رياضيات فصل أول

أتحقق من فهمي

ص: 173

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:

$a) y={\left(2x^4-8\right)}^{\frac{5}{3}}$

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\left(\frac{5}{3}\right){\left(2x^4-8\right)}^{\frac{2}{3}}\left(8x^3\right) \\ \frac{dy}{dx}=\left(\frac{40}{3}{x}^3\right){\left(2x^4-8\right)}^{\frac{2}{3}} \end{gathered}$$

$b) y=\frac{13}{{\left(x^2-8\right)}^7}$

$$\begin{gathered} y=13{\left(x^2-8\right)}^{-7} \\ \frac{dy}{dx}=\left(13\right)\left(-7\right)\left(x^2-8\right)\left(2x\right) \\ \frac{dy}{dx}=\frac{\left(-182\right)x}{{\left(x^2-8\right)}^8} \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

ص: 174

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي، عند النقطة المعطاة:

$a) f(x)=\sqrt[7]{x^4+1 } ,x=-1$

$$\begin{gathered} f\left(x\right)={(x^4+1)}^{\frac{1}{7}}f\text{'}\left(x\right)=\left(\frac{1}{7}\right){\left(x^4+1\right)}^{\frac{-6}{7}}\left(4x^3\right) \\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{4x^3}{7\sqrt[7]{{(x^4+1)}^6}} \\ f\text{'}(-1)=\frac{-4}{7\sqrt[7]{64}} \end{gathered}$$

$b) y={\left(2x-5\right)}^{\frac{2}{3}} ,x=0$

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{2}{3}{\left(2x-5\right)}^{-\frac{1}{3}}\left(2\right) \\ \frac{dy}{dx}=\frac{4}{3\sqrt[3]{2x-5}} \\ \frac{dy}{dx}{|}_{x=0}=\frac{4}{3\sqrt[3]{-5}}=\frac{-4}{3\sqrt[3]{5}} \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

ص: 175

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:

$a) y={\left(4x+9\right)}^7$

$\frac{dy}{dx}=7{\left(4x+9\right)}^6\left(4\right)=28{\left(4x+9\right)}^6$

$b) y=\sqrt[3]{1-10x}$

$$\begin{gathered} y={\left(1-10x\right)}^{\frac{1}{3}} \\ \frac{dy}{dx}=\left(\frac{1}{3}\right)\left(-10\right){\left(1-10x\right)}^{\frac{-2}{3}}=\frac{-10}{3\sqrt[3]{{(1-10x)}^2}} \end{gathered}$$

$c) y=\frac{1}{2x-7}$

$$\begin{gathered} y={\left(2x-7\right)}^{-1} \\ \frac{dy}{dx}=\left(-1\right)\left(2\right){\left(2x-7\right)}^{-2}=\frac{-2}{{\left(2x-7\right)}^2} \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

ص: 176

ينفخ بالون على شكل كرة؛ بحيث يزداد حجمه بمعدل $30 c{m}^3/s$. أجد معدل زيادة نصف قطر البالون، عندما يكون:

a) نصف القطر 4cm

$$\begin{gathered} v\left(r\right)=\frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}^3 \\ \frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dr}}=4{\mathrm{\pi r}}^2 \\ \frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dv}}\times \frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}} \\ = \frac{1}{4{\mathrm{\pi r}}^2}\times 30 \\ = \frac{15}{2{\mathrm{\pi r}}^2} \\ \frac{dr}{dt}{|}_{r=4}=\frac{15}{2\mathrm{\pi }{\left(4\right)}^2}=\frac{15}{32\mathrm{\pi }}\approx 0.149cm/s \end{gathered}$$

b) نصف القطر 8cm

$\frac{dr}{dt}{|}_{r=8}=\frac{15}{2\mathrm{\pi }{\left(8\right)}^2}=\frac{15}{128\mathrm{\pi }}\approx 0.037 cm/s$

أتدرب وأحل المسائل

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:

$1) f(x)={\left(4x+2\right)}^2$

$f\text{'}\left(x\right)=8\left(4x+2\right)$

$2) y={\left(8-x\right)}^{10}$

$\frac{dy}{dx}=-10{\left(8-x\right)}^9$

$3) g(x)={\left(1+3x^2\right)}^5$

$g\text{'}\left(x\right)=\left(30x\right){\left(1+3x^2\right)}^4$

$4) y={\left(6x-5x^2\right)}^{-8}$

$$\begin{gathered} y\text{'}=\left(-8\right){\left(6x-5x^2\right)}^{-9}\left(6-10x\right) \\ y\text{'}=\left(80x-48\right){\left(6x-5x^2\right)}^{-9} \\ y\text{'}=\frac{\left(80x-48\right)}{{\left(6x-5x^2\right)}^9} \end{gathered}$$

$5) y={\left(\mathrm{\pi }-{\mathrm{x}}^2\right)}^3$

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=3{\left(\mathrm{\pi }-{\mathrm{x}}^2\right)}^2\left(-2x\right) \\ \frac{dy}{dx}=-6x{\left(\mathrm{\pi }-{\mathrm{x}}^2\right)}^2 \end{gathered}$$

$6) h(x)=\sqrt{6x-1}$

$h\text{'}\left(x\right)=\frac{6}{2\sqrt{6x-1}}=\frac{3}{\sqrt{6x-1}}$

$7) y={\left(\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x^2}}\right)}^3$

$$\begin{gathered} y={\left(x^{-\frac{2}{3}}+x^{-\frac{1}{6}}\right)}^3 \\ \frac{dy}{dx}=3{\left(x^{-\frac{2}{3}}+x^{-\frac{1}{6}}\right)}^2\left(-\frac{2}{3}{x}^{-\frac{5}{3}}+\frac{-1}{6}{x}^{-\frac{7}{6}}\right) \\ \frac{dy}{dx}=\left(-2x^{-\frac{5}{3}}-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{7}{6}}\right){\left(\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x^2}}\right)}^2 \end{gathered}$$

$8) h(x)={\left(\sqrt{x}+x\right)}^{-2}$

$$\begin{gathered} h\text{'}\left(x\right)=-2{\left(\sqrt{x}+x\right)}^{-3}\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+1\right) \\ h\text{'}\left(x\right)=\left(\frac{-1}{\sqrt{x}}-2\right){\left(\sqrt{x}+x\right)}^{-3} \end{gathered}$$

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي، عند النقطة المعطاة:

$9) h(x)=\sqrt{{\left(2-x\right)}^5}+16 ,x=-4$

$$\begin{gathered} h\left(x\right)={\left(2-x\right)}^{\frac{5}{2}}+16 \\ \frac{dh}{dx}=-\frac{5}{2}{\left(2-x\right)}^{\frac{3}{2}}=-\frac{5}{2}\sqrt{{\left(2-x\right)}^3} \\ \frac{dh}{dx}{|}_{x=-4}=-\frac{5}{2}\sqrt{{\left(2+4\right)}^3}=-\frac{5}{2}\sqrt{216}=-5\sqrt{54} \end{gathered}$$

$10) y=\frac{1}{\sqrt{x}-1} ,x=16$

$$\begin{gathered} y={\left(x^{\frac{1}{2}}-1\right)}^{-1} \\ \frac{dy}{dx}=\left(-1\right){\left(x^{\frac{1}{2}}-1\right)}^{-2}\left(\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}\right) \\ \frac{dy}{dx}=\frac{-1}{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)}^{-2} \\ =\frac{-1}{2\sqrt{x}{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2} \\ \frac{dy}{dx}{|}_{x=\frac{1}{4}}=\frac{-1}{2\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}}{\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}}-1\right)}^2}=\frac{-1}{2\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right){\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2}=\frac{-1}{{\displaystyle \frac{1}{4}}}=-4 \end{gathered}$$

$11) y=\frac{2}{{\left(x^2-13\right)}^{{\displaystyle \frac{4}{7}}}} ,x=1$

$$\begin{gathered} y=2{\left(x^2-13\right)}^{-\frac{4}{7}} \\ \frac{dy}{dx}=\left(2\right)\left(-\frac{4}{7}\right)\left(2x\right){\left(x^2-13\right)}^{-\frac{11}{7}} \\ \frac{dy}{dx}=-\frac{16}{7}x{\left(x^2-13\right)}^{-\frac{11}{7}} \\ \frac{dy}{dx}{|}_{x=1}=-\frac{16}{7}{\left(-12\right)}^{-\frac{11}{7}}\approx 0.046 \end{gathered}$$

$12) h(x)=\sqrt{1-\sqrt{x}} ,x=\frac{1}{4}$

$$\begin{gathered} h\text{'}\left(x\right)={\left(1-\sqrt{x}\right)}^{\frac{1}{2}} \\ h\text{'}\left(x\right)=\left(\frac{1}{2}\right){\left(1-\sqrt{x}\right)}^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{-1}{2\sqrt{x}}\right) \\ =\frac{-1}{4\sqrt{x}}\times \frac{1}{\sqrt{1-\sqrt{x}}} \\ h\text{'}\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{-1}{4\times \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}}\right) \end{gathered}$$

يمثل الشكل المجاور منحنى الاقتران $y=\frac{20}{2+x} ,x>-2$

13) أجد ميل المماس عند النقطة (2,5).

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{-20}{{\left(2+x\right)}^2} \\ m=\frac{dy}{dx}{|}_{x=2}=\frac{-20}{16}=\frac{-5}{4} \end{gathered}$$

14) أجد إحداثيات النقطة التي يكون عندها ميل المماس 0.2-

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=-0.2 \\ \frac{-20}{{\left(2+x\right)}^2}=\frac{-2}{10} \\ 2{\left(2+x\right)}^2=200 \\ {\left(2+x\right)}^2=100 \\ 2+x=10 \\ x=8 \\ (8,2) \\ \frac{dy}{dx}{|}_{x=8}=\frac{-20}{{\left(2+8\right)}^2}=\frac{-20}{100}=-0.2 \end{gathered}$$

15) أجد معادلة العمودي على المماس عند نقطة تقاطع منحنى الاقتران مع المحور y

$$\begin{gathered} (0,10) \\ \frac{dy}{dx}{|}_{x=0}=-5 \\ \frac{1}{5}= \mathrm{العمودي} \mathrm{ميل} \\ y-10 =\frac{1}{5}x \\ y=\frac{1}{5}x+10 \end{gathered}$$

إذا كان $y=\sqrt{2x+5}$؛ فأجيب عما يأتي:

16) أثبت أن $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{y}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{2\sqrt{2x+5}}=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}=\frac{1}{y}$

17) أجد النقطة التي يقطع عندها مماس الاقتران عند النقطة (2,3) المحور x.

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{2x+5}} \\ \frac{dy}{dx}{|}_2=\frac{1}{\sqrt{9}}=\frac{1}{3} \\ y-3=\frac{1}{3}\left(x-2\right) \\ y=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3} \\ 0=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3} \\ x=-7 \\ \left(-7,0\right) \end{gathered}$$

إذا كان $y=\frac{600}{x^2+50}$ .

18) أجد $\frac{dy}{dx}$ عند x=1.

$$\begin{gathered} y=600{\left(x^2+50\right)}^{-1} \\ \frac{dy}{dx}=-600{\left(x^2+50\right)}^{-2}\left(2x\right) \\ \frac{dy}{dx}=\frac{1200x}{{\left(x^2+50\right)}^2} \\ \frac{dy}{dx}{|}_{x=1}=\frac{-1200}{2601} \end{gathered}$$

19) أجد معادلة المماس عند النقطة (10,4).

$$\begin{gathered} m=\frac{dy}{dx}{|}_{x=10}=\frac{-12000}{22500}=\frac{-8}{15} \\ y-4=\frac{-8}{15}\left(x-10\right) \\ y=\frac{-8}{15}x+\frac{28}{3} \end{gathered}$$

إذا كان الاقتران $f\left(x\right)=\sqrt{100-x^2}$؛ فأجيب عما يأتي:

20) أجد مشتقة الاقتران عند النقطة (6,8-) P.

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\frac{-2x}{2\sqrt{100-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{100-x^2}} \\ f\text{'}(-6)=\frac{+6}{\sqrt{100-36}}=\frac{6}{\sqrt{64}}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4} \end{gathered}$$

21) أثبت أن المستقيم الواصل بين نقطة الأصل والنقطة P عمودي على المماس الاقتران عند النقطة P.

$$\begin{gathered} slope=\frac{∆y}{∆x} \\ =\frac{8}{-6}=\frac{-4}{3} \\ \left(\frac{3}{4}\mathrm{المماس} \mathrm{ميل}\right)\times \left(\frac{-4}{3}\mathrm{المستقيم} \mathrm{ميل}\right)=-1 \end{gathered}$$

إذن المستقي والمماسين متعامدين

22) إذا كان الاقتران $y={(2x^2-3x+1)}^5$؛ فأثبت أن: $\frac{dy}{dx}=5\left(4x-3\right){\left(2x-1\right)}^4{\left(x-1\right)}^4$

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=5{\left(2x^2-3x+1\right)}^4\left(4x-3\right) \\ =5{\left(\left(2x-1\right)\times \left(x-1\right)\right)}^4\left(4x-3\right) \\ =\left(5\right){\left(2x-1\right)}^4\left(x-1\right)4\left(4x-3\right) \end{gathered}$$

23) إذا كان الاقتران $y=\sqrt{a+b{x}^2}$ حيث a,b>0؛ فأثبت أن: $\frac{x}{y}=c\frac{dy}{dx}$، حيث a,b,c ثوابت. أبرر  إجابتي.

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{2bx}{2\sqrt{a+b{x}^2}}=\frac{bx}{\sqrt{a+b{x}^2}} \\ \frac{1}{y}=\frac{1}{\sqrt{a+b{x}^2}}=\frac{x}{b} \frac{b}{x\sqrt{a+b{x}^2}} \\ \frac{1}{y}=\frac{1}{bx} \frac{dy}{dx} \\ \frac{x}{y}=\frac{1}{b}\frac{dy}{dx} \\ \frac{x}{y}=c \frac{dy}{dx} \end{gathered}$$

24) يبين الشكل المجاور خزان ماء أسطواني الشكل، إذا كانت كمية الماء في الخزان تزداد بمعدل 0.4L/s؛ فأجد معدل تغير عمق الماء في الخزان عندما يكون ارتفاع الماء في الخزان h cm.

$$\begin{gathered} V={\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h} \\ V=\mathrm{\pi }{\left(60\right)}^{2}h \\ \frac{dv}{dh}=\mathrm{\pi }\left(3600\right) c{m}^3 \\ \frac{dv}{dy}=0.4 L/s=400 c{m}^3/s \\ \frac{dv}{dh}\times \frac{dh}{dt}=\frac{dv}{dt} \\ 3600\times \frac{dh}{dt}=400 \\ \frac{dh}{dt}=\frac{400}{3600} \\ \frac{dh}{dt}=\frac{1}{9} cm/s \end{gathered}$$

25) يزداد حجم مكعب بمعدل $50 c{m}^3/s$. أجد معدل زيادة مساحة سطح المكعب؛ عندما يكون طول ضلع المكعب 5cm

$$\begin{gathered} \frac{dv}{dx}=3x^2 \\ \frac{dv}{dx}\times \frac{dx}{dt}=\frac{dv}{dt} \\ 3x^2\times \frac{dx}{dt}=50 \\ \frac{dx}{dt}=\frac{50}{3x^2} \\ \frac{dx}{dt}{|}_{x=5}=\frac{50}{3{\left(5\right)}^2}=\frac{2}{3} cm/s \\ A=6x^2 \\ \frac{dA}{dx}=12x \\ \frac{dA}{dx}\times \frac{dx}{dt}=\frac{dA}{dt} \\ 12x\times \frac{50}{3x^2}=\frac{dA}{dt} \\ \frac{dA}{dt}=\frac{50\left(4\right)}{x} \\ \frac{dA}{dt}{|}_{x=5}=40 c{m}^2/s \end{gathered}$$

26) إذا كان المتغيران u و w مرتبطين بالعلاقة $u=150\sqrt[3]{w^2}$، وكانت قيمة المتغير w تزداد مع الزمن t وفقا للعلاقة w=0.05t+8؛ فأجد معدل تغير u بالنسبة إلى الزمن عندما w=64

$$\begin{gathered} u=150w^{\frac{2}{3}} \\ \frac{du}{dw}=\frac{100}{\sqrt[3]{w}} \\ w=0.05t+8 \\ \frac{dw}{dt}=0.05 \\ \frac{du}{dw}\times \frac{dw}{dt}=\frac{du}{dt} \\ \frac{du}{dt}=\frac{100}{\sqrt[3]{w}}\times 0.05 \\ \frac{du}{dt}=\frac{5}{\sqrt[3]{w}} \\ \frac{du}{dt}{|}_{w=64}=\frac{5}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}{4} \end{gathered}$$

27) يبين الشكل المجاور مخروطا مجوفا مقلوبا، ارتفاعه 20cm وقطر قاعدته 16cm، يملأ بالماء بمعدل $25 c{m}^3/s$. أجد معدل زيادة ارتفاع الماء في المخروط؛ عندما يكون ارتفاعه 12cm

$$\begin{gathered} V=\frac{1}{3}\mathrm{\pi }{r}^{2}h \\ V=\frac{1}{3}\mathrm{\pi }\left(\frac{4}{5}\right){\mathrm{h}}^3 \\ V=\frac{16}{3\times 5}\mathrm{\pi }{h}^3 \\ \frac{dv}{dh}=\frac{16}{5}\mathrm{\pi }{h}^2 \\ \frac{dv}{dh}\times \frac{dh}{dt}=\frac{dv}{dt} \\ \left(\frac{16}{5}\mathrm{\pi }{h}^2\right)\times \frac{dh}{dt}=25 \\ \frac{dh}{dt}=25\times \frac{5}{16\mathrm{\pi }{h}^2} \\ \frac{dh}{dt}{|}_{h=12}=\frac{125}{\left(16\right)\left(\mathrm{\pi }\right){\left(12\right)}^2} \\ \frac{dh}{dt}\approx 0.017 cm/s \end{gathered}$$

28) يخرج الهواء من منطاد كروي الشكل بمعدل ثابت مقداره $0.6 c{m}^3/s$ محافظا على شكله الكروي. أجد معدل تناقص نصف المنطاد، عند اللحظة التي يكون فيها نصف القطر 2.5m

$$\begin{gathered} V=\frac{4}{3}\mathrm{\pi }{r}^3 \\ \frac{dv}{dr}=4\mathrm{\pi }{r}^2 \\ \frac{dv}{dr}\times \frac{dr}{dt}=\frac{dv}{dt} \\ \left(4\mathrm{\pi }{r}^2\right)\frac{dr}{dt}=-0.6 \\ \frac{dr}{dt}=\frac{-0.6}{4\mathrm{\pi }{r}^2} \\ \frac{dr}{dt}{|}_{r=250}=\frac{-0.6}{4\mathrm{\pi }{\left(250\right)}^2}\approx -7.6\times {10}^{-7} cm/s \end{gathered}$$

مهارات التفكير العليا

29) تبرير: يمثل الشكل المجاور منحنى الاقتران $y=\frac{a}{1+x^2} ,a>0$. أبين أن مماس منحنى الاقتران عند x=1 ومنحنى الاقتران يقطعان المحور y عند النقطة نفسها. أبرر إجابتي.

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{-2ax}{{\left(1+x^2\right)}^2} \\ \frac{dy}{dx}{|}_{x=1}=\frac{-2a}{4}=\frac{-a}{2} \\ x=1 , y=\frac{a}{2} \\ y-\frac{a}{2}=-\frac{a}{2}\left(x-1\right) \\ y=-\frac{a}{2}x+a \end{gathered}$$

الاقتران والمماس يقطعان المحور y عندما x=0

$$\begin{gathered} y=\frac{a}{1+ 0^2}=a \\ (0,a) \\ y=\frac{a}{2}\left(0\right)+a=a \\ (0,a) \end{gathered}$$

30) تحد: أجد مشتقة الاقتران $f\left(x\right)=\frac{x^2}{x^2+4}$، عندما x=-1

$$\begin{gathered} f\left(x\right) = 1 -\frac{4}{x^2+1\text{'}} \\ = 1-4{(x^2+1)}^{-1} \\ f\text{'}\left(x\right)=4\left(2x\right){(x^2+1)}^{-2} \\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{8x}{{(x^2+1)}^2} \\ f\text{'}(-1) = -2 \end{gathered}$$

31) تحد: أثبت أن مماس منحنى الاقتران $y={(x^2+x-2)}^3+3$ عند النقطة (1,3)، هو أيضا مماس للمنحنى عند نقطة أخرى.

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=3{\left(x^2+x-2\right)}^2\times \left(2x+1\right) \\ \frac{dy}{dx}=\left(6x+3\right){\left(x^2+x-2\right)}^2 \\ \frac{dy}{dx}{|}_{x=1}=\left(9\right)\left(0\right)=0 \\ \frac{dy}{dx}=0 \\ {x}^2+x-2=0 \\ x=1 or x=-2 \\ 6x+3=0 \\ x=-\frac{1}{2} \\ \left(1و3\right)\mathrm{عند} \mathrm{المماس} \\ y-3=0 \\ y=3 \\ \left(-2,3\right)\mathrm{عند} \mathrm{الممماس} \\ y-3=0 \\ y=3 \end{gathered}$$

32) تحد: يبين الشكل المجاور متوازي مستطيلات قاعدته مربعة الشكل وحجمه $1000 c{m}^3$. إذا كان طول ضلع قاعدة المتوازي يزداد بمعدل 0.2cm/s؛ فأجد معدل تغير الارتفاع عندما يصبح الشكل مكعبا.

$$\begin{gathered} V=x^{2}h \\ 1000=x^2.h \\ h=\frac{1000}{x^2} \\ \frac{dh}{dx}=\frac{-200x}{x^4}=\frac{-200}{x^3} \\ \frac{dh}{dx}\times \frac{dx}{dt}=\frac{dh}{dt} \\ \left(-\frac{200}{x^3}\right)0.2=\frac{dh}{dt} \\ \frac{dh}{dt}=\frac{-40}{x^3} \\ 1000=x^3 \\ x=10 \\ \frac{dh}{dt}{|}_{x=10}=\frac{-40}{1000}=-0.04 cm/s \end{gathered}$$

حل أسئلة كتاب التمارين

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:

$1) y={\left(1-x+x^2-x^3\right)}^4$

$\frac{dy}{dx}=4{\left(1-x+x^2-x^3\right)}^3\left(-1+2x-3x^2\right)$

$2) y={\left(x+x^2\right)}^{\frac{3}{2}}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}{\left(x+x^2\right)}^{\frac{1}{2}}\left(1+2x\right)$

$3) y=\frac{\sqrt{5+4x^2}}{2}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{\sqrt{5+4x^2}}$

4) إذا كان $y=\sqrt{1+\sqrt{3x+4}}$؛ فأجد مشتقة الاقتران y عندما x=0

$=\frac{\sqrt{3}}{8}$

5) إذا كان الاقتران $y={\left(2x-3\right)}^3$؛ فأجد إحداثيات النقطة (النقاط) التي يكون عندها ميل المماس يساوي 24

$$\begin{gathered} \left(0.5,-8\right) \\ \left(0.5,8\right) \end{gathered}$$

6) إذا كان الاقتران $y=f\left(x^2+3x-5\right)$؛ فأجد $\frac{dy}{dx}$ عند x=1 علما بأن f'(-1)=2

$10$

7) أجد معادلة المماس للاقتران $y={\left(x^3-7\right)}^5$، عندما x=2

$$\begin{gathered} m=60 \\ \left(2,1\right) \\ y=60x-119 \end{gathered}$$

8) إذا كان الاقتران $y=\sqrt{x+9}$، وكان مماس الاقتران عند النقطة $P(16,5)$ يقطع المحور x عند النقطة A، والعمودي على المماس عند النقطة P يقطع المحور x عند النقطة B؛ فأجد طول $\overline{AB}$.

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}{|}_{x=16}=\frac{1}{2\sqrt{x+9}}{|}_{x=16}=10 \\ -10=\mathrm{العمودي} \mathrm{ميل} \\ \frac{1}{10}=\mathrm{المماس} \mathrm{ميل} \\ y=0.1x+3.4 \\ x=-34 \mathrm{عندما} y=0 \\ y=-10x+165 \\ x=16.5 \mathrm{عندما} y=0 \\ A(-34,0) \\ B(16.5,0) \\ \overline{AB}=\left|-34-16.5\right|=\left|-50.5\right|=50.5 \end{gathered}$$

9) يزداد نصف قطر دائرة بمعدل 0.3cm/s. أجد معامل زيادة مساحة الدائرة عندما يكون نصف القطر 5cm

$$\begin{gathered} \frac{dr}{dt}=0.3m/s^2 \\ \frac{ds}{dt}{|}_{r=5} \\ s==\mathrm{\pi }{r}^2 \\ \frac{ds}{dt}=2\mathrm{\pi }r\frac{dr}{dt} \\ =2\mathrm{\pi }5\left(0.3\right) \\ 3\mathrm{\pi } \end{gathered}$$

10) إذا كان حجم الكرة يعطى بالعلاقة $V=\frac{4}{3}\mathrm{\pi }{r}^3$، وكانت مساحة سطح الكرة تعطى بالعلاقة $A=4\mathrm{\pi }{r}^2$؛ فأجد $\frac{dv}{dA}$ بدلالة المتغير r.

$$\begin{gathered} \frac{dv}{dr}=4\mathrm{\pi }{r}^2 \\ \frac{dA}{dv}=8\mathrm{\pi }r \\ \frac{dv}{dA}=\frac{dv}{dr}\times \frac{dr}{dA} \\ =4\mathrm{\pi }{r}^2\times \frac{1}{8\mathrm{\pi r}} \\ \frac{dv}{dA}=\frac{1}{2}r \end{gathered}$$