رياضيات فصل أول

أتحقق من فهمي (مثال 1) : 

5- ${32}^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{4}{3}}$

$32 = 2^5$                                  ${32}^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{4}{3}} = {\left(2^5\right)}^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{4}{3}}$

قاعدة قوة القوة                            $= 2^{\frac{5}{3}}\times 2^{\frac{4}{3}}$

قاعدة ضرب القوة                             $= 2^{\frac{5}{3}+\frac{4}{3}}$

أجمع                                                         $= 2^{\frac{9}{3}}$

أبسط                                                          $= 8$

---

6- $\sqrt[4]{81\times 2^4}$

تعريف الأسس النسبية             $\sqrt[4]{81\times 2^4} = {\left(81\times 2^4\right)}^{\frac{1}{4}}$

$81 = 3^4$                                     $= {\left(3^4\times 2^4\right)}^{\frac{1}{4}}$

                                                   $= {\left({\left(3\times 2\right)}^4\right)}^{\frac{1}{4}}$                       

قاعدة قوة القوة                            $= {\left(3\times 2\right)}^{\frac{4}{4}}$

أبسط                                                         $= 6$

---

7- $\frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[3]{9}}$

تعريف الأسس النسبية                  $\frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[3]{9}}= \frac{{\left(243\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{5}}}}{{\left(9\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}}$

$243=3^5 , 9=3^2$                               $=\frac{{\left(3^5\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{5}}}}{{\left(3^2\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}}$

قاعدة قوة القوة                                     $= \frac{3^{{\displaystyle \frac{5}{5}}}}{3^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}$

قاعدة قسمة القوى                            $= 3^{1-\frac{2}{3}}$

أبسط                                                       $= 3^{\frac{1}{3}}$

الصورة الجذرية                                        $= \sqrt[3]{3}$    

---

   8- ${\left(\frac{16}{81}\right)}^{-\frac{5}{4}}$

قاعدة ${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n} ={\left(\frac{b}{a}\right)}^n$                   ${\left(\frac{16}{81}\right)}^{-\frac{5}{4}} = {\left(\frac{81}{16}\right)}^{\frac{5}{4}}$

 

قاعدة قوة ناتج القسمة                     $= \frac{{81}^{{\displaystyle \frac{5}{4}}}}{{16}^{{\displaystyle \frac{5}{4}}}}$

$81=3^4 , 16=2^4$                             $= \frac{{\left(3^4\right)}^{{\displaystyle \frac{5}{4}}}}{{\left(2^4\right)}^{{\displaystyle \frac{5}{4}}}}$

قاعدة قوة القوة                                     $= \frac{3^5}{2^5}$

أبسط                                                   $= \frac{243}{32}$

---

أتحقق من فهمي (مثال 2) :

4- $y^{\frac{4}{5}} \times y^{-\frac{9}{5}}$

قاعدة ضرب القوى                    $y^{\frac{4}{5}} \times y^{-\frac{9}{5}} = y^{\frac{4}{5}+\left(-\frac{9}{5}\right)}$

أجمع الأسس                                      $= y^{-\frac{5}{5}}$

أبسط                                                       $= \frac{1}{y}$

---

5- $\frac{u^{-{\displaystyle \frac{7}{2}}}}{u^{-4}}$

قاعدة الأسس السالبة            $\frac{u^{-{\displaystyle \frac{7}{2}}}}{u^{-4}} = u^{-\frac{7}{2}} \times u^4$

قاعدة ضرب القوى                          $= u^{4-\frac{7}{2}}$

أبسط                                                   $= u^{\frac{1}{2}}$

الصورة الجذرية                                    $= \sqrt{u}$

---

6- ${\left(d^{-\frac{2}{3}}\right)}^6$

قاعدة قوة القوى                        ${\left(d^{-\frac{2}{3}}\right)}^6 = d^{-\frac{2}{3}\times 6}$

أبسط                                                  $= d^{-4}$

قاعدة الأسس السالبة                       $= \frac{1}{d^4}$

---

أتحقق من فهمي (مثال 3) : 

5- $\sqrt[4]{36h^2}$

تعريف الأسس النسبية                 $\sqrt[4]{36h^2} = {\left(36h^2\right)}^{\frac{1}{4}}$

قاعدة قوة ناتج الضرب                   $= {\left({\left(6h\right)}^2\right)}^{\frac{1}{4}}$

قاعدة قوة القوة                                 $= {\left(6h\right)}^{\frac{2}{4}} = {\left(6h\right)}^{\frac{1}{2}}$

الصيغة الجذرية                                    $= \sqrt{6h}$

---

6- $\sqrt[3]{64z^{12}}$

تعريف الأسس النسبية                     $\sqrt[3]{64z^{12}} = {\left(64z^{12}\right)}^{\frac{1}{3}}$

قاعدة قوة ناتج الضرب                      $= {\left({\left(2z^2\right)}^6\right)}^{\frac{1}{3}}$ 

 

قاعدة قوة القوة                                     $= {\left(2z^2\right)}^{\frac{6}{3}}$

أبسط                                                           $= 4z^4$

---

7- $\sqrt{18w^7}$

$18= 2 \times 9$                                                        $\sqrt{18w^7} = \sqrt{9 \times {\left(w^3\right)}^2\times 2w}$

قاعدة قوة ناتج ضرب                                     $= \sqrt{9} \times \sqrt{{\left(w^3\right)}^2}\times \sqrt{2w}$

$\sqrt{9} = 3$                                                                           $= 3\left|w^3\right|\sqrt{2w}$

 

---

8- $\sqrt{\frac{a^9}{b^7}}$

قاعدة قوة ناتج القسمة                                     $\sqrt{\frac{a^9}{b^7}} = \frac{\sqrt{a^9}}{\sqrt{b^7}}$

                                                                  $= \frac{\sqrt{{\left(a^4\right)}^2\times a}}{\sqrt{{\left(b^3\right)}^2\times b}}$

قاعدة قوة ناتج الضرب                         $= \frac{\sqrt{{\left(a^4\right)}^2}\times \sqrt{a}}{\sqrt{{\left(b^3\right)}^2}\times \sqrt{b}}$

أبسط                                                          $= \frac{a^4\times \sqrt{a}}{\left|b^3\right|\times \sqrt{b}}$

أنطق المقام                                  $= \frac{a^4\times \sqrt{a}}{\left|b^3\right|\times \sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}$

$\sqrt{b} \times \sqrt{b} = b$                                   $= \frac{a^4\sqrt{a} \times \sqrt{b}}{\left|b^3\right| b}$

---

أتحقق من فهمي (مثال 4) :

 

تمثل المعادلة $A = {\left(4\mathrm{\pi }\right)}^{\frac{1}{3}}{\left(3V\right)}^{\frac{2}{3}}$ مساحة سطح کرة بالوحدات المربعة تم تشكيلها باستعمال مجموعة من کرات صغيرة حجم الواحدة منها V وحدة مكعب.

أجد مساحة السطح الخارجي للكرة الكبيرة إذا كان حجم الكرة الصغيرة 9 وحدات مكعبة.

لإيجاد مساحة سطح الخارجي للكرة الكبيرة أعوض حجم الكرة الصغيرة في الصيغة:

صيغة الأصلية                                                                     $A = {\left(4\mathrm{\pi }\right)}^{\frac{1}{3}}{\left(3V\right)}^{\frac{2}{3}}$

أعوض  $V = 9$                                                                   $A = {\left(4\mathrm{\pi }\right)}^{\frac{1}{3}}{\left(3\left(9\right)\right)}^{\frac{2}{3}}$       

أبسط                                                                                     $A = {\left(4\mathrm{\pi }\right)}^{\frac{1}{3}}{\left(3^3\right)}^{\frac{2}{3}}$ 

قاعدة قوة القوة                                                                         $A = {\left(4\mathrm{\pi }\right)}^{\frac{1}{3}}{3}^2$

قاعدة ضرب القوى                                                           $A = \sqrt[3]{4} \times \sqrt[3]{\mathrm{\pi }}\times 3^2$

استعمل الآلة الحاسبة                     $A = \sqrt[3]{4} \times \sqrt[3]{\mathrm{\pi }}\times 3^2 = 20.92405233$

 

---

أتدرب وأحل مسائل :

أجد قيمة كل مما يأتي في أبسط صورة

1- ${25}^{\frac{2}{3}}\times 5^{\frac{2}{3}}$

$25=5^2$                                       ${25}^{\frac{2}{3}}\times 5^{\frac{2}{3}} = {\left(5^2\right)}^{\frac{2}{3}}\times 5^{\frac{2}{3}}$

قاعدة قوة القوة                           $= 5^{\frac{4}{3}} \times 5^{\frac{2}{3}}$

قاعدة ضرب القوة                             $= 5^{\frac{4}{3}+\frac{2}{3}}$

أجمع                                               $= 5^2 = 25$

---

2- $\sqrt[6]{64\times 3^{12}}$

تعريف الأسس النسبية             $\sqrt[6]{64\times 3^{12}} = {\left(64\times 3^{12}\right)}^{\frac{1}{6}}$

$64=2^6$                                      $= {\left(2^6\times 3^{12}\right)}^{\frac{1}{6}}$

أبسط                                       $= {\left({\left(2\times 3^2\right)}^6\right)}^{\frac{1}{6}}$

قاعدة قوة القوة                              $= \left(2\times 3^2\right)$

أبسط                                                       $= 18$

---

3- $\frac{9^{{\displaystyle \frac{5}{2}}}}{{27}^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}$

 $27=3^3 , 9=3^2$                                                        $\frac{9^{{\displaystyle \frac{5}{2}}}}{{27}^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}} = \frac{{\left(3^2\right)}^{{\displaystyle \frac{5}{2}}}}{{\left(3^3\right)}^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}$

قاعدة قوة القوة                                                                $= \frac{3^5}{3^2}$

قاعدة قسمة القوة                                   $= 3^{5-2} = 3^3 =27$

 

---

4- $\frac{\sqrt[3]{216}}{{36}^{-{\displaystyle \frac{3}{2}}}}$

تعريف الأسس النسبية                    $\frac{\sqrt[3]{216}}{{36}^{-{\displaystyle \frac{3}{2}}}}= \frac{{\left(216\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}}{{36}^{-{\displaystyle \frac{3}{2}}}}$

$216=6^3 , 36=6^2$                           $= \frac{{\left(6^3\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}}{{\left(6^2\right)}^{-{\displaystyle \frac{3}{2}}}}$

قاعدة قوة القوة                                       $= \frac{6}{6^{-3}}$

قاعدة الأسس السالبة         $= 6 \times 6^3 = 1296$

---

5- ${\left(\frac{25}{64}\right)}^{-\frac{3}{2}}$

قاعدة  ${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n} ={\left(\frac{b}{a}\right)}^n$                    ${\left(\frac{25}{64}\right)}^{-\frac{3}{2}} = {\left(\frac{64}{25}\right)}^{\frac{3}{2}}$

$25=5^2 , 64=8^2$                             $= {\left({\left(\frac{8}{5}\right)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}$

قاعدة قوة القوة                                       $= {\left(\frac{8}{5}\right)}^3$

قاعدة ناتج القسمة                       $=\frac{ 8^3}{5^3}= \frac{512}{125}$    

           

---

                                   

6- ${\left(\frac{2187}{128}\right)}^{-\frac{5}{7}}$

قاعدة   ${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n} ={\left(\frac{b}{a}\right)}^n$               ${\left(\frac{2187}{128}\right)}^{-\frac{5}{7}} = {\left(\frac{128}{2187}\right)}^{\frac{5}{7}}$

$2187=3^7 , 128=2^7$                     $= {\left({\left(\frac{2}{3}\right)}^7\right)}^{\frac{5}{7}}$

قاعدة قوة القوة                                       $={\left(\frac{2}{3}\right)}^5$

قاعدة ناتج القسمة                        $=\frac{2^5}{3^5}=\frac{32}{243}$

---

أبسط كلا من العبارات الأسية الآتية مفترضا أن أيا من المتغيرات لا يساوي صفرا

7- $p^{-\frac{3}{4}}\times p^{\frac{11}{4}}$

قاعدة ضرب القوى             $p^{-\frac{3}{4}}\times p^{\frac{11}{4}} = p^{\frac{11}{4}+\left(-\frac{3}{4}\right)}$

أجمع الأسس                                  $=p^{\frac{8}{4}}$

أبسط                                                $=p^2$

---

8- $\frac{u^{-{\displaystyle \frac{8}{3}}}}{u^{-3}}$

قاعدة الأسس السالبة                     $\frac{u^{-{\displaystyle \frac{8}{3}}}}{u^{-3}} = u^{-\frac{8}{3}}\times u^3$

قاعدة ضرب القوى                            $= u^{3+\left(-\frac{8}{3}\right)}$

أبسط                                                           $= u^{\frac{1}{3}}$        

الصيغة الجذرية                                          $= \sqrt[3]{u}$                

---

9- $y^6{\left(y^{\frac{3}{2}}\right)}^{-2}$

قاعدة قوة القوة                                   $y^6{\left(y^{\frac{3}{2}}\right)}^{-2} = y^6\times y^{-3}$

قاعدة الأسس السالبة                                  $= \frac{y^6}{y^3}$

قاعدة قسمة القوى                          $=y^{6-3} = y^3$           

---

                                      

10- $\frac{1}{n^2} y^{-2} {\left(n^{\frac{5}{3}}\right)}^6$

قاعدة قوة القوة                                 $\frac{1}{n^2} y^{-2} {\left(n^{\frac{5}{3}}\right)}^6= \frac{1}{n^2} y^{-2} \left(n^{\frac{30}{3}}\right)=\frac{1}{n^2} y^{-2} n^{10}$

قاعدة قسمة القوى                             $= n^{10-2} y^{-2}$

قاعدة الأسس السالبة                                     $= \frac{n^8}{y^2}$

---

11- $\frac{w^2\times w^{-{\displaystyle \frac{9}{2}}}}{w^{-3}}$

قاعدة الأسس السالبة                                     $\frac{w^2\times w^{-{\displaystyle \frac{9}{2}}}}{w^{-3}} = w^2\times w^{-\frac{9}{2}}\times w^3$

قاعدة ضرب القوى                                                 $= w^{2+\left(-\frac{9}{2}\right)+3}$

أجمع                                                                                       $= w^{\frac{1}{2}}$

الصيغة الجذرية                                                                     $= \sqrt{w}$

---

12- $d^{-\frac{1}{2}}\times p^{-\frac{1}{2}}$

قاعدة الأسس السالبة                                     $d^{-\frac{1}{2}}\times p^{-\frac{1}{2}} =\frac{1}{d^{\frac{1}{2}}\times p^{\frac{1}{2}}}$          

قاعدة ناتج ضرب القوى                                         $= \frac{1}{{\left(dp\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}$               

الصيغة الجذرية                                                         $=\frac{1}{\sqrt{dp}}$

أنطق المقام                                               $=\frac{1}{\sqrt{dp}}\times \frac{\sqrt{dp}}{\sqrt{dp}}$

$\sqrt{dp} \times \sqrt{dp} = dp$                                               $= \frac{\sqrt{dp}}{dp}$

---

أكتب كلا مما يأتي بأبسط صورة مفترضا أن أيا من المتغيرات لا يساوي صفرا

13- $\sqrt{169h^6}$

تعريف الأسس النسبية                $\sqrt{169h^6} = {\left(169h^6\right)}^{\frac{1}{2}}$

$169 = {13}^2$                                    $= {\left({13}^2{h}^6\right)}^{\frac{1}{2}}$

قاعدة قوة ناتج الضرب                   $= {\left({\left(13\right)}^2{h}^6\right)}^{\frac{1}{2}}$

قاعدة قوة القوة                                        $= 13\left|h^3\right|$                    

---

14- $\sqrt[4]{81z^{12}}$

تعريف الأسس النسبية                      $\sqrt[4]{81z^{12}} ={\left( 81z^{12}\right)}^{\frac{1}{4}}$

$81 = 3^4$                                              $={\left( 3^4{z}^{12}\right)}^{\frac{1}{4}}$

قاعدة قوة ناتج الضرب                      $= {\left({\left(3z^3\right)}^4\right)}^{\frac{1}{4}}$

قاعدة قوة القوة                                           $= 3\left|z^3\right|$     

---

15- $\sqrt{18w^7{y}^2}$

$18 = 2 \times 3^2$                   $\sqrt{18w^7{y}^2} = \sqrt{2\times 3^2\times {\left(w^3\right)}^2\times w\times y^2}$

قاعدة قوة ناتج الضرب                     $= \sqrt{2w\times {\left(3y{w}^3\right)}^2}$ 

                                                                $= 3\left|y{w}^3\right|\sqrt{2w}$

---

16- $\sqrt[5]{32z^3}$

$32 = 2^5$                                                      $\sqrt[5]{32z^3} = \sqrt[5]{2^5{z}^3}$

                                                             $= \sqrt[5]{2^5} \times \sqrt[5]{z^3}$

أبسط                                                             $= 2\sqrt[5]{z^3}$

---

17- $\sqrt[3]{\frac{64m^2}{m^{-4}}}$

قاعدة الأسس السالبة     $\sqrt[3]{\frac{64m^2}{m^{-4}}} = \sqrt[3]{64m^2\times m^4}$

$64 = 4^3$                              $= \sqrt[3]{\left(4^3\right)m^2\times m^4}$

قاعدة ضرب القوى                   $= \sqrt[3]{\left(4^3\right)m^{2+4}}$       

تعريف الأسس النسبية             $= {\left(4^3\times m^6\right)}^{\frac{1}{3}}$ 

قاعدة قوة ناتج الضرب                   $= 4^{\frac{3}{3}}\times m^{\frac{6}{3}}$

أبسط                                                       $= 4m^2$

---

18- $\sqrt[3]{b}\times \sqrt[3]{b}\times \sqrt[3]{b}$

تعريف الأسس النسبية                   $\sqrt[3]{b}\times \sqrt[3]{b}\times \sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}}\times b^{\frac{1}{3}}\times b^{\frac{1}{3}}$

قاعدة ضرب القوى                                    $= b^{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}$

أبسط                                                                         $= b$

 

---

19- أعاصير: يستعمل العلماء المعادلة $S = \sqrt{9.8d}$ لتقدير سرعة موج البحر s بالمتر لكل ثانية في أثناء إعصار تسونامي، حيث له عمتي الماء بالأمتار.

أقدر سرعة الموجة حين يكون عم الماء $4000 m$

أعوض في الصيغة عمق الموجة : 

                                                                       $S = \sqrt{9.8\times 4000}$

أبسط                                                               $= \sqrt{98 \times 400}$

قاعدة ناتج ضرب القوة                        $= \sqrt{2}\times \sqrt{49}\times \sqrt{400}$ 

أبسط                                                                        $= 140\sqrt{2}$

 

20- حجم الصندوق بلالة x 

حجم الصندوق A      $A = B \times C \times E$ حيث يمثل الطولB والعرضC والارتفاعE

أعوض                $A = x^{\frac{1}{2}}\times x^{\frac{1}{3}}\times x^{\frac{1}{4}}$

 

21- مساحة سطح الصندوق إذا كانت $x = 4096$

أعوض قيمة X             $A = {4096}^{\frac{1}{2}} \times {4096}^{\frac{1}{3}} \times {4096}^{\frac{1}{4}}$

                                        $= {\left({64}^2\right)}^{\frac{1}{2}} \times {\left({16}^3\right)}^{\frac{1}{3}} \times {\left(8^4\right)}^{\frac{1}{4}}$

                                                               $= 64 \times 16 \times 8$

                                                                             $= 8192$

---

هندسة : أجد مساحة كل شكل مما يأتي :

22-

قاعدة مساحة الدائرة L              $L = \mathrm{\pi } {\mathrm{r}}^2$  حيث r نصف القطر

أعوض                        $$\begin{gathered} L = \mathrm{\pi } {\left({\left(4{\mathrm{u}}^{\frac{3}{2}}\right)}^2\right)}^2 \\ = \mathrm{\pi } {\left({\left(4\right)}^2 {\left({\mathrm{u}}^{\frac{3}{2}}\right)}^2 \right)}^2 \\ =\mathrm{\pi } {\left(16 \left({\mathrm{u}}^3\right) \right)}^2 \end{gathered}$$

أبسط                                 $L = 256 \mathrm{\pi } {\mathrm{u}}^6$ 

 

 

 

---

23- 

قاعدة مساحة المستطيل k  $k = v \times n$ حيث v الطول n  العرض

أعوض                                            $k = x^3 \times 2x^{\frac{3}{2}}$

أجمع                                                   $= 2x^{3+\frac{3}{2}}$

أبسط                                                      $= 2x^{\frac{9}{2}}$

 

---

أسئلة كتاب التمارين :

أجد قيمة كل مما يأتي :

1- $\sqrt[3]{2^9} ÷ \sqrt[5]{4^5}$

تعريف الأسس النسبية           $\sqrt[3]{2^9} ÷ \sqrt[5]{4^5} = 2^{\frac{9}{3}} ÷ 4^{\frac{5}{5}}$

$4=2^2$                                          $= 2^3 ÷ 2^2$

قسمة القوى                           $= 2^{3-2} = 2$

---

2- ${\left(49\right)}^{\frac{1}{2}} \times {\left(7^3\right)}^{\frac{1}{3}}$

$49 = 7^2$                              ${\left(49\right)}^{\frac{1}{2}} \times {\left(7^3\right)}^{\frac{1}{3}} = {\left(7^2\right)}^{\frac{1}{2}} \times {\left(7^3\right)}^{\frac{1}{3}}$

قوة القوى                                  $= 7^{\frac{2}{2}} \times 7^{\frac{3}{3}}$

أبسط                                          $= 7\times 7=49$

---

3- ${\left(\frac{8}{27}\right)}^{-\frac{2}{3}}$

قاعدة الاسس السالبة ${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n} = {\left(\frac{b}{a}\right)}^n$                ${\left(\frac{8}{27}\right)}^{-\frac{2}{3}} = {\left(\frac{27}{8}\right)}^{\frac{2}{3}}$

$27 = 3^3 , 8=2^3$                                                           $= {\left({\left(\frac{3}{2}\right)}^3\right)}^{\frac{2}{3}}$

قوة القوى                                                                              $= {\left(\frac{3}{2}\right)}^{\frac{6}{3}}$

أبسط                                                                            $= {\left(\frac{3}{2}\right)}^2 = \frac{9}{4}$

---

4- ${16}^{\frac{1}{4}}\times {16}^{\frac{3}{4}}$

ضرب القوى                                                            ${16}^{\frac{1}{4}}\times {16}^{\frac{3}{4}} = {16}^{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}$

                                                                          $= {16}^{\frac{4}{4}} = 16$

---

5- $\sqrt{6^7} \times \sqrt{6^5}$

تعريف الأسس النسبية                 $\sqrt{6^7} \times \sqrt{6^5} = 6^{\frac{7}{2}} \times 6^{\frac{5}{2}}$

ضرب القوى                                          $= 6^{\frac{7}{2}+\frac{5}{2}}$

أجمع                                                        $= 2^{\frac{12}{2}}$

أبسط                                                $= 2^6 = 64$

---

6- $\frac{\sqrt[3]{4^5}}{\sqrt[3]{4^2}}$

تعريف الأسس النسبية                       $\frac{\sqrt[3]{4^5}}{\sqrt[3]{4^2}} = \frac{4^{{\displaystyle \frac{5}{3}}}}{4^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}$

قسمة القوى                                     $= 4^{\frac{5}{3}-\frac{2}{3}}$

أطرح                                                          $=4^{\frac{3}{3}}$

أبسط                                                           $= 4$

---

اكتب كل مقدار قي ما يأتي بأبسط صورة :

7- $a^{\frac{1}{2}}\times a^{\frac{3}{2}}\times a^2$

ضرب القوى                                                         $a^{\frac{1}{2}}\times a^{\frac{3}{2}}\times a^2 = a^{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+2}$

أجمع                                                                                $= a^4$

---

8- $y^{-2}{\left(y^{\frac{5}{3}}\right)}^6$

قوة القوى                                                               $y^{-2}{\left(y^{\frac{5}{3}}\right)}^6 = y^{-2}\left(y^{\frac{30}{3}}\right)$

ضرب القوى                                                        $= y^{-2+10}=y^8$

---

9- ${\left(\frac{p^{{\displaystyle \frac{1}{5}}}}{p^{{\displaystyle \frac{1}{10}}}}\right)}^{-10}$

قاعدة الاسس السالبة  ${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n} = {\left(\frac{b}{a}\right)}^n$                              ${\left(\frac{p^{{\displaystyle \frac{1}{5}}}}{p^{{\displaystyle \frac{1}{10}}}}\right)}^{-10} = {\left(\frac{p^{{\displaystyle \frac{1}{10}}}}{p^{{\displaystyle \frac{1}{5}}}}\right)}^{10}$

قسمة القوى                                                      $={\left(p^{\frac{1}{10}-\frac{1}{5}}\right)}^{10}={\left(p^{-\frac{1}{10}}\right)}^{10}$

قوة القوى                                                                                           $= p^{-\frac{10}{10}}$

قاعدة الاس السالب                                                                                $= \frac{1}{p}$

---

10- $\sqrt[3]{216x^6}$

تعريف الأسس النسبية                          $\sqrt[3]{216x^6} = {\left(216x^6\right)}^{\frac{1}{3}}$

$216=6^3$                                                 $= {\left({\left(6x^2\right)}^3\right)}^{\frac{1}{3}}$

قوة القوى                                                          $= 6x^2$           

       

---

11- ${\left(\frac{3u^4}{4u^2}\right)}^3$

قوة ناتج القسمة                 ${\left(\frac{3u^4}{4u^2}\right)}^3 = \frac{{\left(3u^4\right)}^3}{{\left(4u^2\right)}^3}$

قوة ناتج الضرب                     $= \frac{3^3{u}^{12}}{4^3{u}^6}$

قسمة القوى                       $= \frac{27}{64}{u}^{12-6}$

أطرح                                           $= \frac{27}{64}{u}^6$

---

12- $\sqrt{12} \times \sqrt{2x} \times \sqrt{6x}$

                                                                $\sqrt{12} \times \sqrt{2x} \times \sqrt{6x} = \sqrt{3\times 2^2} \times \sqrt{2x} \times \sqrt{3\times 2x}$

                                                                       $=2\sqrt{3}\times \sqrt{2x}\times \sqrt{3}\times \sqrt{2x}$

$\sqrt{3}\times \sqrt{3} = 3 , \sqrt{2x}\times \sqrt{2x}= 2x$                                  $=2\times 3\times 2x$

ابسط                                                                                                 $=12x$

                       

---

                        

13- أجد مساحة المثلث المجاور بدلالة X

قاعدة حساب المثلث A      $A = \frac{1}{2}\times B\times C$    حيث B طول القاعدة  و C ارتفاع المثلث

أعوض في الصيغة                                   $A = \frac{1}{2}\times 2x^{\frac{5}{6}} \times 6x^{\frac{1}{3}}$

ضرب القوى                                                               $=6 x^{\frac{5}{6}+\frac{1}{3}}$

أجمع وأبسط                                                                   $= 6x^{\frac{7}{6}}$

الصيغة الجذرية                                                            $=6 \sqrt[6]{x^7}$

                                                            $=6\sqrt[6]{x^6\times x} = 6\left|x\right|\sqrt[6]{x}$

 

---

14- نمثل المعادلة $A = \frac{1}{2}\times d_1\times d_2$   مساحة معين بالوحدات المربعة , حيث  $d_2 و d_1$ طولا قطريه

أجد $d_2$ بدلالة y  اذا كان $d_{1 }=6y^{\frac{3}{4}} و A = 18y^{\frac{7}{4}}$

أعوض في الصيغة                              $18y^{\frac{7}{4}} = \frac{1}{2}\times 6y^{\frac{3}{4}} \times d_2$

أقسم الطرفين $3y^{\frac{3}{4}}$                               $d_2=\frac{18y^{{\displaystyle \frac{7}{4}}}}{3y^{{\displaystyle \frac{3}{4}}}}$

قسمة القوة                                         $d_2 = 6y^{\frac{7}{4}-\frac{3}{4}}$

أطرح                                                  $d_2 = 6y^{\frac{4}{4}} = 6y$

---

15- يعطى طول نصف القطر الدائرة بالصيغة  $r = {\left(\frac{A}{\mathrm{\pi }}\right)}^{\frac{1}{2}}$ حيث  A  مساحة الدائرة , 

أجد طول نصف قطر الدائرة مساحتها $50.24 c{m}^2$ ( إرشاد : $\mathrm{\pi } = 3.14$ ) 

أعوض في الصيغة قيمة A و $\mathrm{\pi }$                      $r = {\left(\frac{50.24}{3.14}\right)}^{\frac{1}{2}}$

ناتج القسمة                                                            $r = {\left(16\right)}^{\frac{1}{2}}$

الصيغة الجذرية                                                         $= \sqrt{16}$

أبسط                                                                               $= 4$

---

16- أكتشف الخطأ : بسط خالد المقدار $w^{-3} \times {\left(w\right)}^{-\frac{7}{3}}$ على النحو الاتي :

$w^{-3} \times {\left(w\right)}^{-\frac{7}{3}} = {\left(w\right)}^{-3\times -\frac{7}{3}} = {\left(w\right)}^7$

الخطأ ضرب الاسس بدل جمعها لان قاعدة ضرب القوة نجمع الاسس ولا نجمعها

الحل الصحيح  : $w^{-3} \times {\left(w\right)}^{-\frac{7}{3}}$

ضرب القوى                                         $w^{-3} \times {\left(w\right)}^{-\frac{7}{3}} = w^{-3+-\frac{7}{3}}$

أجمع وأبسط                                              $= w^{-\frac{16}{3}}$

قاعدة الاسس السالبة                               $= \frac{1}{w^{{\displaystyle \frac{16}{3}}}}$

الصيغة الجذرية                                        $= \frac{1}{\sqrt[3]{w^{16}}}$

                                                         $= \frac{1}{\sqrt[3]{w^{15} \times w}}$

                                                                $= \frac{1}{w^5\sqrt{w}}$

أنطق المقام                            $= \frac{1}{w^5\sqrt{w}} \times \frac{\sqrt{w}}{\sqrt{w}}$

$\sqrt{w}\times \sqrt{w} = w$                                       $= \frac{\sqrt{w}}{w^6}$