رياضيات فصل ثاني

حل المتباينات متعددة الخطوات

حل أسئلة أتحقق من فهمي :

أتحقق من فهمي: 

أحل كل متباينة مما يأتي وأمثل على خط الأعداد ثم أتحقق من صحة الحل : 

3)  2x + 6 $\mathbf{\le }$  14                 المتباينة الأصلية

2x + 6 - 6 $\mathbf{\le }$  14 - 6

2x $\mathbf{\le }$  8

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{\le }\frac{\mathbf{8}}{\mathbf{2}}$

x $\mathbf{\le }$ 4                              حل المتباينة

التمثيل على خط الأعداد : 

أتحقق من صحة الحل : 

بما أن   $\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{4}$  نختار عدد أقل أو يساوي  4  

مثلاً  ( x  = 2 ) ونعوضه في المتباينة الأصلية 

2x + 6 $\mathbf{\le }$ 14            المتباينة الأصلية

2 ( 2 ) + 6 $\mathbf{\le }$ 14

4 + 6 $\mathbf{\le }$ 14

10 $\mathbf{\le }$ 14              المتباينة صحيحة

.................................................................................................................................................................................................................................................

4)  -3 x + 7 > -5                 المتباينة الأصلية      

-3x + 7 - 7 > - 5 - 7

-3x  >  -12

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{x}}{\mathbf{-}\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{12}}{\mathbf{-}\mathbf{3}}$

x < 4                                 حل المتباينة

التمثيل على خط الأعداد : 

أتحقق من صحة الحل : 

بما أن الحل  x < 4   أختار عدد أقل من  4  

مثلاً  ( x = 3 )  ونعوضه في المتباينة الأصلية

-3x + 7 > -5                 المتباينة الأصلية

-3 ( 3 ) + 7 > -5

-9 + 7 > -5

-2 > -5                         المتباينة صحيحة

.................................................................................................................................................................................................................................................

أتحقق من فهمي : 

أحل المتباينة      5w - 7 > 3w + 2     

وأمثل الحل على خط الأعداد ثم أتحقق من صحة الحل : 

الحل : 

5w - 7 > 3w + 2

5w - 7 + 7 > 3w + 2 +7

5w > 3w +9

5w -3w > 3w + 9 -3w

2w > 9

$\frac{\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{w}}{\mathbf{2}} \mathbf{>}\mathbf{ }\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{2}}$

w > 4.5            حل المتباينة   

التمثيل على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن الحل  w > 4.5  نختار عدد أكبر من  w  

مثلاً  ( w = 5 ) ونعوضه في المتباينة الأصلية 

5w - 7 > 3w + 2            المتباينة الأصلية

5 ( 5 ) - 7 > 3 ( 5 ) + 2

25 - 7 > 15 + 2

18 > 17                        المتباينة صحيحة 

....................................................................................................................................................................................................................................................

أتحقق من فهمي : 

أحل المتباينة :

15 $\mathbf{\le }$  5 - 2 ( 4m + 7 ) 

15  $\mathbf{\le }$  5 - 8m - 14 

15  $\mathbf{\le }$  - 8m - 9 

15 + 9   $\mathbf{\le }$  -8m - 9 + 9

24  $\mathbf{\le }$ - 8m

$\frac{\mathbf{24}}{\mathbf{-}\mathbf{8}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{8}\mathbf{m}}{\mathbf{-}\mathbf{8}}$

-3 $\mathbf{\ge }$ m

إذن حل المتباينة  :       $\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{أو}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{3}$

....................................................................................................................................................................................................................................................

أتحقق من فهمي : 

أحل كل من المتباينات الآتية : 

3) 12 - 8h $\mathbf{\le }$  2 ( 6 - 4h ) 

12 - 8h  $\mathbf{\le }$ 12 - 8h

12 - 8h +8h  $\mathbf{\le }$12 - 8h + 8h 

12 $\mathbf{\le }$  12                    المتباينة صحيحة دوماً

إذن حل المتباينة جميع الأعداد الحقيقة.

....................................................................................................................................................................................................................................................

4)  3 ( 2 + m )  > 5m + 9 - 2m

6 + 3m >  3m +9

6 + 3m - 3m > 3m +9 - 3m

6 > 9                         المتباينة غير صحيحة دوماً

إذن لا يوجد حل للمتباينة

....................................................................................................................................................................................................................................................

أتحقق من فهمي : 

تسويق : ترغب لين في الاعلان عن منتجات شركتها على موقع الكتروني مقابل  10 JD  شهرياً ،

إضافة الى  0.05 JD عن كل من يزور موقع الاعلان.

أجد أقل عدد من الزيارات الشهرية لموقع الاعلان ليكون المبلغ الذي يتقاضاه الموقع الالكتروني من شركة ريم  100  JD على الأقل ؟

الحل : 

المعطيات:  - أجرة الاعلان  10 JD  شهرياً .

             - بالاضافة الى 0.05 JD  عن كل من يزور موقع الاعلان .

المطلوب:  عدد الزيارات الشهرية للموقع ليكون المبلغ الذي يتقاضاه الموقع  100 JD

المتغير: أفرض  x  عدد الزيارات الشهرية 

فيكون المبلغ الذي يتقاضاه الموقع الالكتروني شهرياً                      0.05x + 10

0.05 x + 10 $\mathbf{\ge }$ 100

0.05 x + 10 - 10  $\mathbf{\ge }$ 100 - 10

$$\begin{gathered} \frac{\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{05}\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{ }}{\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{05}}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\frac{\mathbf{90}}{\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{05}} \\ \mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\frac{\mathbf{90}}{{\displaystyle \frac{\mathbf{5}}{\mathbf{100}}}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{05}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{100}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{:}\mathbf{أن}\mathbf{ }\mathbf{حيث}\mathbf{ }\mathbf{)} \\ \mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{90}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }\frac{\mathbf{100}}{\mathbf{5}} \end{gathered}$$

x $\mathbf{\ge }$ 90 $\mathbf{\times }$ 20

x $\mathbf{\ge }$ 1800 

إذن أقل عدد من الزيارات الشهرية المطلوبة هي  1800  زيارة .

.......................................................................................................................................................................................................................................................

حل مسائل الدرس : 

أتدرب وأحل المسائل : 

أحل كل متباينة وأمثل الحل على خط الأعداد ثم أتحقق من صحة الحل : 

1)  3x - 2 < 13                المتباينة الأصلية 

3x - 2 + 2  < 13 + 2

$\frac{\mathbf{3}\mathbf{x}}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\frac{\mathbf{15}}{\mathbf{3}}$

x < 5                                 حل المتباينة

التمثيل على خط الأعداد: 

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن الحل  x < 5  أختار عدد أقل من  5  

مثلاً  ( x = 5 )  وأعوضه في المتباينة الأصلية 

3x - 2 < 13

3 ( 1 ) - 2 < 13

3 - 2 < 13 

1 < 13                      المتباينة صحيحة 

.......................................................................................................................................................................................................................................................

2)  -6 > 3 - 3x 

-6 -3 > 3 - 3x - 3

-9  > -3x

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{9}}{\mathbf{-}\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{x}}{\mathbf{-}\mathbf{3}}$

3 < x                            حل المتباينة

إذن حل المتباينة    3 < x  

التمثيل على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل : 

بما أن الحل  x > 3   أختار عدد أكبر من  1  

مثلاً  ( x = 4 )  ونعوضه في المتباينة الأصلية 

-6 > 3 - 3x

-6 > 3 - 3 ( 4 ) 

-6 > 3 - 12 

-6 > -9             المتباينة صحيحة

.......................................................................................................................................................................................................................................................

3)  -5 $\mathbf{\ge }$  4x + 7

-5 -7  $\mathbf{\ge }$  4x + 7 - 7

-12 $\mathbf{\ge }$  4x

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{12}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\frac{\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{ }}{\mathbf{4}}$

-3 $\mathbf{\ge }$ x                                   حل المتباينة

إذن حل المتباينة   $\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{و}\mathbf{أ}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{3}$ 

التمثيل على خط الأعداد: 

أتحقق من صحة الحل : 

بما أن  $\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{3}$  أختار عدد أقل أو يساوي  3- 

مثلاً  (  x = - 5 )  ونعوضه في المتباينة الأصلية

- 5 $\mathbf{\ge }$  4x +7

- 5  $\mathbf{\ge }$  4 ( -5 ) + 7

- 5  $\mathbf{\ge }$ - 20 + 7

- 5  $\mathbf{\ge }$  -13                           المتباينة صحيحة

.......................................................................................................................................................................................................................................................

4)  5 - 2x  < 17                المتباينة الأصلية 

5 - 2x - 5 < 17 - 5 

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\frac{\mathbf{12}}{\mathbf{-}\mathbf{2}}$

x > - 6                                 حل المتباينة

التمثيل على خط الأعداد: 

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن الحل  x > -6  أختار عدد أكبر من  6 -  

مثلاً  ( x = -1 )  وأعوضه في المتباينة الأصلية 

5 - 2x < 17

5 - 2 ( - 1 ) < 17

5 + 2 < 17 

7 < 17                         المتباينة صحيحة 

 .......................................................................................................................................................................................................................................................

5)  7b - 4  $\mathbf{\le }$ 10                المتباينة الأصلية 

7b - 4 + 4  $\mathbf{\le }$ 10 + 4

7b $\mathbf{\le }$  14

$\frac{\mathbf{7}\mathbf{b}}{\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\frac{\mathbf{14}}{\mathbf{7}}$

b $\mathbf{\le }$ 2                                  حل المتباينة

التمثيل على خط الأعداد: 

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن الحل  b $\mathbf{\le }$ 2  أختار عدد أقل أو يساوي  2 

مثلاً  ( b = 1 )  وأعوضه في المتباينة الأصلية 

7b - 4  $\mathbf{\le }$ 10

7 ( 1 )  - 4  $\mathbf{\le }$  10

7 - 4  $\mathbf{\le }$ 10

3  $\mathbf{\le }$ 10                      المتباينة صحيحة 

.......................................................................................................................................................................................................................................................

6)  - 6g + 2 > 20                المتباينة الأصلية 

- 6g + 2 -2 > 20 - 2

-6g > 18

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{g}\mathbf{ }}{\mathbf{-}\mathbf{6}}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\frac{\mathbf{18}}{\mathbf{-}\mathbf{6}}$

g < -3                                 حل المتباينة

التمثيل على خط الأعداد: 

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن الحل  x < -3  أختار عدد أقل من  3-  

مثلاً  ( x = - 4 )  وأعوضه في المتباينة الأصلية 

- 6g + 2 > 20

- 6 ( -4 ) +2 > 20

+ 24 + 2 > 20

26 > 20                      المتباينة صحيحة 

.......................................................................................................................................................................................................................................................

أحل كلاً من المتباينات الاتية وأتحقق من صحة الحل : 

 

7)  3y + 6 < 2y - 8                المتباينة الأصلية 

3y + 6 - 6 < 2y - 14 

3y < 2y - 14

3y - 2y < 2y - 2y -14

y < - 14                             حل المتباينة

 

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن الحل  y < -14  أختار عدد أقل من  14-  

مثلاً  ( y = -15 )  وأعوضه في المتباينة الأصلية 

3y + 6 < 2 y - 8

3 ( -15 ) +6 < 2 ( - 15 ) - 8

- 45 + 6 < - 30  -8

- 39 < - 38                       المتباينة صحيحة 

.......................................................................................................................................................................................................................................................

8)  6x + 10  $\mathbf{\le }$ 2 ( 7 - x )                المتباينة الأصلية 

6x + 10 $\mathbf{\le }$  14 - 2x

6x +10 - 10  $\mathbf{\le }$   14 - 2x -10

6x  $\mathbf{\le }$  4 - 2x

6x + 2x  $\mathbf{\le }$  4 - 2x + 2x

8x $\mathbf{\le }$  4

$\frac{\mathbf{8}\mathbf{x}}{\mathbf{8}}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{8}}$

x $\mathbf{\le }$ 0.5                                 حل المتباينة

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن الحل  $\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{5}$  أختار عدد أقل من أو يساوي  0.5  

مثلاً  ( x = 0 )  وأعوضه في المتباينة الأصلية 

6x + 10 $\mathbf{\le }$ 2 ( 7 - x ) 

6 ( 0 ) + 10 $\mathbf{\le }$  2 ( 7 - 0 )

0 + 10  $\mathbf{\le }$ 14

10  $\mathbf{\le }$ 14                    المتباينة صحيحة 

.......................................................................................................................................................................................................................................................

9)  3 ( x + 1 ) > 10 + 2x                المتباينة الأصلية 

3x + 3 > 10 + 2x

3x + 3 -3 > 10 + 2x - 3 

3x > 7 + 2x

3x - 2x > 7 + 2x - 2x

x > 7                             حل المتباينة

 

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن الحل  x > 7   أختار عدد أكبر من  7 

مثلاً  ( x = 10 )  وأعوضه في المتباينة الأصلية 

3 ( x + 1 ) > 10 + 2x

3 ( 10 + 1 )  > 10 + 2 ( 10 )

3 ( 11 ) > 10 + 20

33 > 30             المتباينة صحيحة

.......................................................................................................................................................................................................................................................

10)  2 ( 7 - 3a )  $\mathbf{\le }$  14 - 6a                المتباينة الأصلية 

14 - 6a   $\mathbf{\le }$  14 - 6a

14 - 6a + 6a  $\mathbf{\le }$  14 - 6a + 6a

14 $\mathbf{\le }$  14                            حل المتباينة

المتباينة صحيحة دوماً

وبالتالي الحل هو جميع الأعداد الحقيقة 

أتحقق من صحة الحل: 

أختار أي عدد من الأعداد الصحيحة   

مثلاً  ( a = 1 )  وأعوضه في المتباينة الأصلية 

2 ( 7 - 3a )  $\mathbf{\le }$  14 - 6a

2 ( 7 - 3(1)  )  $\mathbf{\le }$ 14 - 6 ( 1 )  

2 ( 7 - 3 )  $\mathbf{\le }$ 14 - 6

2 ( 4 ) $\mathbf{\le }$ 8

8 $\mathbf{\le }$ 8                       المتباينة صحيحة

.......................................................................................................................................................................................................................................................

11)  x - 4 - 7x   >  1 - 6x

- 6x - 4 >  1 - 6x 

- 6x - 4 + 6x  > 1 - 6x + 6x 

- 4 > 1

المتباينة غير صحيحة دائماً وبالتالي لا يوجد حل للمتباينة

.......................................................................................................................................................................................................................................................

12)  8.1 x + 1 > 8.1x  - 10

8.1x + 1 - 8.1x  >  8.1x - 10 - 8.1x

1 > - 10

المتباينة صحيحة دائماً 

وبالتالي الحل جميع الأعداد الحقيقية

.......................................................................................................................................................................................................................................................

 $$\begin{gathered} \mathbf{13}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{7} \\ \frac{\mathbf{x}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{7}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{4} \\ \frac{\mathbf{x}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }\mathbf{2} \\ \mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{6} \end{gathered}$$

أتحقق من صحة الحل : 

بما أن  x > 6   أختار عدد أكبر من  6 

مثلاً  (  x = 8 )  وأعوضه في المتباينة الأصلية

$$\begin{gathered} \frac{\mathbf{x}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{7} \\ \frac{\mathbf{8}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{7} \\ \mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{7} \end{gathered}$$

8 > 7                 المتباينة صحيحة

.......................................................................................................................................................................................................................................................

 

14)  5w - 7 $\mathbf{\le }$ 3w +4                   المتباينة الأصلية 

5w - 7 - 3w  $\mathbf{\le }$  3w + 4 - 3w 

2w - 7 + 7 $\mathbf{\le }$ +4 +7

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{w}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\frac{\mathbf{11}}{\mathbf{2}}$

w $\mathbf{\le }$ 5.5                                      حل المتباينة

 

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن الحل  $\mathbf{w}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{5}$  أختار عدد أقل من  5.5  

مثلاً  ( w = 4 )  وأعوضه في المتباينة الأصلية 

5w - 7 $\mathbf{\le }$ 3w +4

5 ( 4 ) - 7 $\mathbf{\le }$ 3 ( 4 ) + 4 

20 - 7 $\mathbf{\le }$ 12 + 4 

13 $\mathbf{\le }$ 16                       المتباينة صحيحة 

........................................................................................................................................................................................................................................................

 

15)  2 ( 4x -1 ) $\mathbf{\le }$ 3 ( x + 4 )                المتباينة الأصلية 

8x - 2 $\mathbf{\le }$ 3x +12 

8x -3x - 2 $\mathbf{\le }$ 3x +12 - 3x

5x - 2 $\mathbf{\le }$ 12

5x - 2 + 2  $\mathbf{\le }$ 12 + 2

5x  $\mathbf{\le }$   14

$\frac{\mathbf{5}\mathbf{x}}{\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\frac{\mathbf{14}}{\mathbf{5}}$

x  $\mathbf{\le }$ 2.8                           حل المتباينة

 

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن الحل  $\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{8}$  أختار عدد أقل من  2.8 

مثلاً  ( x = 1 )  وأعوضه في المتباينة الأصلية 

2 ( 4x - 1 )  $\mathbf{\le }$ 3 ( x + 4 ) 

2 ( 4 (1) - 1 )  $\mathbf{\le }$ 3 ( 1 + 4 ) 

2 ( 3 ) $\mathbf{\le }$  3 (5 )

6 $\mathbf{\le }$ 15                      المتباينة صحيحة 

.................................................................................................................................................................................................................................................

16)  $\frac{\mathbf{2}\mathbf{t}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{2}}{\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{4}$                المتباينة الأصلية 

                 :أضرب طرفي المتباينة بالعدد  7  فتصبح

2t -2 > 4 $\mathbf{\times }$ 7

2t - 2 > 28

2t -2 +2  > 28 +2

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{t}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\frac{\mathbf{30}}{\mathbf{2}}$

t > 15                             حل المتباينة

 

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن الحل  t > 5  أختار عدد أكبر من  15  

مثلاً  ( t = 20 )  وأعوضه في المتباينة الأصلية 

 

$$\begin{gathered} \frac{\mathbf{2}\mathbf{t}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{2}}{\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{4} \\ \frac{\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }\mathbf{20}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{2}}{\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{4} \\ \frac{\mathbf{40}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{ }}{\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{4} \end{gathered}$$

 

$\frac{\mathbf{38}}{\mathbf{7}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{ }$                       المتباينة صحيحة 

.................................................................................................................................................................................................................................................

17)  3 ( x - 2 )  < 15                المتباينة الأصلية 

3x - 6  < 15

3x - 6 + 6 < 15 + 6

3x < 21

$\frac{\mathbf{3}\mathbf{x}}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\frac{\mathbf{21}}{\mathbf{3}}$

x < 7                            حل المتباينة

 

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن الحل  x < 7  أختار عدد أقل من  7 

مثلاً  ( x = 5 )  وأعوضه في المتباينة الأصلية 

3 ( x - 2 ) < 15

3 ( 5 - 2 ) < 15

3 ( 3 ) <  15

9 < 15                       المتباينة صحيحة 

................................................................................................................................................................................................................................................

18)  2 ( 4t - 3 ) $\mathbf{\ge }$ 36                المتباينة الأصلية 

8t - 6 $\mathbf{\ge }$ 36

8t - 6 + 6  $\mathbf{\ge }$ 36 + 6

8t  $\mathbf{\ge }$ 42

$\frac{\mathbf{8}\mathbf{t}}{\mathbf{8}}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\frac{\mathbf{42}}{\mathbf{8}}$

t  $\mathbf{\ge }$ 5.25                           حل المتباينة

 

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن الحل  $\mathbf{t}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{25}$  أختار عدد أقل من  5.25 

مثلاً  ( t = 6 )  وأعوضه في المتباينة الأصلية 

2 ( 4t - 3 )  $\mathbf{\ge }$ 36

2 ( 4 (6) - 3 )  $\mathbf{\ge }$ 36

2 ( 24 - 3 )  $\mathbf{\ge }$ 36

2 (21)  $\mathbf{\ge }$  36

42 $\mathbf{\ge }$   36                       المتباينة صحيحة 

.................................................................................................................................................................................................................................................

19)  9h + 8 - 3h $\mathbf{\ge }$  2 ( 3h + 1 ) + 6                المتباينة الأصلية 

9h + 8 - 3h $\mathbf{\ge }$  6h + 2 + 6 

6h + 8 $\mathbf{\ge }$ 6h + 8

6h + 8 - 6h $\mathbf{\ge }$ 6h + 8 - 6h

8 $\mathbf{\ge }$ 8                             المتباينة صحيحة دوماً

إذن حل المتباينة هو جميع الأعداد الحقيقية.

.................................................................................................................................................................................................................................................

20) n - 1 > 3n + 4 - 2n              المتباينة الأصلية

n - 1 > n + 4

n - 1 - n > n + 4 - n

- 1 > 4                                المتباينة غير صحيحة دوماً

إذن لا يوجد حل للمتباينة

.................................................................................................................................................................................................................................................

اكتب متباينة تمثل كل جملة مما يأتي ثم حلها : 

21)  ثلثا عدد مطروحاً منه  5  لا يزيد على 15.

الحل: 

أفرض العدد هو  x   فتكون المتباينة :

$$\begin{gathered} \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{15} \\ \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{15}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{5} \\ \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{20}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}\mathbf{ب}\mathbf{ }\mathbf{المتباينة}\mathbf{ }\mathbf{طرفي}\mathbf{ }\mathbf{نضرب} \\ \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{20}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}} \\ \mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{30}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{المتباينة}\mathbf{ }\mathbf{حل} \end{gathered}$$

.................................................................................................................................................................................................................................................

22) أربعة أمثال عدد مضافاً اليه  5  أكبر من  2 :

الحل: 

أفرض العدد  y  فتكون المتباينة : 

4y + 5 > 2

4y + 5 - 5  >  2 - 5

$\frac{\mathbf{4}\mathbf{y}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{4}}$

y >  $\mathbf{-}\mathbf{ }\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}$                    حل المتباينة

.................................................................................................................................................................................................................................................

23) تجارة :  يمتلك كرم معملاً لإنتاج الطاولات تكلفة تشغيله الأسبوعية  270  JD،

إضافة إلى 60 JD لإنتاج الطاولة الواحدة. يبيع كرم الطاولة الواحدة بمبلغ  150 JD .

اكتب متباينة يمكن استخدامها لتحديد عدد الطاولات التي يجب إنتاجها وبيعها لتحقيق ربح أسبوعي ، وأحل المتباينة .

الحل: 

المعطيات:  - تكلفة التشغيل الاسبوعية  270 JD

             - تكلفة انتاج الطاولة الواحدة  60  JD

             - يبيع كرم الطاولة بمبلغ  150  JD

المطلوب : كتابة وحل متباينة يمكن استخدامها لتحديد عدد الطاولات التي يمكن انتاجها وبيعها لتحقيق ربح اسبوعي.

المتغير: أفرض أن عدد الطاولات  m  فيكون تكلفة الطاولات   60m

ويكون ثمن الطاولات    150m 

عندئذ تكون المتباينة المطلوبة : 

60m + 270  <  150m

60m + 270 - 60m  < 150m  - 60 m

$\frac{\mathbf{270}}{\mathbf{90}}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\frac{\mathbf{90}\mathbf{m}}{\mathbf{90}}$

3 < m

عدد الطاولات اللازم بيعها لتحقيق ربح اسبوعي  هو  3  طاولات.

.................................................................................................................................................................................................................................................

24) علوم: إذا كانت  C  تمثل درجة الحرارة بالسيليسوس و F تمثل درجة الحرارة بالفهرنهايت 

و $\mathbf{C}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{F}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{32}\mathbf{ }\mathbf{)}}{\mathbf{9}}$  ، فاكتب متباينة يمكن استعمالها لأجد درجات الحرارة بالفهرنهايت التي يكون عندها

الذهب صلباً ، ثم أحلها علماً بأن درجة انصهار الذهب  1064 درجة سيليسوس.

الحل: 

المعطيات:   -  C  تمثل درجة الحرارة بالسيليسيوس

              -   F  درجة الحرارة بالفهرنهايت

              - العلاقة بين    C  و    F   هي    $\mathbf{C}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{F}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{32}\mathbf{ }\mathbf{)}}{\mathbf{9}}$   

             - درجة انصهار الذهب  1064 درجة سيليسوس 

المطلوب : متباينة تستعمل لايجاد درجة الحرارة بالفهرنهايت ويكون عندها الذهب صلباً 

C < 1064

$\frac{\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{F}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{32}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }}{\mathbf{9}}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\mathbf{1064}$

5 ( F - 32 ) < 1064 $\mathbf{\times }$ 9             نضرب طرفي المتباينة ب 9

5F - 160 + 160 < 9576 + 160

$\frac{\mathbf{5}\mathbf{F}}{\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\frac{\mathbf{9736}}{\mathbf{5}}$

F < 1947.2        

يجب أن تكون درجة الحرارة اقل من  1947.2  فهرنهايت .

.................................................................................................................................................................................................................................................

تحد: 

أحل كلاً من المتباينات الآتية : 

25)  25 + $\frac{\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{3}}$ > 35 - x

$$\begin{gathered} \mathbf{25}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\frac{\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{35}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{x} \\ \mathbf{25}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\frac{\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{ }}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{25}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{35}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{25} \\ \frac{\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{ }}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{10}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{المقامات}\mathbf{ }\mathbf{نوحد}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ } \\ \frac{\mathbf{5}\mathbf{x}}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{10}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{ب}\mathbf{ }\mathbf{المتباينة}\mathbf{ }\mathbf{طرفي}\mathbf{ }\mathbf{نضرب} \\ \frac{\mathbf{5}\mathbf{x}}{\mathbf{3}}\mathbf{\times }\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{10}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }\mathbf{3} \\ \frac{\mathbf{5}\mathbf{x}}{\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\frac{\mathbf{30}}{\mathbf{5}} \\ \mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{المتباينة}\mathbf{ }\mathbf{حل} \end{gathered}$$

............................................................................................................................................................................................................................................................

$$\begin{gathered} \mathbf{26}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{\mathbf{3}\mathbf{x}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{x} \\ \frac{\mathbf{3}\mathbf{x}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{x} \\ \frac{\mathbf{3}\mathbf{x}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{5} \\ \frac{\mathbf{3}\mathbf{x}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{المقامات}\mathbf{ }\mathbf{توحيد} \\ \frac{\mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{24}\mathbf{x}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{10}}{\mathbf{2}} \\ \frac{\mathbf{27}\mathbf{ }\mathbf{x}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{9}}{\mathbf{2}} \\ \frac{\mathbf{27}\mathbf{x}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{9}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{ب}\mathbf{ }\mathbf{المتباينة}\mathbf{ }\mathbf{طرفي}\mathbf{ }\mathbf{نضرب} \\ \frac{\mathbf{27}\mathbf{x}}{\mathbf{27}}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{18}}{\mathbf{27}} \\ \mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{-}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{المتباينة}\mathbf{ }\mathbf{حل} \end{gathered}$$

 

.................................................................................................................................................................................................................................................

27) تبرير :  اعتماداً على الشكل المجاور،  أجد أقل قيمة ل   x  ، علماً  بأن  x عدد كلي .                          

                                                                                                                                 

بما أن مجموع طولي أي ضلعين في المثلث أكبر من الضلع الثالث تكون المتباينة :                 

x + x + 2  > 10                                                                                                                                                                           

2x + 2 - 2 > 10 - 2

2x  > 8

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\frac{\mathbf{8}}{\mathbf{2}}$

x > 4 

إذن أقل قيمة ل  x  علماً أن x عدد كلي هو   x = 5 

.................................................................................................................................................................................................................................................

28)  تحد: تمددت أضلاع المربع  KLMN  فتشكل المستطيل  NOPQ  كما في الشكل المجاور، 

إذا كان محيط المستطيل لا يقل عن مثلي محيط المربع، فأجد أكبر طول ممكن لضلع المربع.

الحل: 

 المعطيات:  محيط المستطيل لا يقل عن مثلي محيط المربع

المطلوب: أكبر طول ممكن لضلع المربع

المتغير: أفرض x طول ضلع المربع فيكون :

محيط المربع =                4x

طول المستطيل =          x + 16 

عرض المستطيل =        x + 12

محيط المستطيل = $\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{16}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{12}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }$

المتباينة: 

2 ( x + 16 ) + 2 ( x + 12 ) $\mathbf{\ge }$  2 $\mathbf{\times }$ 4x

2x + 32 + 2x + 24  $\mathbf{\ge }$   8x

4x  + 56  $\mathbf{\ge }$  8x

4x + 56 - 4x  $\mathbf{\ge }$   8x - 4x

$\frac{\mathbf{56}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\frac{\mathbf{4}\mathbf{x}}{\mathbf{4}}$

14 $\mathbf{\ge }$  x         حل المتباينة

إذن أكبر طول يمكن لضلع المربع  14

.................................................................................................................................................................................................................................................

29)  كيف أحل متباينة تحتوي متغيرات في طرفيها ؟ 

لحل متباينة تحتوي متغيرات في طرفيها أجعل المتغيرات في أحد طرفي المتباينة والأعداد في الطرف الآخر.

ونطبق خصائص المتباينات للحصول على حل المتباينة.

.................................................................................................................................................................................................................................................

حل أسئلة كتاب التمارين :

أحل كل من المتباينات الاتية واتحقق من صحة الحل : 

1) x - 3 $\mathbf{\le }$  5                    المتباينة الأصلية

x - 3 + 3 $\mathbf{\le }$  5 + 3 

x $\mathbf{\le }$ 8                                 حل المتباينة

تمثيل الحل على خط الاعداد:

اتحقق من صحة الحل: 

بما أن الحل $\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{8}$  اختار عدد أقل أو يساوي 8

مثلاً ( x = 5 ) وأعوضه في المتباينة الأصلية

x - 3 $\mathbf{\le }$ 5            المتباينة الأصلية

5 - 3 $\mathbf{\le }$ 5

2 $\mathbf{\le }$  5                 المتباينة صحيحة

.................................................................................................................................................................................................................................................

2)  20 - 2r $\mathbf{\ge }$  5               المتباينة الأصلية 

20 - 2r - 20 $\mathbf{\ge }$  5 - 20

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{r}}{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{15}}{\mathbf{-}\mathbf{2}}$

r $\mathbf{\le }$ 7,5                           حل المتباينة

تمثيل الحل على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن الحل  $\mathbf{r}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{5}$  أختار عدد أصغر أو يساوي  7.5 

مثلاً  ( r = 3 )  وأعوضه في المتباينة الأصلية 

20 - 2r $\mathbf{\ge }$ 5

20 - 2 ( 3 )  $\mathbf{\ge }$ 5

20 - 6  $\mathbf{\ge }$  5

14 $\mathbf{\ge }$  5                       المتباينة صحيحة 

.................................................................................................................................................................................................................................................

3)  3 - 4x > 11                المتباينة الأصلية 

3 - 4x - 3 > 11 - 3

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{x}}{\mathbf{-}\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\frac{\mathbf{8}}{\mathbf{-}\mathbf{4}}$

x < - 2                          حل المتباينة

تمثيل الحل على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن الحل  x < - 2   أختار عدد أقل من  2 -  

مثلاً  ( x = - 3 )  وأعوضه في المتباينة الأصلية 

3 - 4 x > 11

3 - 4 ( - 3 ) > 11

3 + 12 > 11

15 > 11                    المتباينة صحيحة 

.................................................................................................................................................................................................................................................

4)  25 - 3 x < 7                المتباينة الأصلية 

25 - 3x - 25 < 7 - 25

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{x}}{\mathbf{-}\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{18}}{\mathbf{-}\mathbf{3}}$

x > 6                             حل المتباينة 

تمثيل الحل على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن الحل  x > 6  أختار عدد أكبر من  6  

مثلاً  ( x = 10 )  وأعوضه في المتباينة الأصلية 

25 - 3x < 7

25 - 3 ( 10 ) < 7 

25 - 30 < 7 

-5 < 7                       المتباينة صحيحة 

.................................................................................................................................................................................................................................................

5)  2 ( 6 - x ) < 9                المتباينة الأصلية 

12 - 2x < 9

12 - 2x - 12 < 9 - 12

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{ }}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{-}\mathbf{2}}$

x > 1.5                             حل المتباينة

تمثيل الحل على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن الحل  x > 1.5   أختار عدد أكبر من  1.5  

مثلاً  ( x = 3 )  وأعوضه في المتباينة الأصلية 

2 ( 6 - x ) < 9

2 ( 6 - 3 ) < 9

2 ( 3 ) < 9

6 < 9                      المتباينة صحيحة 

.................................................................................................................................................................................................................................................

6)  $\frac{\mathbf{10}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{4}$                المتباينة الأصلية 

10 - 2x  $\mathbf{\ge }$ 4 $\mathbf{\times }$5

10 - 2x $\mathbf{\ge }$  20

10 - 2x - 10  $\mathbf{\ge }$ 20 - 10

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\frac{\mathbf{10}}{\mathbf{-}\mathbf{2}}$

x  $\mathbf{\le }$ -5                          حل المتباينة

تمثيل الحل على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن الحل  $\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{5}$  أختار عدد أقل من أو يساوي  5 -  

مثلاً  ( x = - 5)  وأعوضه في المتباينة الأصلية 

$\frac{\mathbf{10}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{4}$

$$\begin{gathered} \frac{\mathbf{10}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }}{\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{4} \\ \frac{\mathbf{10}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{10}}{\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{4} \\ \frac{\mathbf{20}}{\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{4} \\ \mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{ } \end{gathered}$$

            المتباينة صحيحة 

.................................................................................................................................................................................................................................................

7)  3n + 14 > 8n - 13                المتباينة الأصلية 

3n + 14 - 8n > 8n - 13 - 8n

-5n + 14 - 14 > - 13 - 14

- 5n > - 27

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{n}}{\mathbf{-}\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{27}}{\mathbf{-}\mathbf{5}}$

n < 5.4                            حل المتباينة

تمثيل المتباينة على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن الحل  n < 5.4  أختار عدد أقل من 5.4 

مثلاً  ( n = 1 )  وأعوضه في المتباينة الأصلية 

3n + 14 > 8n - 13

3 ( 1 ) + 14 > 8 ( 1 ) - 13

3 + 14 > 8 - 13

17 > - 5                      المتباينة صحيحة 

.................................................................................................................................................................................................................................................

8)  $\frac{\mathbf{6}\mathbf{n}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{2}}{\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\mathbf{9}$                المتباينة الأصلية 

6n - 2 <  9 $\mathbf{\times }$ 7

6n - 2 <  63

6n - 2 + 2 < 63 + 2

6n < 65 

$\frac{\mathbf{6}\mathbf{n}}{\mathbf{6}}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\frac{\mathbf{65}}{\mathbf{6}}$

n < $\frac{\mathbf{65}}{\mathbf{6}}$                          حل المتباينة

تمثيل المتباينة على خط الأعداد: 

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن الحل   $\frac{\mathbf{65}}{\mathbf{6}}$> n  أختار عدد أقل من $\frac{\mathbf{65}}{\mathbf{6}}$  

مثلاً  ( $\mathbf{n}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{7}$ )  وأعوضه في المتباينة الأصلية 

$$\begin{gathered} \frac{\mathbf{6}\mathbf{n}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{ }}{\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\mathbf{9} \\ \frac{\mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{7}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{2}}{\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\mathbf{9} \\ \frac{\mathbf{42}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{ }}{\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\mathbf{9} \\ \frac{\mathbf{40}}{\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\mathbf{9} \end{gathered}$$

               المتباينة صحيحة 

.................................................................................................................................................................................................................................................

9)  7x + 1 > 3x - 7                المتباينة الأصلية 

7x + 1 - 3x > 3x -7 - 3x

4x + 1 > - 7 

$\frac{\mathbf{4}\mathbf{x}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{8}\mathbf{ }}{\mathbf{4}}$

x > -2                           حل المتباينة

تمثيل المتباينة على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل: 

بما أن الحل  x > - 2  أختار عدد أكبر من  2 -  

مثلاً  ( x = 0 )  وأعوضه في المتباينة الأصلية 

7x + 1 > 3 x - 7

3 ( 0 ) + 1 > 3 ( 0 ) - 7

1  >  - 7                     المتباينة صحيحة 

.................................................................................................................................................................................................................................................

10) يخطط أعضاء اللجنة الإدارية في أحد النوادي الرياضية لبيع قمصان تحمل اسم النادي

بمبلغ لا يقل عن 500 JD   خلال أسبوع. إذا كان  سعر القميص الواحد  2.5 JD  

ومع نهاية اليوم الخامس كان إيراد النادي من هذه المبيعات  375  JD  ، 

فأكتب متباينة وأحلها لأجد أقل عدد من القمصان يجب بيعه خلال اليومين الباقيين ليصل النادي إلى هدفه.

الحل: 

المعطيات:  - ثمن القمصان لا يقل عن  500  JD  خلال أسبوع

                    - ثمن القميص الواحد  2.5 JD

                    - إيراد المبيعات حتى اليوم الخامس  375 JD

المطلوب: إيجاد أقل عدد من القمصان يجب بيعه خلال اليومين الباقيين .

المتغير : أفرض  x  عدد القمصان التي يجب بيعها خلال اليومين الباقيين فيكون ثمنها   2.5x

المتباينة:

2.5x + 375 $\mathbf{\ge }$ 500

2.5x + 375 - 375  $\mathbf{\ge }$ 500 - 375 

2.5x $\mathbf{\ge }$  125

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{5}\mathbf{x}}{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\frac{\mathbf{125}}{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{5}}$

x $\mathbf{\ge }$  50

إذن عدد القمصان التي يجب بيعها  50 قميص أو أكثر .

.................................................................................................................................................................................................................................................

اكتب قيم  x  التي تحقق كل متباينة مما يأتي: 

11)  2x - 14 < 38                  مربع كامل x  حيث 

2x - 14 + 14 < 38 + 14

2x < 52

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\frac{\mathbf{52}}{\mathbf{2}}$

x < 26

إذن قيم  x  حيث  x مربع كامل هي :

                              { 25, 16, 9, 4, 1, 0 }

.................................................................................................................................................................................................................................................

12)  4x - 6  $\mathbf{\le }$ 15        حيث  عدد صحيح فردي موجب

4x - 6 + 6 $\mathbf{\le }$  15 + 6 

4x $\mathbf{\le }$  21

$\frac{\mathbf{4}\mathbf{x}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\frac{\mathbf{21}}{\mathbf{4}}$

x  $\mathbf{\le }$  5.25

إذن قيم  x  حيث  x مربع كامل هي :

                             {  1, 3, 5 }

.................................................................................................................................................................................................................................................

13) لدى فارس  4  JD  ، إذا اشترى  8  علب عصير وأعطى أخاه ديناراً  واحداً ، وبقي معه  60  قرشاً .

اكتب متباينة وأحلها لأجد الحد الأعلى لسعر علبة العصير الواحدة.

الحل:

المعطيات:  - لدى فارس  4 JD

                      -اشترى  8  علب عصير

                     - اعطى اخاه  1 JD

                     - بقي معه  60  قرش = 0.60 JD

المطلوب: الحد الأعلى لسعر علبة العصير الواحدة .

المتغير : أفرض  m ثمن علبة العصير الواحدة

المتباينة:

8m + 1 + 0.60  $\mathbf{\le }$  4

8m + 1,6 $\mathbf{\le }$   4

8m + 1.6 - 1.6  $\mathbf{\le }$  4 - 1.6

8m $\mathbf{\le }$  2.4

$\frac{\mathbf{8}\mathbf{m}}{\mathbf{8}}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\frac{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{4}}{\mathbf{8}}$

m   $\mathbf{\le }$ 0.3

الحد الأعلى لسعر علبة العصير  0.3 JD تعادل  30 قرشاً.

.................................................................................................................................................................................................................................................

في الشكل المجاور مستطيل محيطه يقل عن  40 cm:

                                                                                                               

14) أكتب متباينة بدلالة  x  تدل على محيط المستطيل.

2x + 2 ( 2x - 1 ) < 40

15) أحل المتباينة في السؤال السابق.

2x + 2 ( 2x - 1 ) < 40                  المتباينة الأصلية      

2x + 4x - 2 < 40

6x - 2 + 2 < 40 + 2

6x  < 42

$\frac{\mathbf{6}\mathbf{x}}{\mathbf{6}}\mathbf{<}\mathbf{ }\frac{\mathbf{42}}{\mathbf{6}}$

x < 7                                          حل المتباينة

.................................................................................................................................................................................................................................................