الرياضيات فصل أول

الدرس الأول: قاعدة السلسلة

 

مسألة اليوم صفحة 54

يمثل الاقتران: $N\left(t\right)=20 - \frac{30}{\sqrt{9-t^2}}$  عدد السلع التقريبي التي يمكن لمحاسب مبتدئ في أحد المحال التجارية

                        أن يمررها فوق الماسح الضوئي في الدقيقة الواحدة بعد $t$ ساعة من بدئه العمل.

                        أجد سرعة المحاسب في أداء هذه المهمة بعد زمن مقداره $t$ ساعة.

 

 

الحل:

 

$N\left(t\right)=20 - \frac{30}{\sqrt{9-t^2}}$
$N\left(t\right)=20-30 {(9-t^2)}^{-\frac{1}{2}}$	الصورة الأسية للاقتران
$$\begin{gathered} N\text{'}\left(t\right)=-\frac{1}{2}\times -30\times {(9-t^2)}^{-\frac{3}{2}} \times (-2t) \\ =\frac{-30 t}{\sqrt{{(9-t^2)}^3}} \\ = \frac{-30 t}{(9 - t^2) \sqrt{9-t^2}} \end{gathered}$$	السرعة هي مشتقة الاقتران   تبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 56:

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:

                             $\mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{ }y={(x^2-2)}^4 \mathit{b}\mathbf{)} y=\sqrt{x^3+4x}$

                                                 

الحل:

 

                                     $$\begin{gathered} \mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{ }y={(x^2-2)}^4 \\ u=x^2-2 (\mathrm{الداخلي} \mathrm{الاقتران}) \\ y=u^4 (\mathrm{الخارجي} \mathrm{الاقتران}) \\ \frac{du}{dx}=2x (\mathrm{الداخلي} \mathrm{الاقتران} \mathrm{مشتقة}) \\ \frac{dy}{du}=4u^3 (\mathrm{الخارجي} \mathrm{الاقتران} \mathrm{مشتقة}) \\ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} (\mathrm{السلسلة} \mathrm{قاعدة}) \\ = 4u^3 \times 2x (\mathrm{المشتقات} \mathrm{بتعويض}) \\ =8x {(x^2-2)}^3 (u \mathrm{بتعويض}) \end{gathered}$$                                                                                  $$\begin{gathered} \mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{ }y=\sqrt{x^3+4x } \\ y = {\left(x^3+4x\right)}^{\frac{1}{2}} (\mathrm{الأسية} \mathrm{الصورة}) \\ u=x^3+4x (\mathrm{الداخلي} \mathrm{الاقتران}) \\ y=u^{\frac{1}{2}} (\mathrm{الخارجي} \mathrm{الاقتران}) \\ \frac{du}{dx}=3x^2+4 (\mathrm{الداخلي} \mathrm{الاقتران} \mathrm{مشتقة}) \\ \frac{dy}{du}=\frac{1}{2}{u}^{-\frac{1}{2}} (\mathrm{الخارجي} \mathrm{الاقتران} \mathrm{مشتقة}) \\ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} (\mathrm{السلسلة} \mathrm{قاعدة}) \\ = \frac{1}{2}{u}^{-\frac{1}{2}} \times \left(3x^2+4\right) (\mathrm{المشتقات} \mathrm{بتعويض}) \\ =\frac{1}{2}{\left(x^3+4x\right)}^{-\frac{1}{2}} \times (3x^2+4) (u \mathrm{بتعويض}) \\ = \frac{3x^2+4}{2 \sqrt{x^3+4x} } (\mathrm{الجذرية} \mathrm{الصورة}) \end{gathered}$$

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 58:

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي عند قيمة $x$ المعطاة:

                                                     $a) f(x)={(x^4 + 1)}^5 , x=1 b) f\left(x\right)=\sqrt{x^2 +3x +2} , x=2 c) y=\sqrt[4]{{(2x^2 - 7)}^5} , x=4$

 

 

الحل:

                     $$\begin{gathered} a) f(x)={(x^4 + 1)}^5 , x=1 \\ f\text{'}(x)=5 {(x^4 + 1)}^4 \frac{d}{dx} (x^4 + 1) \\ = 5 {(x^4 + 1)}^4 \times 4x^3 \\ =20 x^3 {(x^4 + 1)}^4 \\ f\text{'}(1)= 20 {\left(1\right)}^3 {(1^4 + 1)}^4 \\ = 20 {\left(2\right)}^4 \\ = 20 \left(16\right) \\ = 320 \end{gathered}$$                                                        $$\begin{gathered} b) f(x)=\sqrt{x^2 +3x +2} , x=2 \\ f\text{'}(x)=\frac{2x +3}{2 \sqrt{x^2 +3x +2}} \\ f\text{'}(2) = \frac{2\left(2\right) +3}{2 \sqrt{2^2 +3\left(2\right) +2}} \\ = \frac{4 +3}{2 \sqrt{4 +6 +2}} \\ = \frac{7}{2 \sqrt{12}} \end{gathered}$$                                 $$\begin{gathered} c) y=\sqrt[4]{{(2x^2 - 7)}^5} , x=4 \\ y={(2x^2 - 7)}^{\frac{5}{4}} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{5}{4} {(2x^2 - 7)}^{\frac{1}{4 }} \times \frac{d}{dx}(2x^2 - 7) \\ = \frac{5}{4} {(2x^2 - 7)}^{\frac{1}{4 }} \times 4 x \\ = 5x {(2x^2 - 7)}^{\frac{1}{4 }} \\ \frac{dy}{dx} \overline{){ }_{x=4} = }5\left(4\right) {(2{\left(4\right)}^2 - 7)}^{\frac{1}{4 }} \\ =20 {(2\left(16\right) - 7)}^{\frac{1}{4 }} \\ = 20 {(32 - 7)}^{\frac{1}{4 }} \\ = 20 {\left(25\right)}^{\frac{1}{4 }} \\ = 20 \sqrt[4]{25} \end{gathered}$$

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 59:

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:

                                $a) f(x)={(1+x^3 )}^4 + x^8+2 b) f\left(x\right)= \sqrt[3]{2x-1} -{(x-3)}^3$

 

الحل:

 

                                                                                                                                          $$\begin{gathered} a) f(x)={(1+x^3 )}^4 + x^8+2 \\ f\text{'}(x)=4{(1+x^3 )}^3 \times \frac{d}{dx}\left(1+x^3 \right)+ 8x^7 \\ =4{(1+x^3 )}^3 \left(3x^2\right) + 8x^7 \\ =12 x^2 {(1+x^3 )}^3 + 8x^7 \end{gathered}$$                                                              $$\begin{gathered} b) f(x)= \sqrt[3]{2x-1} -{(x-3)}^3 \\ = {\left(2x-1\right)}^{\frac{1}{3}} -{(x-3)}^3 \\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{3}{(2x-1)}^{-\frac{2}{3}} \left(2\right) -3{(x-3)}^2 \\ = \frac{2}{3 \sqrt[3]{{\left(2x-1\right)}^2}} - 3{(x-3)}^2 \end{gathered}$$

---

أتحقق من فهمي صفحة 61:

 

صناعة: يمثل الاقتران:$P\left(t\right)=\sqrt{10 t^2 + t + 229}$ إجمالي الأرباح السنوية لإحدى الشركات الصناعية (بآلاف الدنانير)، حيث $t$ عدد السنوات بعد عام 2015 م:

a) أجد معدل تغير إجمالي الأرباح السنوي للشركة بالنسبة إلى الزمن t

b) أجد معدل تغير إجمالي الأرباح السنوي للشركة عام 2020م ، مفسرًا معنى الناتج.

الحل:

a) معدل تغير إجمالي الأرباح السنوي للشركة بالنسبة إلى الزمن t :

      معدل تغير إجمالي الأرباح السنوية هو مشتقة الاقتران P(t)، حيث

$P\text{'}\left(t\right)=\frac{20 t +1}{2 \sqrt{10 t^2 + t + 229} }$

   

                                                        

b) معدل تغير إجمالي الأرباح السنوي للشركة عام 2020م :

     عدد السنوات هو 5 ، لأن: $2020-2015=5$

   نجد معدل تغير إجمالي الربح في 5 سنوات أي: $t=5$

 

$$\begin{gathered} P\text{'}\left(5\right)=\frac{20 \left(5\right) +1}{2 \sqrt{10{{( 5)}^{}}^2 + 5 + 229} } =\frac{101}{2\sqrt{250 + 234}} \\ = \frac{101}{2\sqrt{ 484}}=\frac{101}{2\left(22\right)}=\frac{101}{44}\approx 2.3 \end{gathered}$$

إذن في عام 2020 ازداد إجمالي الأرباح بمعدل 2300 دينار تقريبًا لكل سنة .

---

أتحقق من فهمي صفحة 62:

إذا كان $y=u^5 +u^3$ ، حيث$u=3-4x$، فأجد $\frac{dy}{dx}$ عندما $x=2$

الحل:

$$\begin{gathered} \frac{dy}{du}= 5u^4 + 3u^2 \\ \frac{du}{dx}=-4 \\ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx} \\ = \left(5u^4 + 3u^2\right)\times \left(-4\right) \\ = -4 \left(5{\left(3-4x\right)}^4 + 3{\left(3-4x\right)}^2\right) \\ \frac{dy}{dx}{|}_{x=2} =-4 \left(5{\left(3-4\left(2\right)\right)}^4 + 3{\left(3-4\left(2\right)\right)}^2\right) \\ =-4 \left(5{\left(-5\right)}^4 + 3{\left(-5\right)}^2\right) \\ =-4 \left(5\left(625\right) + 3\left(25\right)\right) \\ =-4 \left(3125 +75\right) \\ =-4 \left(3200\right) \\ = - 12800 \end{gathered}$$

---

أتدرب وأحل المسائل صفحة  62:

 

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:

 

 

                                 $$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}{\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{)}}^{\mathbf{4}} \\ f\text{'}(x)=4{\left(1+2x\right)}^{3 }\times \left(2\right) \\ =8 {\left(1+2x\right)}^{3 } \end{gathered}$$                                          $$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} \mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}{(3-2x^2)}^{\mathbf{-}\mathbf{5}} \\ f\text{'}(x)=-5 {(3-2x^2)}^{-6 }\times (-4x) \\ =20 x {(3-2x^2)}^{-6 } \\ =\frac{20 x}{{(3-2x^2)}^{6 }} \end{gathered}$$                                                   $$\begin{gathered} \mathbf{3}\mathbf{)} \mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}{(x^2-7x + 1)}^{\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}} \\ f\text{'}(x)=\frac{3}{2} {(x^2-7x + 1)}^{\frac{1}{2} }\times (2x-7) \\ =\frac{3}{2} (2x-7) \sqrt{x^2-7x + 1} \end{gathered}$$

 

 

 

                            $$\begin{gathered} \mathbf{4}\mathbf{)} \mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{7}\mathbf{-}\mathbf{x}} \\ f\text{'}(x)=\frac{-1}{2 \sqrt{7-x}} \end{gathered}$$                                                            $$\begin{gathered} \mathbf{5}\mathbf{)} \mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}{4 (2 + 8 x)}^{\mathbf{4}} \\ f\text{'}(x)=16 {(2 + 8 x)}^{3 } \left(8\right) \\ =128 {(2 + 8 x)}^{3 } \end{gathered}$$                                                                                $$\begin{gathered} \mathbf{6}\mathbf{)} \mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{8}}} \\ ={(4x-8)}^{-\frac{1}{3}} \\ f\text{'}(x)= -\frac{1}{3}{(4x-8)}^{-\frac{4}{3}} \times \left(4\right) \\ = \frac{-4}{3 \sqrt[3]{{(4x - 8)}^4}} \end{gathered}$$

                 

 

                        $$\begin{gathered} \mathbf{7}\mathbf{)} \mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{ }{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}} \\ f\text{'}(x)=\frac{9 x^2}{2 \sqrt{5 + 3 x^3}} \end{gathered}$$                                                 $$\begin{gathered} \mathbf{8}\mathbf{)} \mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{(x-3)}^{\mathbf{2}} \\ f\text{'}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}} + 2 (x-3) \end{gathered}$$                                                                                   $$\begin{gathered} \mathbf{9}\mathbf{)} \mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{-}{\mathbf{x}}^{\mathbf{5}}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{(4-x)}^{\mathbf{2}} \\ = {(2x-x^5)}^{\frac{1}{3}}+ {(4-x)}^2 \\ f\text{'}(x)=\frac{1}{3}{(2x-x^5)}^{\frac{-2}{3}} (2-5x^4)+ 2 (4-x)(-1) \\ =\frac{2-5x^4}{3 \sqrt[3]{{(2x-x^5)}^2}}-8 +2x \end{gathered}$$

 

                    $$\begin{gathered} \mathbf{10}\mathbf{)} \mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}{(\sqrt{x} +5)}^{\mathbf{4}} \\ f\text{'}(x)=4{(\sqrt{x} +5)}^3 \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right) \\ = \frac{2 {(\sqrt{x}+5)}^3}{ \sqrt{x}} \end{gathered}$$                               $$\begin{gathered} \mathbf{11}\mathbf{)} \mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}\sqrt{{\left(2x-5\right)}^3} \\ f\text{'}(x)=\frac{3{(2x-5)}^2 \left(2\right)}{2 \sqrt{{(2x-5)}^3} } \\ =3 {(2x-5)}^2 {(2x-5)}^{\frac{3}{2}} \\ = 3 {(2x-5)}^{\frac{1}{2}} \\ = 3 \sqrt{2x-5} \end{gathered}$$                                                                           $$\begin{gathered} \mathbf{12}\mathbf{)} \mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}{(2x^3 -3x^2 +4x +1)}^{\mathbf{5}} \\ f\text{'}(x)=5 {(2x^3 -3x^2 +4x +1)}^4 (6x^2 -6x +4) \end{gathered}$$

 

---

 

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي عند قيمة $x$ المعطاة :

                              $\mathbf{13}\mathbf{)} f(x) =\frac{1}{{\left(4x+1\right)}^2} , x=\frac{1}{4} \mathbf{14}\mathbf{)} f(x) =\sqrt{25-x^{2 }} , x=3$

 

 

الحل:

 

                                           

                                            $$\begin{gathered} \mathbf{13}\mathbf{)} f(x) =\frac{1}{{(4x+1)}^2} , x=\frac{1}{4} \\ ={(4x+1)}^{-2} \\ f\text{'}\left(x\right)=-2 {(4x+1)}^{-3} \left(4\right) =\frac{-8}{{(4x+1)}^3} \\ f\text{'}\left(\frac{1}{4}\right) =\frac{-8}{{(4\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)+1)}^3} \\ =\frac{-8}{2^3}=\frac{-8}{8}=-1 \end{gathered}$$                                                                                  $$\begin{gathered} \mathbf{14}\mathbf{)} f(x) =\sqrt{25-x^2} , x=3 \\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{-2x}{2 \sqrt{25-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{25-x^2}} \\ f\text{'}\left(3\right) =\frac{-3}{\sqrt{25-3^2}} \\ =\frac{-3}{\sqrt{25-9}}=\frac{-3}{\sqrt{16}}=-\frac{3}{4} \end{gathered}$$

 

---

أستعمل قاعدة السلسلة في إيجاد $\frac{dy}{dx}$ لكل مما يأتي:

                           $\mathbf{15}\mathbf{)} y=5u^2 + 3u , u= x^{3 }+1 \mathbf{16}\mathbf{)} y= \sqrt[3]{2u+5 }, u= x^{2 }-x$

 

الحل:

                                  $$\begin{gathered} \mathbf{15}\mathbf{)} y=5u^2 +3u u=x^3 +1 \\ \frac{dy}{du}= 10 u+ 3 \frac{du}{dx}=3x^2 \\ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx} \\ = (10u + 3)\times (3x^2) \\ = 3x^2 (10 \left(x^3 +1\right) +3) \\ = 3x^2 (10 x^3 +10 +3) \\ =3x^2 (10 x^3 +13 ) \\ =30 x^5 + 39 x^2 \end{gathered}$$                                                                    $$\begin{gathered} \mathbf{16}\mathbf{)} y=\sqrt[3]{2u + 5} ={\left(2u+5\right)}^{\frac{1}{3}} u=x^2 -x \\ \frac{dy}{du}= \frac{1}{3} {\left(2u+ 5\right)}^{\frac{-2}{3}}\left(2\right) \frac{du}{dx}=2x-1 \\ \frac{dy}{du}= \frac{2}{3\sqrt[3]{{\left(2u+5\right)}^2}} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx} \\ = \frac{2}{3\sqrt[3]{{\left(2u+5\right)}^2}}\times (2x-1) \\ = \frac{4x-2}{3\sqrt[3]{{\left(2\left(x^2 -x\right)+5\right)}^2}} \\ = \frac{4x-2}{3\sqrt[3]{{\left(2x^2 -2x+5\right)}^2}} \end{gathered}$$

 

---

أستعمل قاعدة السلسلة في إيجاد $\frac{dy}{dx}$  لكل مما يأتي عند قيمة المعطاة:

 

                         $\mathbf{17}\mathbf{)} y=3u^2 - 5u+2 , u= x^{2 }-1, x=2 \mathbf{18}\mathbf{)} y= {(1+u^2)}^3, u=2x^{ }-1,x=1$

 

الحل:

                             $$\begin{gathered} \mathbf{17}\mathbf{)} y=3u^2 -5u+2 u=x^2 -1 \\ \frac{dy}{du}= 6 u-5 \frac{du}{dx}=2x \\ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx} \\ = (6u -5)\times (2x) \\ = 2x (6 (x^2 -1) -5) \\ \frac{dy}{dx}\overline{){}_{x=2}} = 2\left(2\right) (6 ({\left(2\right)}^2 -1) -5) \\ =4 (6 (\left(4\right) -1) -5) \\ =4 (6 \left(3\right) -5)=4 (18 -5)=52 \end{gathered}$$                                                                                          $$\begin{gathered} \mathbf{18}\mathbf{)} y= {(1+u^2)}^3 u=2x^{ }-1 \\ \frac{dy}{du}=3{(1+u^2)}^2 \left(2u\right) \frac{du}{dx}=2 \\ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx} \\ = 3{(1+u^2)}^2 \left(2u\right)\times (2) \\ = 12 u {(1+u^2)}^2 \\ = 12 (2x^{ }-1) {(1+{(2x^{ }-1)}^2)}^2 \\ \frac{dy}{dx}\overline{){}_{x=1}} = 12 (2x^{ }-1) {(1+{(2x^{ }-1)}^2)}^2 \\ =12 (2\left(1^{ }\right)-1) {(1+{(2{\left(1\right)}^{ }-1)}^2)}^2 \\ =12 \left(1\right) {(1+{\left(1\right)}^2)}^2 \\ =12 {\left(2\right)}^2 \\ =12 \left(4\right)=48 \end{gathered}$$

---

صناعة: يمثل الاقتران: $\mathit{C}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{1000}\mathbf{ }\sqrt{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{x}}$

تكلفة إنتاج $\mathit{x}$ قطعة من منتج معين(بآلاف الدنانير):

 

19) أجد معدل تغير تكلفة الإنتاج بالنسبة إلى عدد القطع المنتجة.

20) أجد معدل تغير تكلفة الإنتاج بالنسبة إلى عدد القطع المنتجة عندما يكون عدد القطع المنتجة 20 قطعة.

 

الحل:

19) أجد معدل تغير تكلفة الإنتاج بالنسبة إلى عدد القطع المنتجة.

                                        $$\begin{gathered} C\left(x\right) = 1000 \sqrt{x^2- 0.1 x} \\ C\text{'}\left(x\right) = \frac{1000 (2x-0.1)}{2 \sqrt{x^2- 0.1 x}} \\ = \frac{500 (2x-0.1)}{ \sqrt{x^2- 0.1 x}} \\ = \frac{1000 x - 50}{ \sqrt{x^2- 0.1 x}} \end{gathered}$$

                              

20) أجد معدل تغير تكلفة الإنتاج بالنسبة إلى عدد القطع المنتجة عندما يكون عدد القطع المنتجة 20 قطعة.

                                $$\begin{gathered} C\text{'}\left(20\right)= \frac{1000 \left(20\right) - 50}{ \sqrt{{\left(20\right)}^2- 0.1\left(20\right)}} \\ = \frac{20000 - 50}{ \sqrt{400- 2}} \\ =\frac{19950}{\sqrt{398}}\approx 1000 \end{gathered}$$

 

---

علوم: يمثل الاقتران: $N\left(t\right)=400 \left(1-\frac{3}{{\left(t^2+2\right)}^2}\right)$ عدد الخلايا البكتيرية بعد $\mathit{t}$ يومًا في مجتمع بكتيري:

 

21) أجد معدل تغير $N$  بالنسبة إلى $t$ عندما $t=1$

22) أجد معدل تغير $N$  بالنسبة إلى $t$ عندما $t=4$

 

الحل:

21) معدل تغير $N$ بالنسبة إلى $t$ عندما $t=1$

                            $N\left(t\right)=400 (1-3{\left(t^2+2\right)}^{-2} )$

                             $$\begin{gathered} N\text{'}\left(t\right)=400 \left(6{\left(t^2+2\right)}^{-3}\left(2t\right)\right) \\ = \frac{4800 t}{{(t^2+2)}^3} \\ N\text{'}\left(1\right)= \frac{4800 \left(1\right)}{{(1^2+2)}^3} \\ =\frac{4800}{3^3}=\frac{4800}{27}\approx 178 \end{gathered}$$

 

22) معدل تغير $N$ بالنسبة إلى $t$ عندما $t=4$

                                  $$\begin{gathered} N\text{'}\left(t\right)=\frac{4800 t}{{(t^2+2)}^3} \\ N\text{'}\left(4\right)= \frac{4800 \left(4\right)}{{(4^2+2)}^3} \\ =\frac{ 19200 }{ 5832}\approx 3 \end{gathered}$$

 

---

إذا كان:$g\left(2\right)=-3, g\text{'}\left(2\right)=6 , h\left(3\right)=2 , h\text{'}\left(3\right)=-2$ ، فأجد مشتقة كل اقتران مما يأتي عندما $x=3$:

                                          $\mathbf{23}\mathbf{)} f(x)=g(h\left(x\right)) \mathbf{24}\mathbf{)} f\left(x\right)={\left(h\left(x\right)\right)}^3$

 

الحل:

                                                                                                            $$\begin{gathered} \mathbf{23}\mathbf{)} f(x)=g(h\left(x\right)) \\ f\text{'}(x)=g\text{'}(h\left(x\right)) \times h\text{'}(x) \\ f\text{'}(3)=g\text{'}(h\left(3\right)) \times h\text{'}(3) \\ =g\text{'}(2) \times (-2) \\ =6 \times -2=-12 \end{gathered}$$                                            $$\begin{gathered} \mathbf{24}\mathbf{)} f(x)={\left(h\left(x\right)\right)}^3 \\ f\text{'}(x)=3{\left(h\left(x\right)\right)}^2 h\text{'}\left(x\right) \\ f\text{'}(3)=3{\left(h\left(3\right)\right)}^2 h\text{'}\left(3\right) \\ f\text{'}(3)=3\times {\left(2\right)}^2 \times (-2) \\ =-6 \times 4=-24 \end{gathered}$$

---

مهارات التفكير العليا:

25) تبرير: إذا كان: $h\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$ ، حيث:$f\left(u\right)=u^2-1$ ، وكان: $g\left(2\right)=3 , g\text{'}\left(2\right)=-1$، فأجد $h\text{'}\left(2\right)$ ، مبررًا إجابتي.

 

     الحل:

       

                                        $$\begin{gathered} h\left(x\right)=f\left(g\right(x\left)\right) \\ h\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(g\right(x\left)\right) \times g\text{'}\left(x\right) \\ h\text{'}\left(2\right)=f\text{'}\left(g\right(2\left)\right) \times g\text{'}\left(2\right) \\ =f\text{'}\left(3\right) \times (-1) \\ f\left(u\right)=u^2 -1 \\ f\text{'}\left(u\right)=2u \to f\text{'}\left(3\right)=2\times 3=6 \\ \therefore h\text{'}\left(2\right)=f\text{'}\left(3\right) \times (-1) \\ =6 \times -1=-6 \end{gathered}$$

---

26) تبرير: أجد مشتقة الاقتران: $y={\left(x^2-4\right)}^5$ عندما $y=0$، مبررًا إجابتي.

 

الحل:

     $$\begin{gathered} y= {(x^2-4)}^5 \\ y=0 \to 0={(x^2-4)}^5 \\ \to 0=x^2-4 \\ \to 0=(x-2)(x+2) \\ \to x=2 or x=-2 \\ \frac{dy}{dx}=5{(x^2-4)}^4 \left(2x\right) \\ =10 x {(x^2-4)}^4 \\ \frac{dy}{dx}\overline{){}_{x=2}} = 10 \left(2\right) {(2^2-4)}^4 \\ =20 {(4-4)}^4 \\ =0 \\ \frac{dy}{dx}\overline{){}_{x=-2}} = 10 (-2) {({\left(-2\right)}^2-4)}^4 \\ =-20 {(4-4)}^4 \\ =0 \end{gathered}$$

---

27) أكتشف المختلف: أي الاقترانات الآتية مختلف، مبررًا إجابتي؟

                

$f\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}$

$h\left(x\right)={\left(x^2+1\right)}^3$

$g\left(x\right)=\frac{1}{{\left(x^2+1\right)}^2}$

$p\left(x\right)=x^2 +1$

الحل:

الاقتران $p\left(x\right)$ هو المختلف، لأنه الاقتران الوحيد من الاقترانات الأربعة الذي يمكن اشتقاقه دون استخدام قاعدة السلسلة.

---

28) تحدٍّ:أجد مشتقة الاقتران:$f\left(x\right)=\sqrt[3]{2x + {\left(x^2+x\right)}^4}$

 

       الحل:

                $$\begin{gathered} f\left(x\right)=\sqrt[3]{2x + {(x^2+x)}^4} \\ ={\left(2x + {(x^2+x)}^4\right)}^{\frac{1}{3}} \\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{3}{(2x + {(x^2+x)}^4)}^{\frac{-2}{3}} \left(2+4{(x^2+x)}^3 \left(2x+1\right)\right) \\ =\frac{2+4{(x^2+x)}^3 (2x+1)}{3 \sqrt[3]{(2x + {{(x^2+x)}^4)}^2}} \end{gathered}$$

 

---

كتاب التمارين صفحة 15:

 

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:

 

                       $$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} \mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{1}} \\ f\text{'}(x)=\frac{4}{2 \sqrt{4x-1}} \\ = \frac{2}{ \sqrt{4x-1}} \end{gathered}$$                                                                 $$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} \mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}}{\sqrt{\mathbf{3}\mathbf{-}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }= 3 {\left(3-x^2\right)}^{-\frac{1}{2}} \\ f\text{'}(x)= 3 \left(- \frac{1}{2}\right) {(3-x^2)}^{-\frac{3}{2}} \left(-2x\right) \\ = \frac{3x}{\sqrt{{\left(3-x^2\right)}^3}} \end{gathered}$$                                                $$\begin{gathered} \mathbf{3}\mathbf{)} \mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}{ (3 + 4 x)}^{\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{2}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }= \sqrt{{\left(3+4x\right)}^5} \\ f\text{'}(x)=\frac{5 {(3+4x)}^4 \left(4\right)}{2 \sqrt{{(3+4x)}^5}} \\ = 10 {(3+4x)}^4 {(3+4x)}^{-\frac{5}{2}} \\ =10 {(3 + 4 x)}^{\frac{3}{2} } \\ = 10 \sqrt{{(3 + 4 x)}^3} \end{gathered}$$

 

              

 

 

              $$\begin{gathered} \mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}{\mathbf{(}\mathbf{8}\mathbf{-}\mathbf{x}\mathbf{)}}^{\mathbf{100}} \\ f\text{'}(x)=100{(8-x)}^{99 }\times (-1) \\ =-100 {(8-x)}^{99 } \end{gathered}$$                                     $$\begin{gathered} \mathbf{5}\mathbf{)} \mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{(200-x)}^{\mathbf{2}} \\ f\text{'}(x)=2x + 2 (200-x) (-1) \\ = 2x -400 +2x \\ = 4x - 400 \end{gathered}$$                                                                $$\begin{gathered} \mathbf{6}\mathbf{)} \mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}{\left(x+5\right)}^{\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{(2x+3)}^{\mathbf{6}} \\ f\text{'}(x)=7 {\left(x+5\right)}^6 + 6 {\left(2x+3\right)}^5 \left(2\right) \\ = 7 {(x+5)}^6 + 12 {(2x+3)}^5 \end{gathered}$$

 

 

          

        $$\begin{gathered} \mathbf{7}\mathbf{)} \mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}\sqrt[\mathbf{3}]{{\mathbf{x}}^{\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{x}} \\ = {(x^5 +6x)}^{\frac{1}{3}} \\ f\text{'}(x)=\frac{1}{3}{(x^5 +6x)}^{\frac{-2}{3}} (5x^4 +6) \\ =\frac{5x^4 +6}{3 \sqrt[3]{{(x^5 +6x)}^2}} \end{gathered}$$                                  $$\begin{gathered} \mathbf{8}\mathbf{)} \mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{{\left(x^2 - 3\right)}^{\mathbf{3}}} \\ ={(x^2-3)}^{-3} \\ f\text{'}(x)= -3 {(x^2-3)}^{-4} \left(2x\right) \\ = \frac{-6 x}{{\left(x^2 - 3\right)}^4} \end{gathered}$$                                                       $$\begin{gathered} \mathbf{9}\mathbf{)} \mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{16}\mathbf{-}\mathbf{ }{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{ } \\ f\text{'}(x)= x + \frac{-2x}{2 \sqrt{16-x^2}} \\ = x - \frac{x}{ \sqrt{16-x^2}} \end{gathered}$$

---

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي عند قيمة $x$ المعطاة :

 

                                                                                                                   $\mathbf{10}\mathbf{)} f(x) =4x^3+ {(x-2)}^4 , x=2 \mathbf{11}\mathbf{)} f(x) =\sqrt{x^{2 }+8x} , x=8$

 

الحل:

 

                

                                                                     $$\begin{gathered} \mathbf{10}\mathbf{)} f(x) =4x^3+ {(x-2)}^4 , x=2 \\ f\text{'}(x) =12 x^2+ { 4 (x-2)}^3 \\ f\text{'}(2) =12 2^2+ { 4 (2-2)}^3 \\ = 12 \times \left(4\right) + 4 \times \left(0\right) \\ =48 \end{gathered}$$                                                                   $$\begin{gathered} \mathbf{11}\mathbf{)} f(x) =\sqrt{{\mathrm{x}}^2 + 8x} , x=8 \\ f\text{'}(x)=\frac{2x+8}{2 \sqrt{{\mathrm{x}}^2 + 8x}}=\frac{x+4}{ \sqrt{{\mathrm{x}}^2 + 8x}} \\ f\text{'}(8)= \frac{8+4}{ \sqrt{8^2 + 8\left(8\right)}} \\ = \frac{12}{\sqrt{128}}=\frac{12}{\sqrt{64 \times 2}} \\ = \frac{12}{8 \sqrt{2}}=\frac{3}{2\sqrt{2}} \end{gathered}$$

---

أستعمل قاعدة السلسلة في إيجاد $\frac{dy}{dx}$ لكل مما يأتي:

                           $\mathbf{12}\mathbf{)} y=u^3 - 7u^2 , u= x^{2 }+3 \mathbf{13}\mathbf{)} y= \sqrt{7-3u}, u= x^{2 }-9$

 

الحل:

                                              $$\begin{gathered} \mathbf{12}\mathbf{)} y=u^3 -7u^2 u=x^2 +3 \\ \frac{dy}{du}= 3 u^2- 14u \frac{du}{dx}=2x \\ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx} \\ = (3 u^2- 14u)\times (2x) \\ = 2x (3 {(x^2 +3)}^2 -14 \left(x^2 +3\right)) \\ =2x(x^2 +3) (3 (x^2 +3) -14 ) \\ =2x(x^2 +3) (3 x^2 +9 -14 ) \\ =2x(x^2 +3) (3 x^2 -5 ) \end{gathered}$$                                                                                    $$\begin{gathered} \mathbf{13}\mathbf{)} y=\sqrt{7-3u} u=x^2 -9 \\ \frac{dy}{du}= \frac{-3}{2\sqrt{7-3u}} \frac{du}{dx}=2x \\ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx} \\ = \frac{-3}{2\sqrt{7-3u}}\times (2x) \\ = \frac{-3x}{\sqrt{7-3\left(x^2 -9\right)}} \\ = \frac{-3x}{\sqrt[]{7-3x^2+27}}=\frac{-3x}{\sqrt[]{34-3x^2}} \end{gathered}$$

 

---

أستعمل قاعدة السلسلة في إيجاد لكل مما يأتي عند قيمة $\frac{dy}{dx}$ المعطاة:

         $\mathbf{14}\mathbf{)} f(x)=u^3 - 5{(u^3-7u)}^2 , u= \sqrt{x^{ }} , x=4 \mathbf{15}\mathbf{)} f\left(x\right)= {2u}^3+3u^2, u=x^{ }+ \sqrt{x }, x=1$

 

 

الحل:

 

                               $$\begin{gathered} \mathbf{14}\mathbf{)} f(x)=u^3 - 5{(u^3-7u)}^2 u= \sqrt{x^{ }} \\ \frac{dy}{du}=3u^2 -10(u^3-7u) (3u^2-7) \frac{du}{dx}=\frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ x=4 \to u=2 \\ \therefore \frac{dy}{du}\overline{){}_{u=2} =3u^2 -10(u^3-7u) (3u^2-7)} \\ =3{\left(2\right)}^2 -10(2^3-7\left(2\right)) (3{\left(2\right)}^2-7) \\ =3\left(4\right) -10(8-14) (12-7) \\ =12 -10(-6) \left(5\right)=12+300=312 \\ \frac{dy}{dx}\overline{){}_{x=4}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ =\frac{1}{2 \sqrt{4}} \\ =\frac{1}{4} \\ \frac{du}{dx}\overline{){}_{x=4} }=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx} \\ = 312 \times \frac{1}{4} \\ = 78 \end{gathered}$$                                                  $$\begin{gathered} \mathbf{15}\mathbf{)} f(x)= {2u}^3+3u^2 u=x^{ }+ \sqrt{x } \\ \frac{dy}{du}=6u^2 +6u \frac{du}{dx}=1+\frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ x=1 \to u=2 \\ \therefore \frac{dy}{du}\overline{){}_{u=2} =6u^2 +6u } \\ =6{\left(2\right)}^2 +6\left(2\right) \\ =24 +12 \\ =36 \\ \frac{du}{dx}\overline{){}_{x=1}} = 1+\frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ =1+\frac{1}{2 \sqrt{1}} \\ =\frac{3}{2} \\ \frac{dy}{dx}\overline{){}_{x=1} }=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx} \\ = 36 \times \frac{3}{2} \\ = 54 \end{gathered}$$

---

تلوث: توصلت دراسة بيئية إلى نمذجة مقدار التلوث في إحدى البحيرات باستعمال الاقتران: $\mathit{P}\mathbf{\left(}\mathit{t}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{ }{\mathbf{(}{\mathbf{t}}^{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{)}}^{\mathbf{3}}$ ،

         حيث $\mathit{t}$ الزمن بالسنوات، علمًا بأن $\mathit{P}$ يقاس بأجزاء من المليون:

16) أجد معدل تغير مقدار التلوث في البحيرة بالنسبة إلى الزمن t.

17) أجد معدل تغير مقدار التلوث في البحيرة بعد 16 عامًا.

 

الحل:

16) معدل تغير مقدار التلوث في البحيرة بالنسبة إلى الزمن t:

                               $$\begin{gathered} P\left(t\right)= {({\mathrm{t}}^{\frac{1}{4}} +3)}^3 \\ P\text{'}\left(t\right)= {3({\mathrm{t}}^{\frac{1}{4}} +3)}^2 \left(\frac{1}{4}{t}^{\frac{-3}{4}}\right) \\ =\frac{3{({\mathrm{t}}^{\frac{1}{4}} +3)}^2}{4 \sqrt[4]{t^3}} \end{gathered}$$

     

17) معدل تغير مقدار التلوث في البحيرة بعد 16 عامًا:

                $$\begin{gathered} P\text{'}\left(t\right)=\frac{3{({\mathrm{t}}^{\frac{1}{4}} +3)}^2}{4 \sqrt[4]{t^3}} \\ P\text{'}\left(16\right)=\frac{3{({\left(16\right)}^{\frac{1}{4}} +3)}^2}{4 \sqrt[4]{{\left(16\right)}^3}} \\ = \frac{3{(2 +3)}^2}{4 {\left(2\right)}^3} \\ = \frac{3{\left(5\right)}^2}{4\left(8\right)}=\frac{3\times \left(25\right)}{32} \\ =\frac{75}{32}\approx 2.34 \end{gathered}$$

---

إذا كان:$g(-2)=8, g\text{'}(-2)=4 , h\left(5\right)=-2 , h\text{'}\left(5\right)=6$ ، فأجد مشتقة كل اقتران مما يأتي عندما$x=5$ :

                                     $\mathbf{18}\mathbf{)} f(x)=g(h\left(x\right)) \mathbf{19}\mathbf{)} f\left(x\right)={4\left(h\left(x\right)\right)}^2$

 

الحل:

                                                              

 

                                                                                                                                                                         $$\begin{gathered} \mathbf{18}\mathbf{)} f(x)=g(h\left(x\right)) \\ f\text{'}(x)=g\text{'}(h\left(x\right)) \times h\text{'}(x) \\ f\text{'}(5)=g\text{'}(h\left(5\right)) \times h\text{'}(5) \\ =g\text{'}(-2) \times \left(6\right) \\ =4 \times 6=24 \end{gathered}$$                                                                  $$\begin{gathered} \mathbf{19}\mathbf{)} f(x)={4\left(h\left(x\right)\right)}^2 \\ f\text{'}(x)=8\left(h\left(x\right)\right) h\text{'}\left(x\right) \\ f\text{'}(5)=8 \left(h\left(5\right)\right) h\text{'}\left(5\right) \\ f\text{'}(3)=8\times (-2) \times \left(6\right) \\ =8 \times -12=-96 \end{gathered}$$      

 

 

---