الرياضيات فصل أول

ملخص الدرس الأول: قاعدة السلسلة 

 

ستتعرف في هذا الدرس إلى مجموعة من المفاهيم الأساسية، أهمها :

 

أولًا: قاعدة السلسلة:

وتستخدم لإيجاد مشتقة الاقتران المركب :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

خطوات إيجاد مشتقة الاقتران المركب $f\left(x\right)={\left(g\left(x\right)\right)}^n$:

1) اكتب الاقتران بالصورة الأسية - إذا لزم الأمر -

2) جد مشتقة الاقتران الداخلي $g\left(x\right)$

3) جد مشتقة الاقتران الخارجي $f\left(x\right)$

4) جد مشتقة الاقتران المركب باستعمال قاعدة السلسلة(حاصل ضرب كل من مشتقة الاقتران الداخلي ومشتقة الاقتران الخارجي)

 

 

ثانيًا: قاعدة سلسلة القوة:

قاعدة سلسلة القوة: هي حالة خاصة من قاعدة السلسلة ، حيث الاقتران الخارجي فيها $\mathit{f}$ هو اقتران قوة .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

يمكن استخدام قاعدة سلسلة القوة لإيجاد مشتقة اقتران على الصورة $f\left(x\right)={\left(g\left(x\right)\right)}^n$

عند نقطة ما، باتباع الخطوات الآتية:

1) استخدم قاعدة سلسلة القوة لإيجاد مشتقة الاقتران المطلوب.

2) عوض النقطة (قيمة x مثلًا ) بالمشتقة التي تم إيجادها بالخطوة السابقة.

3) انتبه لأولويات العمليات الحسابية أثناء التعويض.

 

ثالثًا: قواعد الاشتقاق الأساسية، وقاعدة السلسلة:

تعلمنا سابقًا مجموعة من قواعد الاشتقاق الأساسية مثل: مشتقة المجموع، ومشتقة الفرق، ومشتقة مضاعفات القوة ، ويمكن استخدام هذه القواعد لإيجاد بعض المشتقات إذا تطلب الأمر ذلك، بالإضافة إلى استخدام قاعدة السلسلة.

ويمكن تلخيص القواعد الأساسية للاشتقاق من خلال المخطط الآتي:

 

رابعًا: معدل التغير:

تستخدم المشتقة لإيجاد معدل تغير كمية ما بالنسبة إلى كمية أخرى عند نقطة معينة.

 

خامسًا:قاعدة السلسلة والمتغير الوسيط:

قاعدة السلسلة $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$ تعني أن: $y$ هو اقتران بالنسبة إلى $x$ عن طريق المتغير $u$

حيث يسمى $u$ : المتغير الوسيط

إذن، معدل تغير  $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي : معدل تغير $y$ بالنسبة إلى $u$ مضروبًا في معدل تغير $u$ بالنسبة إلى $x$.