رياضيات

مقاييسُ التشتُّتِ

Measures of Variation

فكرةُ الدرسِ • إيجادُ التباينِ والانحرافِ المعياريِّ لبياناتٍ مفردةٍ، وأُخرى مُنظَّمةٍ في جداولَ تكراريةٍ.

                     • تحديدُ أثرِ تحويلِ البياناتِ في كلٍّ منَ الوسطِ الحسابيِّ، والانحرافِ المعياريِّ.

 

أولًا: التباين ولانحراف المعياري

تعلَّمْتُ سابقًا أنَّ مقاييسَ التشتُّتِ تُستعمَلُ لوصفِ مقدارِ تشتُّتِ البياناتِ وتباعدِها. ومنْ هذهِ المقاييسِ : المدى، والمدى

الربيعيُّ. ولكنْ، كلٌّ منْ هذينِ المقياسينِ يعتمدُ على قِيَمٍ مُحدَّدةٍ منَ البياناتِ، لا على القِيَمِ جميعِها؛ لذا توجدُ مقاييسُ أُخرى أكثرُ

دقَّةً للتشتُّتِ تأخذُ جميعَ قِيَمِ البياناتِ بالاعتبارِ.

في ما يأتي مجموعةٌ منَ البياناتِ، وسطُها الحسابيُّ هوَ: $\overline{x}=64$  

 58, 88, 40, 60, 72, 66, 80, 48

تُستعمَلُ الصيغة $x-\overline{x}$ لإيجادِ انحرافِ (بُعْدِ) كلِّ مشاهدةٍ منْ قِيَمِ البياناتِ عنْ وسطِها الحسابيِّ. وبذلكَ،

فإنَّ انحرافَ قِيَمِ البياناتِ أعلاهُ عنْ وسطِها الحسابيِّ باستعمالِ هذهِ الصيغةِ هوَ كما يأتي:

عندَ جمعِ الانحرافاتِ المُبيَّنةِ في الشكلِ أعلاهُ، فإنَّ الناتجَ يكونُ كما يأتي:

-24 + -16 + -6 + -4 + 2 + 8 + 16 + 24 = 0

أُلاحِظُ أنَّ مجموعَ الانحرافاتِ عنْ وسطِها الحسابيِّ يساوي صفرًا، وهذا لا يقتصرُ على هذهِ البياناتِ فقطْ، وإنَّما يتحقَّقُ في

أيِّ مجموعةِ بياناتٍ عدديةٍ؛ لذا، فإنَّ حسابَ مجموعِ الانحرافاتِ عنْ وسطِها الحسابيِّ لا يُقدِّمُ شيئًا عنْ تشتُّتِ البياناتِ، ولا

يُميِّزُ أيَّ مجموعةِ بياناتٍ عنْ أُخرى. إلّ أنَّ إيجادَ مُربَّعاتِ هذهِ الانحرافاتِ يجعلُها موجبةً. ولهذا، فإنَّ مجموعَ مُربَّعاتِ

الانحرافاتِ عنْ وسطِها الحسابيِّ لا يساوي صفرًا.

 

•• عندَ حسابِ الوسطِ الحسابيِّ لمُربَّعاتِ الانحرافاتِ، بقسمةِ مجموعِها على عددِها، ينتجُ مقياسٌ مُهِمٌّ منْ مقاييسِ

التشتُّتِ يُسمّى التباينَ (variance) ، ويُرمَزُ إليْهِ بالرمزِ σ² . فمثلًا ، يُمكِنُ حسابُ تباينِ مجموعةِ البياناتِ أعلاهُ على النحوِ الآتي:

${\sigma }^2=\frac{{(-24)}^2+{(-16)}^2+{(-6)}^2+{(-4)}^2+2^2+8^2+{16}^2+{24}^2}{8}=223$

وبأخذِ الجذرِ التربيعيِّ للتباينِ، ينتجُ مقياسٌ آخرُ لتشتُّتِ البياناتِ يُسمّى الانحرافَ المعياريَّ (standard deviation).

في هذا الدرسِ، سيُنظَرُ إلى جميعِ البياناتِ بوصفِها تُمثِّلُ مجتمعًا إحصائيًّا، يُرمَزُ إلى وسطِهِ الحسابيِّ بالرمزِ μ، ويُقرَأُ : ميو.

 

•• رموزٌ رياضيةٌ :  الحرفُ اليونانيُّ σ يُقرَأُ : سيجما، وهوَ يُستعمَلُ للدلالةِ على الانحرافِ المعياري . أمّا الرمزُ  σ2 فيُقرَأُ : سيجما تربيعٌ، وهوَ يُستعمَلُ للدلالةِ على التباينِ.

 

مفهومٌ أساسيٌّ (التباينُ، والانحرافُ المعياريُّ)

يُعرَّفُ تباينُ مجموعةٍ منَ البياناتِ، عددُها n، ووسطُها الحسابيُّ μ، بالصيغةِ الآتيةِ :  ${\sigma }^2=\frac{\sum _{}{(x-\mu )}^2}{n}$ ويكونُ الانحرافُ المعياريُّ لمجموعةِ البياناتِ هوَ الجذرَ التربيعيَّ للتباينِ.

 

مثال 1:

في ما يأتي عدد زائري عيادة طبية خلال خمسة أيام: 8 ، 13 ، 9 ، 14 ، 16

1) أجد التباين لعدد زوار العيادة في هذه الأيام .

2) أجد الانحراف المعياري لعدد زوار العيادة في هذه الأيام .

الحل : 

1) أجد التباين لعدد زوار العيادة في هذه الأيام .

الخطوة 1 : أجد الوسط الحسابي لعدد الزوار 

صيغة الوسط الحسابي:	$\mu =\frac{\sum _{}x}{n}$
بالتعويض والتبسيط:	$\mu =\frac{8+13+9+14+16}{5}=12$

 

الخطوة 2 : أنشئ جدولا أحسب فيه انحراف كل قيمة عن الوسط الحسابي ، إضافة إلى حساب مربعات الفروق  

${(x-\mu )}^2$	$x-\mu$	$x$
16	4 -	8
1	1	13
9	3-	9
4	2	14
16	4	16
46		المجموع

 

بالتعويض في صيغةِ التباين: 

${\sigma }^2=\frac{\sum _{}{(x-\mu )}^2}{n}=\frac{46}{5}=9.2$ 

إذن التباين لعدد زوار العيادة في هذه الأيام هو 9.2

---

 

2) أجد الانحراف المعياري لعدد زوار العيادة في هذه الأيام .

بما إنّ الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين ، فإنّ: $\sigma =\sqrt{9.2}\approx 3.03$
​​​​

•• توجدُ صيغةٌ أُخرى لإيجادِ التباينِ منْ دونِ حاجةٍ إلى حسابِ انحرافِ المشاهداتِ عنِ الوسطِ الحسابيِّ، وهذهِ الصيغةُ هيَ :  •• أتعلَّمُ : تُستعمَلُ هذهِ الصيغةُ لتسهيلِ الحساباتِ في حالِ كانَتْ قيمةُ الوسطِ الحسابيِّ عددًا غيرَ صحيحٍ.

 

مثال 2 :

في ما يأتي علامات 6 طلبة في اختبار رياضيات نهايته العظمى هي 20 : 

          16 , 11 ، 9 ، 13 ، 18 ، 14

الحل : 

لإيجادِ التباينِ، أَتَّبِعُ الخطواتِ الآتيةَ : 

الخطوةُ 1 : أجدُ الوسطَ الحسابيَّ.

صيغة الوسط الحسابي
بالتعويض والتبسيط	​​​​​​​

 

 

الخطوةُ 2 : أُنشِئُ جدولً أحسُبُ فيهِ مُربَّعَ كلِّ مشاهدةٍ.

x2	x
196	14
324	18
169	13
81	9
121	11
256	16
1147	المجموع

 

الخطوةُ 3 : أُعوِّضُ القِيَمَ التي توصَّلْتُ إليْها بصيغةِ التباينِ.

​​​​​​​

الصيغةُ الثانيةُ للتباينِ	​​​​​​​
بتعويضِ :
باستعمالِ الآلةِ الحاسبةِ	​​​​​​​

 

بما أنَّ الانحرافَ المعياريَّ هوَ الجذرُ التربيعيُّ للتباينِ، فإنَّ : 

                  

 

---

 

ثانيًا : التباينُ والانحرافُ المعياريُّ لبياناتٍ مُنظَّمةٍ في جداولَ تكراريةٍ

مفهومٌ أساسيٌّ (التباينُ والانحرافُ المعياريُّ لبياناتٍ مُنظَّمةٍ في جداولَ تكراريةٍ)

يُمكِنُ إيجادُ تباينِ مجموعةٍ منَ البياناتِ، عددُها n، ووسطُها الحسابيُّ μ، إذا كانَتْ مُنظَّمةً في جداولَ تكراريةٍ، حيثُ f عددُ مَرّاتِ تكرارِ المشاهدةِ، باستعمالِ إحدى الصيغتينِ الآتيتينِ: ويكونُ الانحرافُ المعياريُّ لمجموعةِ البياناتِ هوَ الجذرَ التربيعيَّ للتباينِ.

 

مثال 3 :

يُبيِّنُ الجدولُ التالي عددَ الأخوةِ والأخواتِ لمجموعةٍ منْ طلاب الصفِّ التاسعِ في إحدى المدارس. أجدُ التباينَ والانحرافَ المعياريَّ لهذهِ البياناتِ.

5	4	3	2	1	عدد  الإخوة والأخوات
1	3	7	5	4	التكرار (f)

 الحل : 

لإيجادِ التباينِ، أُنشِئُ جدولً جديدًا يحوي الأعمدةَ المُظلَّلةَ عناوينُها. ​​​​​​​ ​​​​​​​

​​​​​​​

​​​​​​​

بالتعويضِ في صيغةِ الوسطِ الحسابيِّ	​​​​​​​
الصيغةُ الثانيةُ للتباينِ	​​​​​​​
بالتعويضِ	​​​​​​​
باستعمالِ الآلةِ الحاسبةِ

 

بما أنَّ الانحرافَ المعياريَّ هوَ الجذرُ التربيعيُّ للتباينِ ، فإنَّ :  

      

 

---

 

ثالثًا :  تحويلُ البياناتِ

تحويلُ البياناتِ(data transformation) هوَ تطبيقُ عمليةٍ حسابيةٍ (أوْ أكثرَ) على جميعِ القِيَمِ في مجموعةِ بياناتٍ للحصولِ

على مجموعةٍ أُخرى مختلفةٍ. 

 

مفهومٌ أساسيٌّ (تحويلُ البياناتِ)

عندَ تحويلِ مجموعةٍ منَ البياناتِ باستعمالِ العلاقةِ : y = ax + b ، حيثُ a و b عددانِ حقيقيانِ، و x المشاهدةُ قبلَ التحويلِ، و y المشاهدةُ بعدَ التحويلِ ، فإنَّهُ :   • يُمكِنُ إيجادُ الوسطِ الحسابيِّ للبياناتِ بعدَ التحويلِ μy باستعمالِ العلاقةِ :           μy = aμx + b ، حيثُ μx الوسطُ الحسابيُّ للبياناتِ قبلَ التحويلِ.   • يُمكِنُ إيجادُ الانحرافِ المعياريِّ للبياناتِ بعدَ التحويلِ σy باستعمالِ العلاقةِ :              σy = |a|σx ، حيثُ σx الانحرافُ المعياريُّ للبياناتِ قبلَ التحويلِ.

 

•• يُستعمَلُ تحويلُ البياناتِ أحياناً لإيجادِ الوسطِ الحسابيِّ والانحرافِ المعياريِّ للبياناتِ المُعقَّدةِ(ذاتِ القِيَمِ غيرِ الصحيحةِ)؛

تسهيلًا لإجراءِ الحساباتِ.

مثال 4 :

رُصِدَتْ درجاتُ الحرارةِ (بالسلسيوس) في 5 مناطقَ مختلفةٍ منَ العاصمةِ عمّانَ في أحدِ الأيامِ، وكانَتْ على النحوِ الآتي:

  31.6   , 32.2   , 31.8   , 31.5   , 32.3

استُعمِلَتِ العلاقةُ : y = 10x - 300 لتحويلِ درجاتِ الحرارةِ، حيثُ x درجةُ الحرارةِ قبلَ التحويلِ، و y درجةُ الحرارةِ بعدَ التحويلِ:

a) أجدُ الوسطَ الحسابيَّ والانحرافَ المعياريَّ لدرجاتِ الحرارةِ بعدَ التحويلِ.

b) أجدُ الوسطَ الحسابيَّ والانحرافَ المعياريَّ لدرجاتِ الحرارةِ قبلَ التحويلِ بناءً على النتائجِ في الفرعِ السابقِ.

الحل : 

a) أجدُ الوسطَ الحسابيَّ والانحرافَ المعياريَّ لدرجاتِ الحرارةِ بعدَ التحويلِ.

الخطوةُ 1 : أجدُ درجاتِ الحرارةِ بعدَ التحويلِ.

أستعملُ العلاقةَ : y =10x -300 لتحويلِ درجاتِ الحرارةِ، بحيثُ تصبحُ كالآتي : 16 , 22  , 18 , 15 , 23

الخطوةُ 2: أجدُ الوسطَ الحسابيَّ لدرجاتِ الحرارةِ بعدَ التحويلِ.

صيغةُ الوسطِ الحسابيِّ
بالتعويضِ، والتبسيطِ	​​​​​​​

 

إذنْ، الوسطُ الحسابيُّ لدرجاتِ الحرارةِ بعدَ التحويلِ هوَ : 18.8

 

الخطوةُ 3: أجدُ الانحرافَ المعياريَّ لدرجاتِ الحرارةِ بعدَ التحويلِ.

أُنشِئُ جدولً أحسُبُ فيهِ مُربَّعَ كلِّ مشاهدةٍ، ثمَّ أُعوِّضُ في صيغةِ الانحرافِ المعياريِّ :

y2	y
529	23
225	15
324	18
484	22
256	16
1818	المجموع

 

الصيغةُ الثانيةُ للانحرافِ المعياريِّ
بتعويضِ n = 5	​
باستعمالِ الآلةِ الحاسبةِ

 

إذنْ، الانحرافُ المعياريُّ لدرجاتِ الحرارةِ بعدَ التحويلِ هوَ  3.2

---

 

b) أجدُ الوسطَ الحسابيَّ والانحرافَ المعياريَّ لدرجاتِ الحرارةِ قبلَ التحويلِ بناءً على النتائجِ في الفرعِ السابقِ.

 
· الوسطُ الحسابيُّ قبلَ التحويلِ :

صيغةُ تحويلِ الوسطِ الحسابيِّ	μy = aμx + b
بتعويضِ  a = 10 , b = -300
بجمعِ  300 إلى طرفيِ المعادلةِ
بقسمةِ طرفيِ المعادلةِ على 10

 

إذنْ، الوسطُ الحسابيُّ لدرجاتِ الحرارةِ قبلَ التحويلِ هوَ 31.88

 

· الانحرافُ المعياريُّ قبلَ التحويلِ:

صيغةُ تحويلِ الانحرافِ المعياريِّ
بتعويضِ a = 10  ،  ​​​​​​​
بقسمةِ طرفيِ المعادلةِ على 10

 

إذنْ، الانحرافُ المعياريُّ لدرجاتِ الحرارةِ قبلَ التحويلِ هوَ 0.32

​​​​​​​

---

 

•• يُمكِنُ أحيانًا إيجادُ الوسطِ الحسابيِّ والانحرافِ المعياريِّ لمجموعةٍ منَ البياناتِ بعدَ تحويلِها منْ دونِ معرفةِ البياناتِ

الأصليةِ، أوِ البياناتِ بعدَ التحويلِ؛ إذْ يكتفى بمعرفةِ العلاقةِ التي استُعمِلَتْ لإجراءِ التحويلِ، وبعضِ المعلوماتِ عنِ البياناتِ

بعدَ التحويلِ.

مثال 5 :

رُصِدَتْ سرعةُ 20 درّاجةً هوائيةً مشاركةً في سباقٍ للدرّاجاتِ عندَ مرورِها منْ أحدِ الشوارعِ بوحدةِ km/h ، ثمَّ حُوِّلَتْ سرعةُ هذهِ

الدرّاجاتِ باستعمالِ العلاقةِ: y = x – 10 ، حيثُ y السرعةُ بعدَ التحويلِ، و x السرعةُ قبلَ التحويلِ. إذا كانَ:

Σy = - 6 , Σy² = 2614 ، فأجدُ كُلًّ ممّا يأتي:

1) الوسطُ الحسابيُّ لسرعةِ الدرّاجاتِ قبلَ التحويلِ.

2) الانحرافُ المعياريُ لسرعةِ الدرّاجاتِ قبلَ التحويلِ.

الحل :

1) الوسطُ الحسابيُّ لسرعةِ الدرّاجاتِ قبلَ التحويلِ.

الخطوةُ 1 : أجدُ الوسطَ الحسابيَّ لسرعةِ الدرّاجاتِ بعدَ التحويلِ.

صيغةُ الوسطِ الحسابيِّ
بالتعويضِ

 

الخطوةُ 2 : أجدُ الوسطَ الحسابيَّ لسرعةِ الدرّاجاتِ قبلَ التحويلِ.

صيغةُ تحويلِ الوسطِ الحسابيِّ	μy = aμx + b
بتعويضِ   μy = - 0.3  ,  a = 1 , b = -10	- 0.3 = μx - 10
بجمعِ 10 إلى طرفيِ المعادلةِ	9.7 =  μx

 

إذنْ، الوسطُ الحسابيُّ لسرعةِ الدرّاجاتِ قبلَ التحويلِ هوَ 9.7

---

 

2) الانحرافُ المعياريُ لسرعةِ الدرّاجاتِ قبلَ التحويلِ.

الخطوةُ 1 : أجدُ الانحرافَ المعياريَّ لسرعةِ الدرّاجاتِ بعدَ التحويلِ.

 

الصيغةُ الثانيةُ للانحرافِ المعياريِّ
بتعويضِ 0.3 - = Σy2 = 2614 , μy	​​​​​​​
باستعمالِ الآلةِ الحاسبةِ	​​​​​​​

 

الخطوةُ 2 : أجدُ الانحرافَ المعياريَّ لسرعةِ الدرّاجاتِ قبلَ التحويلِ.

الانحرافُ المعياريُّ للبياناتِ قبلَ التحويلِ هوَ 11.4 تقريبًا؛ لأنَّ التحويلَ تمثَّلَ في إضافةِ ( 10- ) ، وهذا لا يُؤثِّرُ في الانحرافِ

المعياريِّ.