رياضيات

 حل المتباينات متعددة الخطوات

 

من الممكن أن تحتوي المتباينات على اكثر من عملية ( جمع - طرح - ضرب - قسمة ) 

عندئذ أحل المتباينة باستعمال خصائص المتباينة.

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال (1) : أحل كل متباينة مما يأتي وأمثل الحل على خط الأعداد ثم أتحقق من صحة الحل : 

1) 3x - 2 < 4                       المتباينة الأصلية

3x - 2 + 2 < 4 + 2       أضيف 2 الى طرفي المتباينة

$\frac{\mathbf{3}\mathbf{x}}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{3}}$                  اقسم طرفي المتباينة على 3

x < 2                                حل المتباينة

تمثيل حل المتباينة على خط الأعداد: 

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن الحل  x < 2   أختار أي عدد أصغر من  2  

مثلاً (  x = 1 )  وأعوضه في المتباينة الأصلية :

3x - 2 < 4                      المتباينة الأصلية

3 ( 1 ) - 2 < 4            ب 1   x  أعوض عن  

3 - 2 < 4                

1 < 4                            المتباينة صحيحة

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ملاحظة:  في بعض الأحيان تحوي المتباينة متغيرات في طرفيها لحل هذا النوع من المتباينات: 

أقوم بتجميع الحدود التي تحوي على المتغيرات في طرف واحد ، والحدود الثابتة في طرف آخر ، ثم أطبق خصائص المتباينات.

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 2 ) : أحل المتباينة وأمثل الحل على خط الأعداد ثم أتحقق من صحته: 

المتباينة الأصلية :                                                                                                                                                                                                                                                    $\mathbf{5}\mathbf{y}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{14}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{y}$

ملاحظة : أجعل الحدود الثابتة في طرف واحد

وذلك بإضافة  4  الى الطرفين فتصبح المتباينة :

$$\begin{gathered} \mathbf{5}\mathbf{y}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{14}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{y}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{4} \\ \mathbf{5}\mathbf{y}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{18}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{y}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{أبسط} \end{gathered}$$

ملاحظة : أجعل المتغيرات في طرف واحد آخر 

وذلك بإضافة  4y الى طرفي المتباينة فتصبح :

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{5y + 4y ≥18 - 4y + 4y}} \\ \mathbf{\text{9y ≥ 18 أبسط}} \\ \frac{\mathbf{9}\mathbf{y}\mathbf{ }}{\mathbf{9}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\frac{\mathbf{18}}{\mathbf{9}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{9}\mathbf{ }\mathbf{على}\mathbf{ }\mathbf{المتباينة}\mathbf{ }\mathbf{طرفي}\mathbf{ }\mathbf{نقسم} \\ \mathbf{y}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{المتباينة}\mathbf{ }\mathbf{حل}\mathbf{ } \end{gathered}$$

تمثيل الحل على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل : 

بما أن الحل  $\mathbf{y}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{2}$  نختار عدد أكبر من مثلا ( y = 3 ) 

وأعوضه في المتباينة الاصلية :

5y - 4 $\mathbf{\ge }$ 14 - 4 y                            المتباينة الأصلية

5 ( 3 ) - 4 $\mathbf{\ge }$ 14  - 4 ( 3 )             3 ب y   أعوض عن 

15 - 4 $\mathbf{\ge }$ 14 - 12

11 $\mathbf{\ge }$ 2                                            حل المتباينة 

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

أتذكر : توزيع الضرب على الجمع أو الطرح: 

مثال : 

2 ( x + 1 ) = 2x + 2 

مثال:  

3 ( z - 4 ) = 3 z - 12

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 3 ) :  أحل المتباينة : 

2 ( z + 4 )  > 3 z - 6                               المتباينة الأصلية

2 z + 8 > 3 z - 6                                       خاصية التوزيع

2 z + 8 - 8 > 3 z - 6 - 8                اطرح 8 من طرفي المتباينة

2z > 3z - 14                                               أبسط

2 z - 3 z > 3 z - 14 - 3 z               $\mathbf{3}\mathbf{z}$ أطرح من طرفي المتباينة

-1 z > - 14

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{z}}{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{14}}{\mathbf{-}\mathbf{1}}$                   أقسم طرفي المتباينة على 1-  ونقلب اشارة المتباينة لان القسمة على عدد سالب تغير اشارة المتباينة

z < 14                                                                     <    من  <    الى 

z < 14                                حل المتباينة

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ملاحظة : أحيانا عند حل المتباينة نحصل على : 

1 ) جملة رياضية صحيحة دائماً مثل  4 > 3  

في هذه الحالة يكون الحل جميع الأعداد الحقيقية 

2 ) جملة رياضية غير صحيحة دائماً مثلاً  2 > 9  

في هذه الحالة لا يوجد حل للمتباينة.

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 4 ) : أحل كلاً من المتباينات الآتية :

1) 13 + 8b > 2 ( 6 + 4b )                      المتباينة الأصلية

13 + 8b > 12 + 8b                               خاصية التوزيع

13 + 8b - 8b > 12 + 8b -8b                   8b  أطرح من طرفي المتباينة

13 > 12                                                   أبسط

 والجملة الأخيرة صحيحة دوماً

اذن الحل هو جميع الأعداد الحقيقية 

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

2) L - 2 + 9L  < 15L - 7 - 5L                           المتباينة الأصلية

10L -2 < 10L - 7                                             أبسط

10L - 2 -10L < 10L - 7 -10L                       10 L    أطرح من طرفي المتباينة 

-2 < -7                                                                  ابسط

والجملة الرياضية الأخيرة غير صحيحة دائماً

إذن لا يوجد حل للمتباينة.

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

مسألة حياتية:

مصاعد : يبلغ الحد الأقصى لحمولة مصعد في البناية التي يسكن فيها هشام 400 كيلو جرام

إذا أراد هشام تحميل مجموعة من الصناديق كتلة الواحد منها 20 كيلو جرام 

فما أكبر عدد من الصناديق يمكن له تحميلها في المصعد بأمان؟ 

علماً أن كتلة هشام  8 كيلو جرام

الحل: 

المعطيات:  - الحد الأقصى لحمولة المصعد 400 كيلو جرام

             - كتلة هشام  80  كيلو جرام

             - كتلة الصندوق الواحد 20 كيلو جرام 

المطلوب: أكبر عدد من الصناديق يمكن تحميلها بأمان.

المتغير :  أفرض  x  عدد الصناديق إذن كتلة الصناديق  20x 

المتباينة:

80 + 20x $\mathbf{\le }$ 400                                           المتباينة

80 + 20x - 30 $\mathbf{\le }$400 - 80                  أطرح 80 من طرفي المتباينة

$\frac{\mathbf{20}\mathbf{x}}{\mathbf{20}}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\frac{\mathbf{320}}{\mathbf{20}}$                                    أقسم طرفي المتباينة على 20

x $\mathbf{\le }$ 16                                                      أبسط

إذن يمكن لهشام تحميل  16  صندوق كحد أقصى في المصعد

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................