حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف
أستند في طريقة الحل بالحذف على جمع المعادلتين أو طرحهما بحيث يؤدي ذلك الى حذف أحد المتغيرات
وتسمى هذه الطريقة : حل المعادلات الخطية بطريقة الحذف .
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................
خطوات حل معادلتين خطيتين بالحذف :
1- أرتب النظام بحيث تكون الحدود المتشابهة فوق بعضها .
2- أضرب ان لزم الأمر احدى المعادلتين أو كليهما بعدد ثابت بحيث يكون هناك حدان متشابهان معاملاهما متساويان أو متعاكسان.
3- اجمع المعادلتين او اطرحهما للتخلص من احدى المتغيرات.
4- تنتج قيمة احدى المتغيرات وأعوضها في احدى المعادلتين لأحصل على المتغير الاخر
..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
مثال ( 1 ) : استعمل الحذف لحل نظام المعادلات الاتي :
ألاحظ أن الحدود الجبرية المتشابهة مرتبة فوق بعضها
5x + y = 22
2x - y = 6 أجمع المعادلتين
---------------------
7x = 28 أقسم طرفي المعادلة على 7
x = 4
أعوض ( 4 ) بدلاً من x في المعادلة الثانية:
2x - y = 6 المعادلة الثانية
2 ( 4 ) - y = 6 x أعوض ( 4) بدلاً من
8 -- y = 6 أبسط
8 - y - 8 = 6 - 8 اطرح 8 من الطرفين
y = 2
اذن حل النظام ( 2 , 4 )
..................................................................................................................................................................................................................................................................................
مثال ( 2 ) : استعمل الحذف لحل نظام المعادلات الاتي :
12x + 2y = 30
8x + 2y = 22
ألاحظ أن المعادلات الجبرية المتشابهة مرتبة فوق بعضها البعض
12x + 2y = 30
8x + 2y = 22 أطرح
----------------------
4x = 8
x = 2
أعوض 2 بدلاً من في المعادلة الثانية :
8x + 2y = 22 المعادلة الثانية
8 ( 2 ) + 2y = 22 x اعوض 2 بدلاً من
16 + 2y = 22 ابسط
16 + 2y - 16 = 22 - 16 اطرح 16 من الطرفين
2y = 6
y = 3
حل النظام ( 3 , 2 )
..................................................................................................................................................................................................................................................................................
مثال ( 3 ) : استعمل الحذف لحل نظام المعادلات الاتي :
3x + 2y = 18
2x - y = 5
الحل : ألاحظ أن الحدود الجبرية المتشابهة فوق بعضها
اضرب المعادلة الثانية ب 2 فتكون المعادلتين :
3x + 2y = 18
4x - 2y = 10
----------------------
7x = 28
x = 4
أعوض 14 بدلاً من x في المعادلة الثانية :
3x + 2y = 18 المعادلة الثانية
3 ( 4 ) + 2y = 18 x أعوض 4 بدلاً من
12 + 2y = 18
12 + 2y - 12 = 18 - 12 اطرح 12 من طرفي المعادلة
2y = 6
y = 3
إذن حل النظام ( 3 , 4 )
..................................................................................................................................................................................................................................................................................
مثال ( 4 ) : استعمل الحذف لحل نظام المعادلات الاتي :
4x + 3y = 27
5x - 2y = 5
الحل :
ألاحظ أن الحدود الجبرية المتشابهة مرتبة فوق بعضها
لحل نظام المعادلات السابق أضرب المعادلة الاولى ب 2 وأضرب المعادلة الثانية ب 3
ليصبح نظام المعادلتين :
8x + 6y = 54
15x - 6y = 15 أجمع
-----------------------
23 x = 69
اقسم طرفي المعادلة على 23
x =3 ابسط
أعوض 3 بدلاً عن x في المعادلة الثانية
5x - 2y = 5 المعادلة الثانية
5 ( 3 ) - 2y = 5
15 - 2y = 5
15 - 2y - 15 = 5 - 15 اطرح 15 من طرفي المعادلة
- 2y = - 10
- اقسم طرفي المعادلة على 2
y = 5 ابسط
اذن حل النظام ( 5 , 3 )
....................................................................................................................................................................................................................................................................................
مسألة حياتية:
يعمل ماجد وحازم أثناء عطلة الجامعة في محطتين مختلفتين لوقود السيارات، ويتقاضى كل منهما أجرته على عدد ساعات العمل.
في أحد الايام عمل ماجد 6 ساعات وعمل حازم 7 ساعات، فكان مجموع ما تقاضياه معاً 36 دينار ،
وفي اليوم التالي عمل ماجد 8 ساعات وعمل حازم 6 ساعات فكان مجموع ما تقاضياه 38 دينار ، كم يتقاضى كل منهما عن كل ساعة عمل ؟
الحل :
المعطيات : - في أحد الايام :
عمل ماجد 6 ساعات
عمل حازم 7 ساعات
مجموع ما تقاضياه معاً 36 دينار
- في اليوم التالي:
عمل ماجد 8 ساعات
عمل حازم 6 ساعات
مجموع ما تقاضياه معاً 38 دينار
المطلوب : كم يتقاضى كل من ماجد وحازم عن كل ساعة عمل
المتغيرات : x : الاجرة التي يتقاضاها ماجد عن كل ساعة عمل
y : الاجرة التي يتقاضاها حازم عن كل ساعة عمل
المعادلات:
6x + 7y = 36
8x + 6y = 38
أضرب المعادلة الاولى ب 4 والمعادلة الثانية ب 3- لتصبح المعادلتين :
24x + 28y = 144
- 24x - 18y = - 114 اجمع
---------------------------
10y = 30
y = 3
أعوض 3 بدلاً من y في المعادلة الاولى:
6x + 7y = 36
6x + 7 ( 3 ) = 36
6x + 21 = 36
6x + 21 - 21 = 36 - 21 اطرح 21 من طرفي المعادلة
6x = 15
اقسم طرفي المعادلة على 6
x = 2.5 أبسط
إذن يتقاضى ماجد عن كل ساعة 2.5 دينار
ويتقاضى حازم عن كل ساعة 3 دنانير
..................................................................................................................................................................................................................................................................................-'