الرياضيات

الدرس الأول: قاعدة السلسلة

 

سنتعلم في هذا الدرس :

1. قاعدة السلسلة

2. قاعدة سلسلة القوة

3. قواعد الاشتقاق الأساسية وقاعدة السلسلة

4. معدل التغير

5. قاعدة السلسلة والمتغير الوسيط

 

 

أولًا: قاعدة السلسلة:

  تعلمنا اقترانات القوة وطريقة اشتقاقها سابقًا وفي الاستعداد لوحدة التفاضل، ويمكن تلخيصها بالمخطط الآتي:

 

وسنتعلم في هذا الدرس إيجاد مشتقة اقترانات أكثر تعقيدًا، مثل : $\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}{\mathbf{(}{\mathbf{x}}^{\mathbf{4}}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{)}}^{\mathbf{8}}$

حيث أن$f\left(x\right)$  اقتراناً مركباً ، مركبتاه هما :

1) الاقتران الداخلي للاقتران المركب:  $h\left(x\right)=x^4 - 3x$ 

2) الاقتران الخارجي للاقتران المركب: $g\left(x\right)=x^8$

 

يتم إيجاد مشتقة الاقتران المركب باستخدام قاعدة السلسلة:

 

خطوات إيجاد مشتقة الاقتران المركب $f\left(x\right)={\left(g\left(x\right)\right)}^n$ :

1) اكتب الاقتران بالصورة الأسية - إذا لزم الأمر -

2) جد مشتقة الاقتران الداخلي $g\text{'}\left(x\right)$

3) جد مشتقة الاقتران الخارجي $f\text{'}\left(x\right)$

4) جد مشتقة الاقتران المركب باستعمال قاعدة السلسلة(حاصل ضرب مشتقة الاقتران الداخلي ومشتقة الاقتران الخارجي)

 

مثال: جد مشتقة كل اقتران مما يأتي:

          $\mathbf{1}\mathbf{)} f(x)={(x^4-3x)}^8 \mathbf{2}\mathbf{)} f\left(x\right)=\sqrt[5]{(x^3-7)}$

 

 

الحل:

$\mathbf{1}\mathbf{)} f(x)={(x^4-3x)}^8$
$$\begin{gathered} u=x^4-3x \\ \frac{du}{dx}=4x^3 - 3 \end{gathered}$$	الاقتران الداخلي u ومشتقته
$$\begin{gathered} y=u^8 \\ \frac{dy}{du}=8 u^7 \end{gathered}$$	الاقتران الخارجي y ومشتقته
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$	مشتقة الاقتران المركب باستعمال قاعدة السلسلة
$= 8u^7 \times \left(4x^3 - 3\right)$	بالتعويض: $\frac{du}{dx}=4x^3 - 3$  , $\frac{dy}{du}=8 u^7$
$= 8{(x^4-3x)}^7 (4x^3 - 3)$	بتعويض: $u=x^4-3x$

$\mathbf{2}\mathbf{)} f(x)=\sqrt[5]{(x^3-7)}$
$f\left(x\right)={(x^3-7)}^{\frac{1}{5}}$	الاقتران بالصورة الأسية
$$\begin{gathered} u=x^3 - 7 \\ \frac{du}{dx}=3x^2 \end{gathered}$$	الاقتران الداخلي u ومشتقته
$$\begin{gathered} y=u^{\frac{1^{}}{5}} \\ \frac{dy}{du}=\frac{1}{5}{u}^{-\frac{4}{5}} \end{gathered}$$	الاقتران الخارجي y ومشتقته
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$	مشتقة الاقتران المركب باستعمال قاعدة السلسلة
$= \frac{1}{5}{u}^{-\frac{4}{5}} \times 3x^2$	بالتعويض: $\frac{du}{dx}=3x^2$  $\frac{dy}{du}=\frac{1}{5}{u}^{-\frac{4}{5 }} ,$
$= \frac{1}{5}{\left(x^3 - 7\right)}^{-\frac{4}{5}} \times 3x^2$	بتعويض: $u=x^3 - 7$
$= \frac{3 x^2}{5 \sqrt[5]{{\left(x^3 - 7\right)}^4}}$	الصورة الجذرية

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

ثانيًا: قاعدة سلسلة القوة:

قاعدة سلسلة القوة: هي حالة خاصة من قاعدة السلسلة ، حيث الاقتران الخارجي فيها $\mathit{f}$ هو اقتران قوة .

 

يمكن استخدام قاعدة سلسلة القوة لإيجاد مشتقة اقتران على الصورة $f\left(x\right)={\left(g\left(x\right)\right)}^n$  عند نقطة ما، باتباع الخطوات الآتية:

1) استخدم قاعدة سلسلة القوة لإيجاد مشتقة الاقتران المطلوب.

2) عوض النقطة (قيمة x مثلًا ) بالمشتقة التي تم إيجادها بالخطوة السابقة.

3) انتبه لأولويات العمليات الحسابية أثناء التعويض.

 

ملاحظة: يتم استخدام الرمز   $\frac{dy}{dx} \overline{){ }_{x=a}}$ للدلالة على قيمة المشتقة عندما $x=a$

 

مثال: جد مشتقة كل اقتران مما يأتي عند قيمة $x$  المعطاة:

         $1) f(x)={\left(4x^6 + 3x\right)}^4 , x=-1 2) f\left(x\right)= \sqrt[4]{{\left(5-x^2\right)}^3} , x=1$

 

الحل:

 

$1) f(x)={(4x^6 + 3x)}^4 , x=-1$
$f\left(x\right)={(4x^6 + 3x)}^4$	الاقتران المعطى
$f\text{'}\left(x\right)=={4 (4x^6 + 3x)}^3 \times \frac{d}{dx} (4x^6 + 3x)$	قاعدة سلسلة القوة
$={4 (4x^6 + 3x)}^3 \times (24 x^5 + 3)$	باشتقاق $(4x^6 + 3x)$
$$\begin{gathered} f\text{'}(-1)={4 (4{\left(-1\right)}^6 + 3\left(-1\right))}^3 \times (24 {(-1)}^5 + 3) \\ ={4 (4\left(1\right) + -3)}^3 \times (24 (-1) + 3) \\ = {4 (4 + -3)}^3 \times (24 (-1) + 3) \\ = {4 \left(1\right)}^3 \times ( (-24) + 3) \\ = 4 \times (-21) \\ = -84 \end{gathered}$$	بتعويض $x = -1$ تبسيط القوى

$2) f(x)= \sqrt[4]{{(5-x^2)}^3} , x=1$
$f\left(x\right)= \sqrt[4]{{(5-x^2)}^3}$	الاقتران المعطى
$f\left(x\right)= {(5-x^2)}^{\frac{3}{4}}$	الاقتران بالصورة الأسية
$f\text{'}\left(x\right)=\frac{3}{4} {(5-x^2)}^{-\frac{1}{4 }} \times \frac{d}{dx}(5-x^2)$	قاعدة سلسلة القوة
$=\frac{3}{4} {(5-x^2)}^{-\frac{1}{4 }} \times -2x$	باشتقاق $(5-x^2)$
$=\frac{3 \left(-2x\right)}{4 \sqrt[4]{5-x^2}} =\frac{ -6x}{4 \sqrt[4]{5-x^2}}$	الصورة الجذرية
$$\begin{gathered} f\text{'}\left(1\right)=\frac{ -6 \left(1\right)}{4 \sqrt[4]{5-{\left(1\right)}^2}} \\ =\frac{-6}{4 \sqrt[4]{4}} \\ = \frac{-3}{2 \sqrt[4]{4}} \end{gathered}$$	بتعويض $x = 1$ والتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

ثالثًا: قواعد الاشتقاق الأساسية، وقاعدة السلسلة:

تعلمنا سابقًا مجموعة من قواعد الاشتقاق الأساسية مثل: مشتقة المجموع، ومشتقة الفرق، ومشتقة مضاعفات القوة ، ويمكن استخدام هذه القواعد لإيجاد بعض المشتقات إذا تطلب الأمر ذلك، بالإضافة إلى استخدام قاعدة السلسلة.

ويمكن تلخيص القواعد الأساسية للاشتقاق من خلال المخطط الآتي:

 

 

مثال: جد مشتقة كل اقتران مما يأتي:

                            $1) f(x)={(3-x^2 )}^3 +\frac{1}{4} x^8+5 2) f\left(x\right)={(6x+8)}^4 -\sqrt[]{x^3-3x^2+4}$           

الحل:

$1) f(x)={(3-x^2 )}^3 +\frac{1}{4} x^8+5$
$f\text{'}\left(x\right)={3(3-x^2 )}^2 \times \frac{d}{dx}(3-x^2 )+\frac{8}{4} x^7$	قواعد سلسلة القوة، ومضاعفات الاقتران، والمجموع، والثابت
$= {3(3-x^2 )}^2 (-2x) +\frac{8}{4} x^7$	باشتقاق $(3-x^2)$
$$\begin{gathered} = {-6x (3-x^2 )}^2 +\frac{8}{4} x^7 \\ = -6x {(3-x^2)}^2 + 2 x^7 \end{gathered}$$	بالتبسيط

$2) f(x)={(6x+8)}^4 -\sqrt[]{x^3-3x^2+4}$
$f\text{'}\left(x\right)={4(6x+8)}^3 \frac{d}{dx}(6x+8)-\frac{3x^2 -6x}{2 \sqrt[]{x^3-3x^2+4}}$	قواعد سلسلة القوة، ومضاعفات الاقتران، والمجموع، والثابت
$={4(6x+8)}^3 \left(6\right)-\frac{3x^2 -6x}{2 \sqrt[]{x^3-3x^2+4}}$	باشتقاق$(6x+8)$
$={24 (6x+8)}^3 -\frac{3x^2 -6x}{2 \sqrt[]{x^3-3x^2+4}}$	بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

رابعًا: معدل التغير:

المشتقة هي: نهاية ميل قاطع المنحنى بين النقطتين: $\left(x, f\left(x\right)\right) , \left(x+h, f\left(x+h\right)\right)$ عندما $h \to 0$ (كما تعلمت سابقًا)

ميل القاطع هو: معدل تغير قيمة $y$ بالنسبة إلى قيمة $x$.

تستخدم المشتقة لإيجاد معدل تغير كمية ما بالنسبة إلى كمية أخرى عند نقطة معينة.

 

مثال: يمثل الاقتران:$C\left(x\right)=\sqrt{4 x^3 + 5x + 7}$  تكلفة إنتاج $x$ قطعة من منتج تجاري (بآلاف الدنانير):

 

a) أجد معدل تغير تكلفة الإنتاج بالنسبة إلى عدد القطع المنتجة.

b) أجد معدل تغير تكلفة الإنتاج بالنسبة إلى عدد القطع المنتجة عندما يكون عدد القطع المنتجة 10 قطع.

 

الحل:

a) معدل تغير تكلفة الإنتاج بالنسبة إلى عدد القطع المنتجة.

     معدل التغير هو مشتقة الاقتران حيث :$C\text{'}\left(x\right)=\frac{12 x^2 +5}{2 \sqrt{4 x^3 + 5x + 7} }$

 

b) أجد معدل تغير تكلفة الإنتاج بالنسبة إلى عدد القطع المنتجة عندما يكون عدد القطع المنتجة 10 قطع.

                                                     $$\begin{gathered} C\text{'}\left(10\right)=\frac{12 {\left(10\right)}^2 +5}{2 \sqrt{4 {\left(10\right)}^3 + 5\left(10\right) + 7} } \\ =\frac{1200 +5}{2 \sqrt{4000 + 50 + 7} } \\ =\frac{1205}{2 \sqrt{4057} }\approx 9.46 \end{gathered}$$

 

إذن معدل تغير تكلفة الإنتاج بالنسبة إلى عدد القطع المنتجة هو 9460 ديناراً تقريبًا  .

---

خامسًا:قاعدة السلسلة والمتغير الوسيط:

قاعدة السلسلة $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$  تعني أن:

                           $y$ هو اقتران بالنسبة إلى $x$ عن طريق المتغير  $u$.

                          حيث يسمى $u$ : المتغير الوسيط

 

إذن، معدل تغير $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي : معدل تغير $y$ بالنسبة إلى $u$ مضروبًا في معدل تغير $u$ بالنسبة إلى $x$.

مثال: إذا كان $y= 3u^4 -5u^2 +2u-1$ حيث $u=2x-1$ ،فجد $\frac{dy}{dx}$ عندما: $x=-1$

 

الحل:

$\frac{dy}{du}= 12 u^3 -10 u +2$	بإيجاد مشتقة $\mathit{y}$ بالنسبة إلى المتغير $\mathit{u}$
$\frac{du}{dx}=2$	بإيجاد مشتقة $\mathit{u}$ بالنسبة إلى المتغير $\mathit{x}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$	باستعمال قاعدة السلسلة
$=(12 u^3 -10 u +2)\left(2\right)$	بتعويض $$\begin{gathered} \frac{dy}{du}= 12 u^3 -10 u +2 \\ \frac{du}{dx}=2 \end{gathered}$$
$\frac{dy}{dx}\overline{){}_{x=-1}}=2 (12 {(-3)}^3 -10(-3) +2)$	عندما  $$\begin{gathered} x=-1 \\ u = 2x-1=-3 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} =2(12 \left(-27\right)+30 +2 ) \\ =2(-324+32) \\ =2(-292) \\ =-584 \end{gathered}$$	تبسيط القوى، والضرب إيجاد ناتج ما داخل القوس بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---