رياضيات

قياس الزاوية بالراديان

تعلمنا سابقاً: 

1) الزاوية المرسومة في الوضع القياسي هي زاوية يقع رأسها عند نقطة الأصل (0,0) وضلع ابتدائها منطبق على المحور x الموجب.

2) قياس الزاوية هو مقدار الدوران واتجاهه للانتقال من ضلع الابتداء إلى ضلع الانتهاء.

3) قياس الزاوية يكون موجباً إذا كان الدوران بعكس اتجاه دوران عقارب الساعة.

4) قياس الزاوية يكون سالباً إذا كان الدوران مع اتجاه دوران عقارب الساعة.

مثال:

ارسم في الوضع القياسي الزاوية التي عُلم قياسها في كل مما يأتي:

$1) 225°$

$2) 110°$

$3) -50$

والآن سوف نتعلم:

 - قياس الزاوية بالراديان 

- تحويل قياس الزواية من الدرجات إلى الراديان ومن الراديان إلى الدرجات.

الراديان: هي وحدة قياس للزواية تعتمد على طول قوس الدائرة.

ملاحظات:

*) 1 راديان يعادل قياس الزاوية المرسومة في الوضع القياسي والتي يحدد ضلع انتهائها قوساً من الدائرة طوله مساوٍ لنصف قطر الدائرة.

**) قياس زاوية الدورة الكاملة هو$2\mathrm{\pi }$راديان، حيث محيط الدائرة$2\mathrm{\pi r}$.

***) القياس بالدرجات والقياس بالراديان مرتبطان بالمعادلة$180°=\mathrm{\pi } \mathrm{rad}$ أو $360°=2\mathrm{\pi } \mathrm{rad}$.

****) يكتب 1 راديان في صورة$1 rad$ ومنها

قياس الزاوية المستقيمة ($180°$) هو$\mathrm{\pi } \mathrm{rad}$.

قياس الزاوية القائمة ($90°$) هو$\frac{\mathrm{\pi }}{2} rad$.

قياس الزاوية التي يقابلها قوس طوله وحدتان هو$2 rad$.

التحويل من القياس بالدرجات إلى القياس بالراديان والعكس.

$180°=\mathrm{\pi } \mathrm{rad}$                    $1 rad=\left(\frac{180}{\mathrm{\pi }}\right)°$                        $1°=\frac{\mathrm{\pi }}{180} rad$ 1) للتحويل من القياس بالدرجات إلى القياس بالراديان، اضرب قياس الزاوية في $\frac{\mathrm{\pi } \mathrm{rad}}{180°}$. 2) للتحويل من القياس بالراديان إلى القياس بالدرجات، أضرب قياس الزاوية في $\frac{180°}{\mathrm{\pi } \mathrm{rad}}$.

مثال:

أحول قياس الزاوية الآتية من الراديان إلى الدرجات في كل مما يأتي:

$1) \frac{3\mathrm{\pi }}{4}$

$\frac{3\mathrm{\pi }}{4}=\frac{3\cancel{\mathrm{\pi }}}{4} \cancel{rad}\left(\frac{180°}{\cancel{\mathrm{\pi rad}}}\right)=135°$

$2) -\frac{\mathrm{\pi }}{5}$

$-\frac{\mathrm{\pi }}{5}=-\frac{\cancel{\mathrm{\pi }}}{5} \cancel{rad}\left(\frac{180°}{\cancel{\mathrm{\pi rad}}}\right)=-36°$

مثال:

أحول قياس الزاوية الآتية من الدرجات إلى الراديان في كل مما يأتي:

$1) 125°$

$125°=125\cancel{°}\left(\frac{\mathrm{\pi rad}}{180\cancel{°}}\right)=\frac{125\mathrm{\pi }}{180}=\frac{25\mathrm{\pi }}{36} rad$

$2) 315°$

$315°=315\cancel{°}\left(\frac{\mathrm{\pi rad}}{180\cancel{°}}\right)=\frac{315\mathrm{\pi }}{180}=\frac{7\mathrm{\pi }}{4} rad$

يوجد قياسات متكافئة بالدرجات والراديان للزوايا الخاصة في الربع الأول فقياسات هذه الزوايا عبارة عن مضاعفات للزوايا الخاصة.

الشكل الآتي يبين قياسات متكافئة بالدرجات والراديان للزوايا الخاصة من$0°$ إلى$360°$ (من$0 rad$الى$2\mathrm{\pi } \mathrm{rad}$).

الزوايا المشتركة: هي زوايا في الوضع القياسي لها ضلع الانتهاء نفسه وتختلف في القياس، حيث يمكن إيجاد زاوية مشتركة في ضلع الانتهاء مع زاوية أخرى عن طريق الجمع أو الطرح لأحد مضاعفات الزاوية $360°$ أو $2\mathrm{\pi }$.

1) بالدرجات: إذا كانت $\theta$ تمثل القياس بالدرجات لزاوية ما فإن جميع الزوايا المشتركة مع $\theta$ يكون قياسها ($\theta +360° n$) حيث n عدد صحيح.

مثال:

أجد زاويتين إحداهما قياسها موجب والأخرى قياسها سالب وكلتاهما مشتركة في ضلع الانتهاء مع كل زاوية معطاة مما يأتي:

$1) 45°$

$$\begin{gathered} 45°+360°\left(2\right)=765° \\ 45°+360°(-2)=-675° \end{gathered}$$

$2) -70°$

$$\begin{gathered} -70°+360°\left(1\right)=290° \\ -70°+360°(-1)=-430° \end{gathered}$$

2) بالراديان: إذا كانت $\theta$ تمثل القياس بالراديان لزاوية ما فإن جميع الزوايا المشتركة مع $\theta$ يكون قياسها ($\theta +2n\mathrm{\pi }$) حيث n عدد صحيح.

مثال:

أجد زاويتين إحداهما قياسها موجب والأخرى قياسها سالب وكلتاهما مشتركة في ضلع الانتهاء مع كل زاوية معطاة مما يأتي:

$1) \frac{\mathrm{\pi }}{4}$

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{\pi }}{4}+2\left(1\right)\mathrm{\pi }=\frac{9\mathrm{\pi }}{4} \\ \frac{\mathrm{\pi }}{4}+2(-1)\mathrm{\pi }=\frac{-7\mathrm{\pi }}{4} \end{gathered}$$

$2) \frac{-3\mathrm{\pi }}{2}$

$$\begin{gathered} \frac{-3\mathrm{\pi }}{2}+2\left(2\right)\mathrm{\pi }=\frac{5\mathrm{\pi }}{2} \\ \frac{-3\mathrm{\pi }}{2}+2(-2)\mathrm{\pi }=\frac{-11\mathrm{\pi }}{2} \end{gathered}$$

تطبيقات

1) طول القوس ومساحة القطاع:

طول القوس s من الدائرة المقابل لزاوية مركزية قياسها $\theta$ يساوي ناتج ضرب طول نصف القطر r في $\theta$. $s=r\theta$                                                                                                                 مساحة القطاع A التي قياس زاويته المركزية $\theta$ بالراديان في دائرة طول نصف قطرها r تساوي نصف ناتج ضرب مربع طول نصف القطر r في $\theta$. $A=\frac{1}{2}{r}^2\theta$

مثال:

أجد طول القوس ومساحة القطاع للقطاع الدائري الذي زاويته المركزية $135°$ في دائرة طول نصف قطرها 5cm .

1) نحول قياس الزاوية المركزية من الدرجات الى الراديان.

$135°=135\cancel{°}+\left(\frac{\mathrm{\pi rad}}{180\cancel{°}}\right)=\frac{135\mathrm{\pi }}{180}=\frac{3\mathrm{\pi }}{4}$

2) نجد طول القوس.

$$\begin{gathered} s=r\theta \\ s=5\frac{3\mathrm{\pi }}{4}\approx 11.78 c{m}^2 \end{gathered}$$

3) نجد مساحة القطاع.

$$\begin{gathered} A=\frac{1}{2}{r}^2\theta \\ =\frac{1}{2}{\left(5\right)}^2\left(\frac{3\mathrm{\pi }}{4}\right) \\ \approx 29.45 c{m}^2 \end{gathered}$$

2) الحركة الدائرية:

1) اذا تحركت نقطة على محيط دائرة فأن معدل الذي تتغير فيه المسافة المقطوعة (المسافة المقطوعة مقسومة على المدة الزمنية المنقضية) تسمى السرعة الخطية.

وتعطى السرعة الخطية بالعلاقة $v=\frac{s}{t}$ حيث v هي السرعة الخطية، t المدة الزمنية، s طول القوس الذي تقطعه النقطة في المدة الزمنية.

مثال:

بكرة طول نصف قطرها 7in وتدور 11.1 دورة في الثانية، جد السرعة الخطية للبكرة بالانش لكل ثانية.

بما أن قياس الدورة الكاملة $2\mathrm{\pi }$ فأن 11.1 دورة تقابل زاوية الدوران $\theta$ التي قياسها .

$2\mathrm{\pi }\times 11.1=22.2\mathrm{\pi } \mathrm{rad}$

السرعة الخطية =

$$\begin{gathered} v=\frac{s}{t} \\ =\frac{r\theta }{t}=\frac{7(22.2\mathrm{\pi } \mathrm{in})}{1\sec }=155.4\mathrm{\pi } in/s \end{gathered}$$

2) اذا تحركت نقطة على محيط دائرة فإن المعدل الذي يتغير فيه قياس الزاوية المركزية (قيمة التغير في قياس الزاوية بالراديان مقسومة على الزمن المنقضي) تسمى السرعة الزاوية.

وتعطى السرعة الزاوية بالعلاقة $\omega =\frac{\theta }{t}$ حيث $\omega$ هي السرعة الزاوية، t المدة الزمنية، $\theta$ هي زاوية الدوران (بالراديان) التي دارتها النقطة في المدة الزمنية.

مثال:

في المثال السابق أجد السرعة الزاوية للبكرة بالراديان لكل ثانية.

السرعة الزاوية =

$$\begin{gathered} \omega =\frac{\theta }{t} \\ =\frac{22.2\mathrm{\pi rad}}{1sec}=22.2\mathrm{\pi } \mathrm{rad}/\mathrm{s} \end{gathered}$$