أو أطرح عدد ما إلى طرفي المتباينة 

1)  أضيف  5  مثلاً الى طرفي المتباينة الأصلية

1) y < -2                             المتباينة الأصلية

y + 5  < -2 + 5                    تضيف  5  مثلاً الى طرفي المتباينة

y + 5 < +3                         المتباينة المكافئة

2) أضيف  3  مثلاً  الى طرفي المتباينة الأصلية

2)  y < -2                         المتباينة الأصلية

y + 3 < -2 + 3 

y + 3 < 1                         المتباينة المكافئة

3) أطرح  6  من طرفي المتباينة الأصلية

3) y < -2                       المتباينة الأصلية

y - 6 < -2 -6 

y - 6 < -8                     المتباينة المكافئة

............................................................................................................................................................................................................................................................................................

22) اكتشف الخطأ : انظر الحل الآتي، واكتشف الخطأ الوارد فيه ، وأصححه: 

الخطأ: اضافة  10 الى الطرف الأول وعدم اضافته الى الطرف الثاني

التصحيح: 

-10 + x   $\mathbf{\le }$ -9                               المتباينة الأصلية

-10 + 10 +x $\mathbf{\le }$ -9 +10                  أضيف  10  الى طرفي المتباينة

x   $\mathbf{\le }$  +1                                         حل المتباينة

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................

23) كيف أستعمل خاصتي الجمع والطرح للمتباينات في حل متباينة؟ 

الحل:

أثناء حل المتباينة أعزل المتغير في أحد طرفي المتباينة كالآتي:

1)  إذا كان الطرف الذي يحوي المتغير مضافاً إلى عدد أطرح العدد من طرفي المتباينة.

2) إذا كان الطرف الذي يحوي المتغير مطروحاً منه عدد أضيف العدد إلى طرفي المتباينة.

...............................................................................................................................................................................................................................................................................

حل أسئلة كتاب التمارين :

أحل كل متباينة وأمثلها على خط الأعداد وأتحقق من صحة الحل:

 

1) m - 3 < 1       

m - 3 < 1                                     المتباينة الأصلية

m - 3 + 3 < 1 + 3                        أضيف  3  الى طرفي المتباينة

m < 4                                           حل المتباينة

التمثيل البياني على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل:

بما أن حل المتباينة  m < 4   أختار عدد أصغر من  4  

مثلاً  ( m = 4 )  وأعوض في المتباينة الأصلية 

m - 3 < 1                           المتباينة الأصلية

3 - 3 < 1                        ب 3   m أعوض عن 

0 < 1                                 المتباينة صحيحة

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................

 

2)  5 > m + 3      

5 > m + 3                                    المتباينة الأصلية

5 - 3 > m + 3 - 3                        أطرح  3  من طرفي المتباينة

2 > m      أو      m < 2                          حل المتباينة

التمثيل البياني على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل:

بما أن حل المتباينة  m < 2   أختار عدد أصغر من  2  

مثلاً  ( m = 1 )  وأعوض في المتباينة الأصلية 

5 > m + 3                           المتباينة الأصلية

5 > 1 + 3                        ب 1   m أعوض عن 

5 > 1                                 المتباينة صحيحة

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................

 

3)  y + 1.5     $\mathbf{\le }$   9.5    

y + 1.5   $\mathbf{\le }$   9.5                                               المتباينة الأصلية

y + 1.5 - 1.5    $\mathbf{\le }$     9.5 - 1.5                      أطرح  1.5  من طرفي المتباينة

y  $\mathbf{\le }$   8                         حل المتباينة

التمثيل البياني على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل:

بما أن حل المتباينة  y     8   أختار عدد أكبر من  8  

مثلاً  ( y = 10  )  وأعوض في المتباينة الأصلية 

y + 1.5    $\mathbf{\le }$   9.5                               المتباينة الأصلية

10 + 1.5     $\mathbf{\le }$      9.5                        ب 10   y أعوض عن 

11.5   $\mathbf{\le }$   9.5                                المتباينة صحيحة

......................................................................................................................................................................................................................................................................................

4)  - 7.6  $\mathbf{\ge }$  - 0.6 + r      

- 7.6   $\mathbf{\ge }$ - 0.6 + r                                  المتباينة الأصلية

- 7.6 + 0.6    $\mathbf{\ge }$  - 0.6 + r + 0.6                      أطرح  3  من طرفي المتباينة

-7  $\mathbf{\ge }$   r      أو      r   $\mathbf{\le }$  -7                       حل المتباينة

التمثيل البياني على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل:

بما أن حل المتباينة  r   $\mathbf{\le }$  7   أختار عدد أكبر من  7-  

مثلاً  ( r = -1  )  وأعوض في المتباينة الأصلية 

- 7.6   $\mathbf{\ge }$ - 0.6 + r                           المتباينة الأصلية

- 7.6  $\mathbf{\ge }$  - 0.6 -1                        -ب 1   r  أعوض عن 

- 7.6   $\mathbf{\ge }$ - 1.6                                 المتباينة صحيحة

....................................................................................................................................................................................................................................................................................

5)  - 1  $\mathbf{\le }$    x - 9   

- 1   $\mathbf{\le }$  x - 9                                    المتباينة الأصلية

-1 + 9    $\mathbf{\le }$     x - 9 + 9                        أطرح  9  من طرفي المتباينة

8 $\mathbf{\le }$ x      أو      x $\mathbf{\ge }$ 8                         حل المتباينة

التمثيل البياني على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل:

بما أن حل المتباينة  x $\mathbf{\ge }$  8   أختار عدد أصغر من  8  

مثلاً  ( x = 7  )  وأعوض في المتباينة الأصلية 

-1     $\mathbf{\le }$  x - 9                           المتباينة الأصلية

- 1   $\mathbf{\le }$   7 - 9                        ب 7   x أعوض عن 

-1   $\mathbf{\le }$    -2                                 المتباينة صحيحة

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................

6)  $\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{3}$ $\mathit{a}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$      

$\mathbf{a}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{3}$                                   المتباينة الأصلية

$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{a}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{3}$                        أطرح  $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$  من طرفي المتباينة

$\mathbf{a}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{2}}$

$\mathbf{a}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{أ}\mathbf{و}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{a}$                          حل المتباينة

التمثيل البياني على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل:

بما أن حل المتباينة  $\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{a}$   أختار عدد أكبر من  $\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{2}}$ 

مثلاً  ( a = 3  )  وأعوض في المتباينة الأصلية 

$\mathbf{a}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{3}$                           المتباينة الأصلية

$\mathbf{3}\mathbf{+}\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{3}$                        ب 3   a أعوض عن 

$\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{3}$

$\mathbf{ }\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{2}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{3}$                                  المتباينة صحيحة

......................................................................................................................................................................................................................................................................................

إذا كان  x + 6 $\mathbf{\le }$  20  فأكمل كل متباينة: 

7) x  $\mathbf{\le }$  ..........

x + 6   $\mathbf{\le }$  20                المتباينة الاصلية

x + 6 - 6   $\mathbf{\le }$  20 -6              -6  نطرح من طرفي المتباينة 

x $\mathbf{\le }$   14

......................................................................................................................................................................................................................................................................................

8)  x + ........  $\mathbf{\le }$  24

x + 6  $\mathbf{\le }$  20                          المتباينة الأصلية

x + 6 + 4     $\mathbf{\le }$   20 + 4            نضيف 4 الى طرفي المتباينة

x + 10   $\mathbf{\le }$  24

......................................................................................................................................................................................................................................................................................

9) x - 6  $\mathbf{\le }$   .........                  

x + 6   $\mathbf{\le }$  20                                المتباينة الأصلية

x + 6 - 12   $\mathbf{\le }$   20 - 12                نطرح 12 من طرفي المتباينة

x - 6   $\mathbf{\le }$   8 

......................................................................................................................................................................................................................................................................................

اكتب أصغر عدد صحيح y يحقق كل متباينة مما يأتي: 

10 ) y - 3 > 5

y - 3 + 3 > 5 + 3

y > 8          حل المتباينة

أصغر عدد صحيح يحقق المتباينة ( y = 9 ) 

......................................................................................................................................................................................................................................................................................

11)  y - 7 $\mathbf{\le }$  6 

y - 7 + 7   $\mathbf{\le }$    6 + 7

y  $\mathbf{\le }$  13       حل المتباينة

أصغر عدد صحيح يحقق المتباينة  ( y = 13 ) 

......................................................................................................................................................................................................................................................................................

اكتب أكبر عدد صحيح d يحقق كل متباينة: 

12)  d + 3 < -2

d + 3 - 3  < -2 -3

d < -5    حل المتباينة

 أكبر عدد صحيح يحقق المتباينة  ( d = -5 )

......................................................................................................................................................................................................................................................................................

13)  d - 4  $\mathbf{\ge }$ -2                   

d - 4 + 4   $\mathbf{\ge }$   - 2 + 4

d  $\mathbf{\ge }$  +2         حل المتباينة 

أكبر عدد صحيح يحقق المتباينة  ( d = +2 )

......................................................................................................................................................................................................................................................................................

14 ) هاني عضو في نادي البيئة ، ويطمح الى بيع  15  شتلة على الأقل خلال ثلاثة أيام في معرض ( الأرض ) الذي يقيمه النادي ، لينفق ريعها في المحافظة على البيئة

إذا باع هاني  4  شتلات في يوم الأحد ، و 5 شتلات يوم الاثنين ، فكم شتلة عليه أن يبيع يوم الثلاثاء؟

الحل:

المعطيات: - يطمح هاني لبيع  15  شتلة على الأقل خلال ثلاثة أيام 

              - يوم الأحد باع هاني  4  شتلات

              - يوم الاثنين باع هاني  5  شتلات

المطلوب:  كم شتلة على هاني أن يبيع يوم الثلاثاء؟

أفرض أن المتغير  x  عدد شتلات يوم الثلاثاء 

فتكون المتباينة :

x + 5 + 4  $\mathbf{\le }$   15

x + 9 $\mathbf{\le }$  15

x + 9 - 9   $\mathbf{\le }$   15 - 9 

x  $\mathbf{\le }$ 6      حل المتباينة

وبالتالي يجب على هاني بيع  6  شتلات على الأقل يوم الثلاثاء.

......................................................................................................................................................................................................................................................................................

15) يبين الشكل المجاور شكلاً رباعياً محيطه أقل من أو يساوي  cm 18.7 

اكتب متباينة وأحلها لايجاد قيم     x    المحتملة .                                                                                      

 

الحل: 

المعطيات : محيط الشكل أقل أو يساوي  18.7 cm

المطلوب : قيم x المحتملة

أعلم ان محيط أي شكل يساوي مجموع أطوال أضلاعه 

فتكون المتباينة : 

4.1 + 4.9 + 6.4 + x  $\mathbf{\ge }$   18.7

15.4 + x   $\mathbf{\ge }$   18.7

15.4 + x - 15.4  $\mathbf{\ge }$  18.7 - 15.4

x  $\mathbf{\ge }$ 3.3          حل المتباينة 

إذن قيم  x المحتملة أقل أو يساوي  3.3 cm

 

......................................................................................................................................................................................................................................................................................