رياضيات فصل أول

أتحقق من فهمي

ص: 37

أمثل كلا من المتباينات الآتية بيانيا:

$a) y\ge -1$

$b) x<3$

$c) y\ge 0.5x$

$d) 2x-y<8$

أتحقق من فهمي

ص: 38

أمثل كلا من المتباينات الآتية بيانيا:

$a) y>-\frac{1}{2} \left|x\right|$

$b) y\le \left|x-4\right|+1$

$c) y\ge \left|x\right|-2$

أتحقق من فهمي

ص: 40

أمثل بيانيا منطقة حل نظام المتباينات الآتي، ثم أتحقق من صحة الحل:

$$\begin{gathered} a) y<x+5 \\ 3x+2y\ge 6 \end{gathered}$$

للتحقق أختار نقطة في منطقة الحل ولتكن (1,3) وأعوضها في المتباينتين.

$$\begin{gathered} y\le x+5 \\ 3\le 1+5 \\ 3\le 6 \\ 3x+2y\ge 6 \\ 3\left(1\right)+2\left(3\right)\ge 6 \\ 9\ge 6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} b) x+y\le 2 \\ x+y\ge 0 \end{gathered}$$

 لتحقق أختار نقطة في منطقة الحل ولتكن (1,2-) وأعوضها في المتباينتين.

$$\begin{gathered} x+y\le 2 \\ -1+2\le 2 \\ 1\le 2 \\ x+y\ge 0 \\ -1+2\ge 0 \\ 1\ge 0 \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

ص: 40

أمثل بيانيا منطقة حل نظام المتباينات الآتي:

$$\begin{gathered} a) x+3y\le 6 \\ x+3y>9 \end{gathered}$$

ليس له حل.

$$\begin{gathered} b) 2x-y\ge 4 \\ 2x-y\le 0 \end{gathered}$$

ليس له حل.

أتحقق من فهمي

ص: 41

أمثل بيانيا منطقة حل نظام المتباينات الآتي:

$$\begin{gathered} -3x+4y\ge 9 \\ x-5y>6 \\ 2x-5y<-3 \end{gathered}$$

حل المتباينة الأولى هو المناطق A,B,C.

حل المتباينة الثانية هو المناطق B,C,D.

حل المتباينة الثالثة هو المناطق A,B,E.

المنطقة المشتركة بين جميع الحلول هي المنطقة B.

إذن، منطقة حل هذا النظام هي المنطقة B.

أتحقق من فهمي

ص: 43

خياطة: أراد خياط شراء نوعين من الأقمشة، ووجد أن ثمن المتر المربع الواحد من الكتان 5 JD ، ومن الصوف 8 JD. إذا أراد شراء ما لا يزيد على $30 m^2$ من النوعين بحيث لا يقل الثمن الكلي عن 200 JD ، فأجد أكبر كمية من قماش الكتان يمكنه شراؤها.

أفرض أن كمية الكتان $x m^2$، وكمية الصوف $y m^2$، فيكون نظام المتباينات الذي يوصف هذه المسألة هو:

$$\begin{gathered} x+y\le 30 \\ 5x+8y\ge 200 \\ x\ge 0 , y\ge 0 \end{gathered}$$

ومنطقة حله ممثلة بالرسم المجاور بالمثلث الذي يتمازج فيه اللونين.

الكميات التي يمكنه شراؤها هي إحداثيات النقاط الواقعة في منطقة الحل.

أكبر كمية كتان هي أكبر إحداثي x لنقاط منطقة الحل، وهو هنا الإحداثي x لنقطة تقاطع المستقيمين

$5x+8y=200 , x+y=30$

بضرب المعادلة الثانية في 8 وطرح الأولى ينتج أن $3x=40$ ومنها $x=13 \frac{1}{3} m$.

أتدرب وأحل المسائل

أمثل كلا من المتباينات الآتية بيانيا:

$1) y<2x-1$

$2) 3x-4y\le 12$

$3) y\ge 0.5x+3$

$4) -2x+3y\ge 12$

$5) y<\left|x+3\right|$

$6) y>\left|x-1\right|-2$

أمثل منطقة حل كل من أنظمة المتباينات الآتية:

$$\begin{gathered} 7) y<-3x+4 \\ x+3y\ge 12 \end{gathered}$$

منطقة الحل هي المنطقة التي فيها مزيج من اللونين الأخضر والأحمر.

$$\begin{gathered} 8) 2x+5y\le 5 \\ 3x-y<6 \end{gathered}$$

منطقة الحل هي المنطقة التي فيها مزيج من اللونين الأزرق والأحمر.

$$\begin{gathered} 9) 2x+3y\ge 6 \\ 2x+3y\le 0 \end{gathered}$$

لا يوجد لهذا النظام حل منطقتا الحل لا تتقاطعان.

مجموعة الحل في هذه الحالة هي $\varnothing$.

$$\begin{gathered} 10) y\le \left|x+4\right|+4 \\ y<x \end{gathered}$$

منطقة الحل هي المنطقة التي فيها مزيج من اللونين الأزرق والأحمر.

$$\begin{gathered} 11) y\le \left|x+4\right|-4 \\ 2x-3y>-6 \end{gathered}$$

منطقة الحل هي المنطقة التي فيها مزيج من اللونين الأخضر والأزرق.

$$\begin{gathered} 12) y\le 3 \\ y\ge \left|x-1\right| \end{gathered}$$

منطقة الحل هي المنطقة التي فيها مزيج من اللونين الأزرق والأحمر.

$$\begin{gathered} 13) y\ge x \\ 2x+y<6 \\ 2x+5y>10 \end{gathered}$$

منطقة حل النظام هي المنطقة B لأنها المنطقة المشتركة بين كل الحلول.

$$\begin{gathered} 14) y>x-3 \\ 4x+3y<24 \\ x\ge 2 \end{gathered}$$

منطقة حل النظام هي المنطقة F لأنها المنطقة المشتركة بين كل الحلول.

$$\begin{gathered} 15) y\ge x-4 \\ y\le 0.5x \\ y\ge -x \end{gathered}$$

منطقة حل النظام هي المنطقة E لأنها المنطقة المشتركة بين كل الحلول.

16) ورق زينة: تريد تغريد شراء ورق زينة لتزيين غرفتها احتفالا بتخرجها. وقد كان سعر اللفة من ورق الزينة الذهبي 3 JD ، ومن ورق الزينة الأزرق 2 JD. وتريد تغريد ورق زينة من النوعين بما لا يزيد على 15 JD، بحيث لا يقل عدد لفات ورق الزينة التي تشتريها عن 6 لفات. أكتب نظام متباينات يصف هذا الموقف وأمثله بيانيا، ثم أستعمل التمثيل البياني لأجد 4 حلول ممكنة لعدد لفات ورق الزينة التي يمكنها شراؤها من كل نوع.

أفرض أن عدد لفات ورق الزينة الأزرق x، وأن عدد لفات ورق الزينة الذهبي y.

نظام المتباينات  الذي يصف هذه المسألة هو:

$$\begin{gathered} x+y\ge 6 \\ 2x+3y\le 15 \\ x\ge 0 , y\ge 0 \end{gathered}$$

منطقة الحل هي المنطقة التي فيها مزيج من اللونين الأزرق والأحمر.

أكتب المتباينة الخطية بمتغرين المعطى تمثيلها البياني في كل مما يأتي:

$2y>-3x$

$y\ge -2x+3$

$y\ge 1.5\left|x-2\right|$

20) رحلات: يعمل رامي وخليل سائقي حافلة، وقد اتفقا على أن يتناوبا قيادة الحافلة، بحيث لا تقل مدة قيادة رامي للحافلة على نحو متواصل في اليوم عن 3 ساعات ولا تزيد  على 6 ساعات، ولا تقل مدة القيادة خليل للسيارة على نحو متواصل عن ساعتين ولا تزيد على 5 ساعات، وألا يزيد زمن قيادة كليهما للحافلة يوميا على 10 ساعات أكتب نظام متباينات يصف هذا الموقف، وأمثله بيانيا.

أفرض أن رامي يقود الحافلة على النحو متواصل x ساعة في اليوم، وأن خليل يقودها y ساعة في اليوم نظام المتباينات هو:

$$\begin{gathered} 3\le x\le 6 \\ 3\le y\le 9 \\ x+y\le 10 \end{gathered}$$

وتمثيله في الرسم المجاور.

 

21) أحل المسألة الواردة في بداية الدرس.

أفرض أن عدد الطاولات المستديرة x، وأن عدد الطاولات المستطيلة y، عدد الجالسين حول الطاولات المستديرة 8x؛ عدد الجالسين حول الطاولات المستطيلة 6y عدد الحضور 264 على الأقل

المتباينة التي تصف الموقف هي: $8x+6y\ge 264$

إذا كانت $x=18$، فإن $8\left(18\right)+6y\ge 264$

$$\begin{gathered} 144+6y\ge 264 \\ 6y\ge 120 \\ y\ge 20 \end{gathered}$$

يلزم 20 طاولة مستطيلة على الأقل.

هندسة: أمثل بيانيا منطقة حل نظام المتباينات الآتي، ثم أجيب عن الأسئلة التي تليه:

$$\begin{gathered} x\ge 2 \\ y\ge -3 \\ x+y\le 4 \end{gathered}$$

22) أصف الشكل الهندسي الذي يمثل منطقة الحل نظام المتباينات.

منطقة حل النظام هي المثلث القائم الزاوية الذي تحده المستقيمات الثلاث:

$x=2 , y=-3 , x+y=4$

23) أجد مساحة المنطقة المغلقة التي تمثل حل النظام.

12.5

المنطقة R في الرسم المجاور محدودة بالمستقيمات $x+y=3 , y=\frac{1}{2}x+3 , y=5x-15$

24) ما المتباينات الثلاث التي تمثل حلها المنطقة R.

$x+y\ge 3 , y\le \frac{1}{2}x+3 , y\ge 5x-15$

25) ما أكبر قيمة للمقدار $x+y$ في المنطقة R.

9

26) ما أكبر قيمة للمقدار $x-y$ في المطقة R.

3

مهارات التفكير العليا

مسألة مفتوحة: أكتب نظاما من متباينتين خطيتين بحيث يكون حله:

27) خطا مستقيما.

$$\begin{gathered} x+y\ge 5 \\ x+y\le 5 \end{gathered}$$

28) واقعا في الربع الثالث.

$$\begin{gathered} y\ge 3x \\ x\le 2x \end{gathered}$$

29) تبرير: هل الجملة الآتية: صحيحة دائما، أم صحيحة أحيانا، أم غير صحيحة إطلاقا؟

"نظام المتباينتين الذي مستقيماه الحدوديان متوازيان ليس له حل"

صحيحة أحيانا. النظام  $4x+3y\ge 12 , 4x+3y\le 10$ ليس له حل، وأما النظام $4x+3y\ge 12 , 4x+3y\ge 10$ فله حل هو منطقة حل المتباينة $4x+3y\ge 12$

30) تبرير: إذا كانت النقطة (3,2) تمثل حلا للمتباينة $y>mx+b$، حيث $b\ne 0$ في حين أن النقطة (1,2) لا تمثل حلا لها، فهل ميل المستقيم الحدودي سالب أم موجب أم صفر أم غير معرف؟ أبرر إجابتي.

بما أن النقطة (3,2) تحقق المتباينة، فإن $2>3m+b$

النقطة (1,2) لا تحقق المتباينة، فإن $2\le m+b$

بإضافة 2m لطرفي هذه المتباينة ينتج أن $2+2m\le 3m+b$

ولكن $3m+b<2$ فستنتج أن $2+2m<2$

$$\begin{gathered} 2m<0 \\ m<0 \end{gathered}$$

إذن، ميل المستقيم الحدودي سالب.

تحد: أكتب نظام المتباينات الذي منطقة حله هي المنطقة المظللة، في كل من التمثيلات البيانية الآتية:

$$\begin{gathered} y\le \left|x\right| \\ y\ge -\left|x\right| \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} -2\le x\le 5 \\ y\ge x-2 \\ y\le x+2 \end{gathered}$$