رياضيات

حل نظام مكون من متباينات خطية بمتغيرين بيانيا

تمثيل المتباينات الخطية بمتغيرين: 

لتمثيل متباينة خطية بمتغيرين بيانيا نبدأ برسم منحنى المعادلة المرتبطة بالمتباينة بعد استعمال رمز المساواة (=) بدلا من رمز المتباينة $(>,<,\ge ,\le )$ حيث تمثل المعادلة النتاجة مستقيما يسمى المستقيم الحدودي ( هو مستقيم يقسم المستوى الإحداثي إلى جزأين أحد الأجزاء يمثل منطقة الحلول وهناك حالتين.

1) الحالة الأولى: المستقيم  الحدودي جزءا من منطقة الحلول الممكنة ويكون ذلك إذا تضمنت المتباينة الرمز $\ge$ أو $\le$، في هذه الحالة يرسم المستقيم الحدودي متصلا.

2) الحالة الثانية: المستقيم الحدودي لا يكون جزءا من منطقة الحلول الممكنة ويكون ذلك إذا تضمنت المتباينة الرمز > أو < في هذه الحالة يرسم المستقيم الحدودي متقطعا.

ملاحظة: لتحديد أي المنطقتين على جانبي المستقيم الحدودي هي منطقة الحلول الممكنة نختار نقطة (a,b) بشرط  ألا تقع على المستقيم الحدودي ونعوضها في المتباينة الخطية فإذا حققت النقطة المتباينة نظلل الجزء من المستوى الإحداثي الذي تقع فيه تلك النقطة وإن لم تحقق نظلل الجزء الآخر الذي لا تقع فيه هذه النقطة.

مثال:

أمثل كل من المتباينات الآتية بيانيا:

$1) x+y>1$

أولا: نمثل المستقيم الحدودي بيانيا وذلك بإنشاء جدول قيم لإجاد نقطتي تقاطع المستقيم الحدودي مع المحورين الإحداثيين (مرة نأخذ x=0 والمرة الأخرى نأخذ y=0)

x	0	1
y	1	0
(x,y)	(0,1)	(1,0)

ثانيا: نعين النقطتين (0,1) و (1,0) في المستوى الإحداثي ثم نرسم مستقيما يمر بهما وبما أنه  لا توجد مساواة في رمز المتباينة فإنه يرسم متصل كما في الشكل

ثالثا: نحدد منطقة الحلول الممكنة ونظللها وذلك باختيار نقطة لا تقع على المستقيم الحدودي مثلا (0,0) ونتحقق إذا كان تعويضها بالمتباينة صحيحا أم لا

$$\begin{gathered} x+y>1 \\ 0+0>1 \\ 0>1 \times \end{gathered}$$

النقطة (0,0) لم تحقق المتباينة فتكون منطقة الحل هي المنطقة التي لا تحوي النقطة (0,0) ونظللها.

$2) y\le 2x-3$

أولا: نمثل المستقيم الحدودي بيانيا وذلك بإنشاء جدول قيم لإجاد نقطتي تقاطع المستقيم الحدودي مع المحورين الإحداثيين (مرة نأخذ x=0 والمرة الأخرى نأخذ y=0)

$\frac{3}{2}$	0	x
0	3-	y
$(\frac{3}{2},0)$	$(0,-3)$	(x,y)

ثانيا: نعين النقطتين $(0,-3)$ و $(\frac{3}{2},0)$ في المستوى الإحداثي ثم نرسم مستقيما يمر بهما وبما أنه  لا توجد مساواة في رمز المتباينة فإنه يرسم متصل كما في الشكل.

ثالثا: نحدد منطقة الحلول الممكنة ونظللها وذلك باختيار نقطة لا تقع على المستقيم الحدودي مثلا (0,0) ونتحقق إذا كان تعويضها بالمتباينة صحيحا أم لا

$$\begin{gathered} y\le 2x-3 \\ 0\le 2\left(0\right)-3 \\ 0\le -3 \times \end{gathered}$$

النقطة (0,0) لم تحقق المتباينة فتكون منطقة الحل هي المنطقة التي لا تحوي النقطة (0,0) ونظللها.

تمثيل متباينة القيمة المطلقة بمتغيرين:

يتشابه تمثيل متباينة القيمة المطلقة بمتغيرين بتمثيل المتباينة الخطية بمتغيرين ويكون كالآتي:

1) نمثل معادلة القيمة المطلقة المرتبطة بالمتباينة ( بتبديل إشارة التباين بالمساواة).

2) نحدد حالة المستقيمات الحدودية ( متصلة أم متقطعة)

3) نحدد المنطقة المراد تضليلها باختبار نقطة ما.

مثال:

أمثل المتباينة $y<\left|x+2\right|$ بيانيا:

أولا:  نمثل المعادلة المرتبطة بالمتباينة بيانيا $y=\left|x+2\right|$

ثانيا: نحدد منطقة الحلول الممكنة ونظللها وذلك باختيار نقطة لا تقع على المستقيم الحدودي مثلا (0,0) ونتحقق إذا كان تعويضها بالمتباينة صحيحا أم لا

$$\begin{gathered} y<\left|x+2\right| \\ 0<\left|0+2\right| \\ 0<2 \end{gathered}$$

النقطة (0,0) تحقق المتباينة فتكون منطقة الحل هي المنطقة التي تحوي النقطة (0,0) ونظللها.

حل نظام متباينات خطية:

نظام المتباينات الخطية هو نظام يتكون من متباينتين خطيتين أو أكثر حيث تكون مجموعة الحل هي مجموعة الأزواج المرتبة التي تحقق المتباينات جميعها.

ملاحظة: لحل نظام متباينات نمثل كل متباينة في النظام بيانيا على مستوى إحداثي واحد ونظلل المنطقة المشتركة بين مناطقة حل المتباينات جميعها التي تمثل حل النظام

مثال:

أمثل منطقة حل نظام المتباينات الآتي ثم أتحقق من صحة الحل:

$$\begin{gathered} 2x-y<1 \\ 3x+y\ge 4 \end{gathered}$$

أولا:نمثل المستقيمين الحدوديين على المستوى الإحداثي نفسه ونستعمل لونين مختلفين لتظليل منطقة الحل

ثانيا: نحدد منطقة التقاطع بين حلي المتباينتين.

نلاحظ أن حل المتباينة $2x-y<1$ هو المنطقتان A و B وأن حل المتباينة $3x+y\ge 4$ هو المنطقتان B و C إذن المنطقة B  هي المنطقة المشتركة بين منطقتي حل المتباينتين وتكون هي منطقة حل نظام المتباينات

ثالثا: نتحقق من صحة الحل وذلك باختيار زوج مرتب يقع في منطقة حل النظام مثل (2,4) ونعوضه في متباينات النظام جميعها

$$\begin{gathered} 2x-y<1 \\ 2\left(2\right)-4<1 \\ 0<1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 3x+y\ge 4 \\ 3\left(2\right)+4\ge 4 \\ 10\ge 4 \end{gathered}$$

ملاحظة: هناك حالتان في حل نظام المتباينات

الحالة الأولى: لا تتقاطع منطقتا حل المتباينتين في هذه الحالة لا يكون لنظام المتباينتين حل أي أن مجموعة حل النظام هي المجموعة الخالية {} أو $\varnothing$.

مثال:

أمثل بيانيا منطقة حل نظام المتباينات الآتي:

$$\begin{gathered} x+y<1 \\ x+y\ge 5 \end{gathered}$$

أولا:نمثل المستقيمين الحدوديين على المستوى الإحداثي نفسه ونستعمل لونين مختلفين لتظليل منطقة الحل

ثانيا: نحدد منطقة التقاطع بين حلي المتباينتين.

نلاحظ ان منطقة حل المتباينة $x+y<1$ هي المنطقة A ومنطقة حل المتباينة $x+y\ge 5$ وأنه لا يوجد منطقة مشتركة بين منطقتي الحل إذا حل النظام هو المجموعة الخالية {} او $\varnothing$.

 

الحالة الثانية: يحوي النظام أكثر من متباينتين في هذه الحالة تكون منطقة الحل هي المنطقة المشتركة بين مناطق حل المتباينات جميعها

مثال:

أمثل بيانيا منطقة حل نظام المتباينات الآتي:

$$\begin{gathered} x+y\ge 8 \\ x-y<0 \\ x>1 \end{gathered}$$

 

أولا:نمثل المستقيمhj الحدوديm على المستوى الإحداثي نفسه ونستعمل ألوان مختلفة لتظليل منطقة الحل

ثانيا: نحدد منطقة التقاطع بين حلول المتباينات جميعها.

نلاحظ أن المنطقة اتلمشتركة بين جميع الحلول هي المنطقة D .

مثال:

نجارة: يريد نجار شراء نوعين من المسامير، ووجد أن ثمن الكيلوغرام الواحد من النوع الأول 4 JD، ومن النوع الثاني 6 JD. إذا أراد شراء ما لا يقل عن 10kg من النوعين، بحيث لا يزيد الثمن الكلي على 48 JD، فأجد مقدار ما يمكنه شراؤه من كل نوع.

يوجد في هذه المسألة متغيران مجهولان هما كمية المسامير من النوع الأول وكمية المسامير من النوع الثاني، وتوجد قيود على هذين المتغيرين محددة بحد أدنى للكتلة الكلية لما يشتريه من النوعين ، والحد الأعلى لمقدار ما يدفعه للكميتين من النوعين.

1) أعبر عن المسألة جبريا بنظام من المتباينات الخطية.

أفرض أن كتلة المسامير من النوع الاول هي x، ومن النوع الثاني هي y، ثم أكتب نظام المتباينات الخطية المرتبط بالشروط الواردة في نص المسألة.

$$\begin{gathered} x+y\ge 10 \\ 4x+6y\le 48 \\ x\ge 0 \\ y\ge 0 \end{gathered}$$

وبعد تبسيط المتباينة $4x+6y\le 48$  بالقسمة على 2؛ فإن نظام المتباينات الذي يمثل هذه المسألة هو:

$$\begin{gathered} x+y\ge 10 \\ 2x+3y\le 24 \\ x\ge 0 \\ y\ge 0 \end{gathered}$$

2) أمثل نظام المتباينات الخطية بيانيا.

أمثل بيانيا المستقيمين الحدوديين $x+y=10 , 2x+3y=24$ في المستوى الإحداثي نفسه، مقتصرا الرسم على الربع الأول؛ لأن $x\ge 0 , y\ge 0$، ثم أظلل منطقة الحل لكل متباينة.

3) أحدد منطقة الحل.

ألاحظ أن مناطق الحل تتقاطع في منطقة مغلقة على شكل مثلث هي منطقة حل النظام، وأن النقاط $\left(6,4\right) , \left(8,2\right) , \left(9,1\right) , \left(9,2\right)$ وغيرها الكثير واقعة في منطقة الحل. فمثلا، يمكن للنجار شراء 6kg من النوع الأول و 4kg من النوع الثاني؛ أو 9kg من النوع الأول و 1kg من النوع الثاني، وهكذا لبقية النقاط الواقعة في منطقة الحل.