رياضيات فصل ثاني

حل المعادلات الجذرية 

أولًا : المعادلاتُ الجذريةُ

يُطلَقُ على المعادلاتِ التي تحوي مُتغيِّرًا تحتَ الجذرِ اسمُ المعادلاتِ الجذريةِ ، ومنْ أمثلتِها :

$4\sqrt{x+ 3 }= 9 , 5x - 6 = \sqrt{ 1 - 2x} , \sqrt[3]{x+ 7} = -27$

 

•• توجدُ أربعُ خطواتٍ يتعيَّنُ اتِّباعُها لحَلِّ المعادلاتِ الجذريةِ.

مفهومٌ أساسيٌّ (خطواتُ حَلِّ المعادلاتِ الجذريةِ)

يُمكِنُ حَلُّ المعادلاتِ الجذريةِ باتِّباعِ الخطواتِ الآتيةِ : الخطوةُ 1 : جعلُ الجذرِ وحدَهُ أحدَ طرفيِ المعادلةِ إنْ كانَ ذلكَ ضروريًّا. الخطوةُ 2 : رفعُ طرفيِ المعادلةِ إلى أُسٍّ مساوٍ لدليلِ الجذرِ؛ تخلُّصًا منَ الجذرِ. الخطوةُ 3 : حَلُّ المعادلةِ الناتجةِ. الخطوةُ 4 : التحقُّقُ منْ صحَّةِ الحَلِّ.

 

أتعلَّمُ  : تنتجُ معادلةٌ أُخرى (خطيةٌ، أوْ تربيعيةٌ مثلًا) منْ رفعِ طرفيِ المعادلةِ إلى أُسٍّ مساوٍ لدليلِ الجذرِ، ويُمكِنُ حَلُّ هذهِ المعادلةِ

باستعمالِ طرائقِ حَلِّ المعادلاتِ التي تعلَّمْتُها سابقًا.

 

ثانيًا : الحَلُّ الدخيلُ

ينتجُ أحيانًا منْ رفعِ طرفيِ المعادلةِ إلى أُسٍّ ما حَلٌّ لا يُحقِّقُ المعادلةَ الأصليةَ، ويُسمّى الحَلَّ الدخيلَ ( extraneous solution ) ؛ لذا

يجبُ التحقُّقُ دائمًا منْ تحقيقِ أيِّ حَلٍّ ناتجٍ للمعادلةِ الجذريةِ الأصليةِ.

•• يظهرُ الحَلُّ الدخيلُ غالبًا عندَ حَلِّ معادلاتٍ تحوي مُتغيِّرًا في طرفيْ كلٍّ منْها.

   ويظهرَ أيضًا عندَ حَلِّ معادلةٍ تحوي جذرًا في كلا طرفيْها.

 

•• أتعلَّمُ : منْ أسبابِ وجودِ حَلٍّ دخيلٍ في أثناءِ حَلِّ المعادلةِ الجذريةِ رفعُ الطرفينِ إلى أُسٍّ زوجيٍّ ؛ لأنَّ القِيَمَ السالبةَ تلغى

إشارتُها  عندئذٍ، ما يُؤثِّرُ في الحَلِّ الأصليِّ.

---

 

 ورقة عمل درس حل المعادلات الجذرية 

1) حَلُّ المعادلةِ :  $\sqrt[3]{x+9} = -2$

$a) -1 b) 1 c) 17 d) -17$

الحل :

$\sqrt[3]{x+9} = -2x + 9 = -8x = -17$

---

 

2) حَلُّ المعادلةِ : $\sqrt{8x} = 6 - x$ 

$a) 2 b) 18 c) 2 , 18 d) 4$

الحل :

$\sqrt{8x} = 6 - x8x = 36 - 12x + x^2{x}^2 -20x + 36 = 0(x-18)(x-2) = 0x = 18 or x = 2$

بعد التحقق :  x = 2 

---

3) مستطيل مساحته $15 c{m}^2$ ، إذا كان طول المستطيل $6 cm$ وعرضه $\sqrt{x+2} cm$ ، فإنّ قيمة x هي : 

$a) 2 cm b) 2.5 cm c) 4.25 cm d) 4.5 cm$

الحل :

$15 = 6 \sqrt{x+2}\frac{15}{6} = \sqrt{x+2}2.5 = \sqrt{x+2}6.25 = x + 2x = 4.25$

---

 

4)  حل المعادلةِ : $2\sqrt{x+10} = \sqrt{-x} + 5$

الحل :

$2\sqrt{x+10} = \sqrt{-x} + 5 \mathrm{الأصلية} \mathrm{المعادلة} 4(x+10) = -x +10\sqrt{-x} + 25 \mathrm{المعادلة} \mathrm{طرفي} \mathrm{تربيع}4x + 40 = -x +10\sqrt{-x} + 25 \mathrm{تبسيط}10\sqrt{-x} = 5x + 15 \mathrm{ترتيب}2\sqrt{-x} = x + 3 5 \mathrm{على} \mathrm{المعادلة} \mathrm{طرفي} \mathrm{قسمة} 4(-x) = x^2 +6x + 9 \mathrm{المعادلة} \mathrm{طرفي} \mathrm{تربيع} -4x = x^2 +6x + 9 \mathrm{تبسيط} x^2 +10x + 9 = 0 \mathrm{ترتيب} (x+9)(x+1) = 0 \mathrm{تحليل} x = - 9 or x = -1 \mathrm{الصفري} \mathrm{الضرب} \mathrm{خاصية}$

التحقق من صحة الحل: 

عندما x = - 1	عندما x = - 9
$2\sqrt{x+10} = \sqrt{-x} + 52\sqrt{-1+10} \stackrel{؟}{=} \sqrt{-(-1)} + 5 6 = 6 ✓$	$2\sqrt{x+10} = \sqrt{-x} + 52\sqrt{-9+10} \stackrel{؟}{=} \sqrt{-(-9)} + 5 2 \ne 8 ✗$

إذن حل المعادلة هو  x = - 1

---