رياضيات فصل ثاني

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين 

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 123

إنترنتْ: في ما يأتي عددُ زائري موقعٍ إلكترونيٍّ تعليميٍّ خلالَ أيامِ أحدِ الأسابيعِ :

                                                                103, 115, 124, 125, 171, 165, 170

a) أجدُ التباينَ لعددِ زائري الموقعِ في ذلكَ الأسبوعِ.

b) أجدُ الانحرافَ المعياريَّ لعددِ زائري الموقعِ في ذلكَ الأسبوعِ.

الحل :

a) أجدُ التباينَ لعددِ زائري الموقعِ في ذلكَ الأسبوعِ.

الخطوة 1 : أجد الوسط الحسابي لعدد الزوار 

صيغة الوسط الحسابي
بالتعويض والتبسيط

 

الخطوةُ 2 : أُنشِئُ جدولً أحسُبُ فيهِ انحرافَ كلِّ قيمةٍ عنِ الوسطِ الحسابيِّ، إضافةً إلى حسابِ مُربَّعاتِ الفروقِ.

		x
1296	36-	103
576	24-	115
225	15-	124
196	14-	125
1024	32	171
676	26	165
961	31	170
4954		المجموع

 

الخطوةُ 3 : أُعوِّضُ القِيَمَ التي توصَّلْتُ إليْها بصيغةِ التباينِ.

صيغةُ التباينِ
بالتعويضِ
والتبسيطِ

b) أجدُ الانحرافَ المعياريَّ لعددِ زائري الموقعِ في ذلكَ الأسبوعِ.

بما أنَّ الانحرافَ المعياريَّ هوَ الجذرُ التربيعيُّ للتباينِ، فإنَّ :

      

---

 

أتحقق من فهمي صفحة 124

أجدُ التباينَ والانحرافَ المعياريَّ للبياناتِ الآتيةِ : 11 , 14 , 6 , 7 , 5 , 4 ,1

الحل :

الخطوةُ 1 : أجدُ الوسطَ الحسابيَّ.

صيغة الوسط الحسابي
بالتعويض والتبسيط

 

الخطوةُ 2 : أُنشِئُ جدولً أحسُبُ فيهِ مُربَّعَ كلِّ مشاهدةٍ.

x2	x
1	1
16	4
25	5
49	7
36	6
196	14
121	11
444	المجموع

 

الخطوةُ 3 : أُعوِّضُ القِيَمَ التي توصَّلْتُ إليْها بصيغةِ التباينِ.

الصيغةُ الثانيةُ للتباينِ
بتعويضِ :
باستعمالِ الآلةِ الحاسبةِ

 

بما أنَّ الانحرافَ المعياريَّ هوَ الجذرُ التربيعيُّ للتباينِ، فإنَّ: 

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 125

عائلةٌ : يُبيِّنُ الجدولُ التالي عددَ الأخوةِ والأخواتِ لمجموعةٍ منْ طالباتِ الصفِّ التاسعِ في مدرسةِ عائشةَ. أجدُ التباينَ والانحرافَ

المعياريَّ لهذهِ البياناتِ.

الحل :

x2(f)	x2	x(f)	f	x
2	1	2	2	1
16	4	8	4	2
72	9	24	8	3
80	16	20	5	4
25	25	5	1	5
195	55	59	20	المجموع

 

بالتعويضِ في صيغةِ الوسطِ الحسابيِّ
الصيغةُ الثانيةُ للتباينِ
بالتعويضِ
باستعمالِ الآلةِ الحاسبةِ

 

إذن الانحراف المعياري يساوي 1.02 تقريبًا .  

 

 

---

 

أتحقق من فهمي صفحة 130

درجاتُ حرارةٍ : رُصِدَتْ درجاتُ الحرارةِ (بالسلسيوس) في 7 مناطقَ مختلفةٍ منَ العاصمةِ عمّانَ في أحدِ الأيامِ، وكانَتْ على

النحوِ الآتي :
                                         32.1, 31.7, 31.2, 31.5, 31.9, 32.2, 32.7

استُعمِلَتِ العلاقةُ : y = 10x - 300 لتحويلِ درجاتِ الحرارةِ، حيثُ x درجةُ الحرارةِ قبلَ التحويلِ، و y درجةُ الحرارةِ بعدَ التحويلِ :

a) أجدُ الوسطَ الحسابيَّ والانحرافَ المعياريَّ لدرجاتِ الحرارةِ بعدَ التحويلِ.

b) أجدُ الوسطَ الحسابيَّ والانحرافَ المعياريَّ لدرجاتِ الحرارةِ قبلَ التحويلِ بناءً على النتائجِ في الفرعِ السابقِ.

الحل :

a) أجدُ الوسطَ الحسابيَّ والانحرافَ المعياريَّ لدرجاتِ الحرارةِ بعدَ التحويلِ.

الخطوةُ 1 : أجدُ درجاتِ الحرارةِ بعدَ التحويلِ.

أستعملُ العلاقةَ : y =10x - 300 لتحويلِ درجاتِ الحرارةِ، بحيثُ تصبحُ كالآتي : 21 , 17 , 12 , 15  , 19 , 22 , 27

الخطوةُ 2: أجدُ الوسطَ الحسابيَّ لدرجاتِ الحرارةِ بعدَ التحويلِ.

صيغةُ الوسطِ الحسابيِّ
بالتعويضِ، والتبسيطِ

 

إذنْ، الوسطُ الحسابيُّ لدرجاتِ الحرارةِ بعدَ التحويلِ هوَ : 19 

الخطوةُ 3: أجدُ الانحرافَ المعياريَّ لدرجاتِ الحرارةِ بعدَ التحويلِ.

أُنشِئُ جدولً أحسُبُ فيهِ مُربَّعَ كلِّ مشاهدةٍ، ثمَّ أُعوِّضُ في صيغةِ الانحرافِ المعياريِّ:

y2	y
729	27
484	22
361	19
225	15
144	12
289	17
441	21
2673	المجموع

 

 

الصيغةُ الثانيةُ للانحرافِ المعياريِّ
بتعويضِ $\underset{}{\sum y^2} = 2673 , \mu = 19 , n = 7$	$= \sqrt{\frac{2673}{7}-{\left(19\right)}^2}$
باستعمالِ الآلةِ الحاسبةِ	$\approx \mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{67}$

 

---

b) أجدُ الوسطَ الحسابيَّ والانحرافَ المعياريَّ لدرجاتِ الحرارةِ قبلَ التحويلِ بناءً على النتائجِ في الفرعِ السابقِ.

الوسطُ الحسابيُّ قبلَ التحويلِ :

صيغةُ تحويلِ الوسطِ الحسابيِّ	${\mu }_y = a{\mu }_x + b$
بتعويضِ $\mu y = 19 , a = 10 , b = -300$	$19 = 10{\mu }_x- 300$
بجمعِ  300 إلى طرفيِ المعادلةِ	$319 = 10{\mu }_x$
بقسمةِ طرفيِ المعادلةِ على 10	${\mathit{\mu }}_{\mathbf{x}}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{31}\mathbf{.}\mathbf{9}\mathbf{ }$

 

· الانحرافُ المعياريُّ قبلَ التحويلِ:

صيغةُ تحويلِ الانحرافِ المعياريِّ	${\sigma }_y = \left|a\right|{\sigma }_x$
بتعويضِ ${\sigma }_y = 4.67 , a = 10$	$4.67= \left|10\right|{\sigma }_x$
بقسمةِ طرفيِ المعادلةِ على 10	${\mathit{\sigma }}_{\mathbf{x}}\mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{47}\mathbf{ }$

 

---

 

أتحقق من فهمي صفحة 131

زراعةٌ : قيسَتْ كتلُ 40 كيسًا منَ السمادِ بوحدةِ kg ، ثمَّ حُوِّلَتْ هذهِ الكتلُ باستعمالِ العلاقةِ: y = x – 60 ، حيثُ y الكتلةُ بعدَ

التحويلِ ، و x الكتلةُ قبلَ التحويلِ. إذا كانَ :  Σy = -814  , Σy² = 22125 ، فأجدُ كُلًّ ممّا يأتي :

a) الوسطُ الحسابيُّ لكتلِ أكياسِ السمادِ قبلَ التحويلِ.

b) الانحرافُ المعياريُّ لكتلِ أكياسِ السمادِ قبلَ التحويلِ.

الحل :

a) الوسطُ الحسابيُّ لكتلِ أكياسِ السمادِ قبلَ التحويلِ.

الخطوةُ 1 : أجدُ الوسطَ الحسابيَّ لكتل السماد بعدَ التحويلِ.

صيغةُ الوسطِ الحسابيِّ	${\mu }_{y }= \frac{ {\displaystyle \sum _{}^{}}y }{n}$
بتعويضِ $\underset{}{\sum y = -814 , n = 40}$	${\mu }_{y }= \frac{-814 }{40}=-20.35$

 

الخطوةُ 2 : أجدُ الوسطَ الحسابيَّ لكتل أكياس السماد  قبلَ التحويلِ.

صيغةُ تحويلِ الوسطِ الحسابيِّ	${\mu }_y = a{\mu }_x + b$
بتعويضِ ${\mu }_y = -20.35 , a = 1 , b = -60$	$-20.35 = {\mu }_x -60$
بجمعِ 60 إلى طرفيِ المعادلةِ	${\mathit{\mu }}_{\mathbf{x}}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{39}\mathbf{.}\mathbf{65}\mathbf{ }$

 

---

b) الانحرافُ المعياريُّ لكتلِ أكياسِ السمادِ قبلَ التحويلِ.

الخطوةُ 1 : أجدُ الانحرافَ المعياريَّ لكتل أكياس السماد بعدَ التحويلِ.

الصيغةُ الثانيةُ للانحرافِ المعياريِّ
بتعويضِ $\sum _{}^{}{y}^2 = 22125 , {\mu }_y = -20.35$	$= \sqrt{\frac{22125}{40}-{(-20.35)}^2}$
باستعمالِ الآلةِ الحاسبةِ	$\mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{11}\mathbf{.}\mathbf{79}$

 

 

---

 

أسئلة أتدرب وأحل المسائل

أمطارٌ : في ما يأتي عددُ الأيامِ الماطرةِ منْ شهرِ شباطَ في إحدى المدنِ على مدارِ سبعةِ أعوامٍ متتاليةٍ : 

18, 20, 11, 13, 5, 12, 14

1) أجدُ تباينَ عددِ الأيامِ الماطرةِ في الأعوامِ السبعةِ.

2) أجدُ الانحرافَ المعياريَّ لعددِ الأيامِ الماطرةِ في الأعوامِ السبعةِ.

الحل :

1) أجدُ تباينَ عددِ الأيامِ الماطرةِ في الأعوامِ السبعةِ.

$$\begin{gathered} \mu = \frac{\sum _{}x}{n} \\ = \frac{18 + 20 + 11 + 13 + 5 + 12 + 14}{7} \\ = \frac{93}{7} \end{gathered}$$

 

x2	x
324	18
400	20
121	11
169	13
25	5
144	12
196	14
1379	المجموع

 

$$\begin{gathered} {\sigma }^2=\frac{\sum _{}{x}^2}{n}-{\mu }^2 \\ = \frac{1379}{7}-{\left(\frac{93}{7}\right)}^2 \\ \mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{20}\mathbf{.}\mathbf{5} \end{gathered}$$

 

---

2) أجدُ الانحرافَ المعياريَّ لعددِ الأيامِ الماطرةِ في الأعوامِ السبعةِ.

$\sigma = \sqrt{\mathbf{20}\mathbf{.}\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{5}$

 

---

 

كرةُ قدمٍ : شاركَ فريقُ كرةِ قدمٍ في دوريٍّ للمُحترِفينَ 5 مواسمَ متتاليةٍ، وكانَ عددُ الأهدافِ التي ىسجَّلَها الفريقُ في هذهِ المواسمِ

كما يأتي :

                                                                                                                                                                   61, 54, 44, 57, 38

3) أجدُ تباينَ عددِ الأهدافِ في المواسمِ الخمسةِ.

4) أجدُ الانحرافَ المعياريَّ لعددِ الأهدافِ في المواسمِ الخمسةِ.

الحل :

3) أجدُ تباينَ عددِ الأهدافِ في المواسمِ الخمسةِ.

 

$$\begin{gathered} \mu = \frac{\sum _{}x}{n} \\ = \frac{61+54+44+57+38 }{5} \\ = \frac{254}{5} \end{gathered}$$

x2	x
3721	61
2916	54
1936	44
3249	57
1444	38
13266	المجموع

 

$$\begin{gathered} {\sigma }^2=\frac{\sum _{}{x}^2}{n}-{\mu }^2 \\ = \frac{13266}{5}-{\left(\frac{254}{5}\right)}^2 \\ \mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{72}\mathbf{.}\mathbf{6} \end{gathered}$$

---

4) أجدُ الانحرافَ المعياريَّ لعددِ الأهدافِ في المواسمِ الخمسةِ.

$\sigma = \sqrt{\mathbf{72}\mathbf{.}\mathbf{6}}\mathbf{ }\mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{5}$

 

---

أجدُ التباينَ والانحرافَ المعياريَّ لكلِّ مجموعةِ بياناتٍ ممّا يأتي : 

5) 27, 43, 29, 34, 53, 37, 19, 58                                   

الحل :

$$\begin{gathered} \mu = \frac{\sum _{}x}{n} \\ = \frac{ 27+43+29+34+53+37+19+58 }{8} \\ = \frac{291}{8} \end{gathered}$$

 

x2	x
729	27
1849	43
841	29
1156	34
2809	53
1369	37
361	19
3364	58
11322	المجموع

 

$$\begin{gathered} {\sigma }^2=\frac{\sum _{}{x}^2}{n}-{\mu }^2 \\ = \frac{11322}{8}-{\left(\frac{291}{8}\right)}^2 \\ \mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{153}\mathbf{.}\mathbf{5} \end{gathered}$$

$\sigma = \sqrt{\mathbf{153}\mathbf{.}\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{12}\mathbf{.}\mathbf{4}$

 

---

 

6) 12, 15, 18, 16, 7, 9, 14

الحل :

$$\begin{gathered} \mu = \frac{\sum _{}x}{n} \\ = \frac{ 12+15+18+16+7+9+14 }{7} \\ = 13 \end{gathered}$$

 

${(x-\mu )}^2$	$x - \mu$	$x$
1	1-	12
4	2	15
25	5	18
9	3	16
36	6-	7
16	4-	9
1	1	14
92		المجموع

 

$$\begin{gathered} {\sigma }^2 = \frac{\sum _{}{(x-\mu )}^2}{n} \\ = \frac{92}{7} \\ \mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{13}\mathbf{.}\mathbf{14} \end{gathered}$$

 

$\sigma = \sqrt{\mathbf{13}\mathbf{.}\mathbf{14}}\mathbf{ }\mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{62}$

 

---

 

أطفالٌ : يُبيِّنُ الجدولُ الآتي عددَ الأطفالِ في 35 عائلةً : 

7) أجدُ تباينَ عددِ الأطفالِ في هذهِ العائلاتِ.

8) أجدُ الانحرافَ المعياريَّ لعددِ الأطفالِ في هذهِ العائلاتِ.

الحل :

7) أجدُ تباينَ عددِ الأطفالِ في هذهِ العائلاتِ.

$x^2\times f$	$x^2$	$x\times f$	$f$	$x$
6	0	0	6	0
12	1	12	12	1
36	4	18	9	2
36	9	12	4	3
48	16	12	3	4
25	25	5	1	5
163	55	59	35	المجموع

 

بالتعويضِ في صيغةِ الوسطِ الحسابيِّ	$$\begin{gathered} \mu = \frac{ \underset{}{\sum (x\times f)}}{\underset{}{\sum f}} \\ =\frac{59}{35} \end{gathered}$$
بالتعويض في الصيغةُ الثانيةُ للتباينِ	$$\begin{gathered} {\sigma }^2 =\frac{ \underset{}{\sum (x^2\times f)}}{\sum _{}f}-{\mu }^2 \\ =\frac{163}{35}-{\left(\frac{59}{35}\right)}^{{}^2} \\ \approx \mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{8}\mathbf{ } \end{gathered}$$

 

---

 

8) أجدُ الانحرافَ المعياريَّ لعددِ الأطفالِ في هذهِ العائلاتِ.

$\sigma = \sqrt{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{8}}\mathbf{ }\mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{3}$

 

---

 

كتلٌ : يُبيِّنُ الجدولُ الآتي كتلَ عددٍ منَ الصناديقِ في شاحنةٍ :

9) أجدُ تباينَ كتلِ هذهِ الصناديقِ.

10) أجدُ الانحرافَ المعياريَّ لكتلِ هذهِ الصناديقِ.

الحل :

9) أجدُ تباينَ كتلِ هذهِ الصناديقِ.

$x^2\times f$	$x^2$	$x\times f$	$f$	$x$
7500	2500	150	3	50
30250	3025	550	10	55
64800	3600	1080	18	60
92950	4225	1430	22	65
83300	4900	1190	17	70
56250	5625	750	10	75
787050	23875	5150	80	المجموع

 

بالتعويضِ في صيغةِ الوسطِ الحسابيِّ	$$\begin{gathered} \mu = \frac{ \underset{}{\sum (x\times f)}}{\underset{}{\sum f}} \\ = \frac{5150}{80} = \frac{515}{8} \end{gathered}$$
بالتعويض في الصيغةُ الثانيةُ للتباينِ	$$\begin{gathered} {\sigma }^2 =\frac{ \underset{}{\sum (x^2\times f)}}{\sum _{}f}-{\mu }^2 \\ =\frac{787050}{80}-{\left(\frac{515}{8}\right)}^{{}^2} \\ \approx \mathbf{ }\mathbf{5674} \end{gathered}$$

 

---

10) أجدُ الانحرافَ المعياريَّ لكتلِ هذهِ الصناديقِ.

$\sigma = \sqrt{\mathbf{4674}}\mathbf{ }\mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{68}$

 

---

 

نباتاتٌ : قاسَتْ مُهندِسةٌ زراعيةٌ أطوالَ 6 نبتاتٍ منَ النوعِ نفسِهِ(بالسنتيمترِ)، وكانَتِ النتائجُ التي توصَّلَتْ إليْها كما يأتي:

53.6, 52.7, 55.4, 55.4, 57.2, 59.9, 62.6             

ثمَّ استعملَتِ العلاقةَ : y = 10x - 500 لتحويلِ أطوالِ النبتاتِ، حيثُ x طولُ النبتةِ قبلَ التحويلِ، و y طولُها بعدَ التحويلِ:

11) أجدُ الوسطَ الحسابيَّ والانحرافَ المعياريَّ لأطوالِ النبتاتِ بعدَ التحويلِ.

12) أجدُ الوسطَ الحسابيَّ والانحرافَ المعياريَّ لأطوالِ النبتاتِ قبلَ التحويلِ بناءً على النتائجِ في الفرعِ السابقِ.

الحل :

11) أجدُ الوسطَ الحسابيَّ والانحرافَ المعياريَّ لأطوالِ النبتاتِ بعدَ التحويلِ.

أجدُ الوسطَ الحسابيَّ والانحرافَ المعياريَّ لدرجاتِ الحرارةِ بعدَ التحويلِ.

الخطوةُ 1 : أجدُ درجاتِ الحرارةِ بعدَ التحويلِ.

أستعملُ العلاقةَ : y =10x - 500 لتحويلِ درجاتِ الحرارةِ، بحيثُ تصبحُ كالآتي : 126 , 99 , 72 , 54  , 54 , 27 , 36

الخطوةُ 2: أجدُ الوسطَ الحسابيَّ لدرجاتِ الحرارةِ بعدَ التحويلِ.

صيغةُ الوسطِ الحسابيِّ	$\mu = \frac{ \sum _{ }y}{n}$
بالتعويضِ، والتبسيطِ	$$\begin{gathered} = \frac{36+27+54+54+72+99+126}{7} \\ = \frac{468}{7} \approx 66.9 \end{gathered}$$

 

الخطوةُ 3: أجدُ الانحرافَ المعياريَّ لدرجاتِ الحرارةِ بعدَ التحويلِ.

y2	y
1296	36
729	27
2916	54
2916	54
5184	72
9801	99
15876	126
38718	المجموع

 

 

الصيغةُ الثانيةُ للانحرافِ المعياريِّ	${\sigma }_y = \sqrt{\frac{\sum _{} y^2}{n}-{{\mu }_y}^2}$
بتعويض $\sum _{}{y}^2 = 38718 , n = 7 \mu = \frac{468}{7}$	$=\sqrt{\frac{38718}{7}-{\left(\frac{468}{7}\right)}^2}$
باستخدام الآلة الحاسبة	$\mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{32}\mathbf{.}\mathbf{5}$

 

---

 

12) أجدُ الوسطَ الحسابيَّ والانحرافَ المعياريَّ لأطوالِ النبتاتِ قبلَ التحويلِ بناءً على النتائجِ في الفرعِ السابقِ.

الوسطُ الحسابيُّ قبلَ التحويلِ :

صيغةُ تحويلِ الوسطِ الحسابيِّ	${\mu }_y = a{\mu }_x + b$
بتعويضِ ${\mu }_y = 66.9 , a = 10 , b = - 500$	$66.9 = 10{\mu }_x-500$
بحل المعادلة	${\mathit{\mu }}_{\mathbf{x}}\mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{56}\mathbf{.}\mathbf{7}\mathbf{ }$

 

· الانحرافُ المعياريُّ قبلَ التحويلِ:

صيغةُ تحويلِ الانحرافِ المعياريِّ	${\sigma }_y = \left|a\right|{\sigma }_x$
بنعويض  ${\sigma }_y = 32.5 , a = 10$	$32.5 = 10{\sigma }_x$
بقسمة طرفي المعادلة على 10	${\mathit{\sigma }}_{\mathbf{x}}\mathbf{ }\mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{3}$

 

 

---

 

حقائبُ : قيسَتْ كتلُ 97 حقيبةَ يدٍ (بـ kg) على متنِ إحدى الرحلاتِ الجويةِ، ثمَّ حُوِّلَتْ كتلُ هذهِ الحقائبِ باستعمالِ العلاقةِ :

y = x – 5 ، حيثُ y الكتلةُ بعدَ التحويلِ ، و x الكتلةُ قبلَ التحويلِ. إذا كانَ: 1623 = Σy = 314  , Σy² ، فأجدُ كُلًّ ممّا يأتي:

13) الوسطُ الحسابيُّ لكتلِ الحقائبِ قبلَ التحويلِ.

14) التباينُ والانحرافُ المعياريُّ لكتلِ الحقائبِ قبلَ التحويلِ.

الحل :

13) الوسطُ الحسابيُّ لكتلِ الحقائبِ قبلَ التحويلِ.

الخطوةُ 1 : أجدُ الوسطَ الحسابيَّ لكتل السماد بعدَ التحويلِ.

صيغة الوسط الحسابي	${\mu }_{y }=\frac{\underset{}{\sum y} }{n}$
بتعويض $\underset{}{\sum y = 314 , n = 97}$	$=\frac{ 314 }{97} \approx 3.2$

 

الخطوةُ 2 : أجدُ الوسطَ الحسابيَّ لكتل أكياس السماد  قبلَ التحويلِ.

صيغة تحويل الوسط الحسابي	${\mu }_y = a{\mu }_x + b$
بتعويض ${\mu }_y = 3.2 , a = 1 , b = -5$	$3.2 = {\mu }_x-5$
بحل المعادلة	${\mathit{\mu }}_{\mathbf{x}}\mathbf{ }\mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{2}$

 

---

 

14) التباينُ والانحرافُ المعياريُّ لكتلِ الحقائبِ قبلَ التحويلِ.

الخطوةُ 1 : أجدُ الانحرافَ المعياريَّ لكتل الحقائب بعدَ التحويلِ.

الصيغةُ الثانيةُ للانحرافِ المعياريِّ	${\sigma }_y = \sqrt{\frac{\sum _{} y^2}{n}-{{\mu }_y}^2}$
بتعويض  $\sum _{}^{}{y}^2 =1623 , {\mu }_y = 3.2$	${\sigma }_y = \sqrt{\frac{1623}{97}-{(3.2)}^2}$
باستخدام الآلة الحاسبة	${\sigma }_y \approx 6.5$

الخطوةُ 2 : أجدُ الانحرافَ المعياريَّ لكتل الحقائب قبلَ التحويلِ.

الانحرافُ المعياريُّ للبياناتِ قبلَ التحويلِ( ${\sigma }_x$)  هوَ 6.5 تقريبًا ؛ لأنَّ التحويلَ تمثَّلَ في إضافةِ ( 5- )، وهذا لا يُؤثِّرُ في الانحرافِ

المعياريِّ.

---

 

15) في مجموعةِ بياناتٍ إحصائيةٍ، إذا كانَ: n = 40 ، وكانَ: Σx = 6400 ، وكانَ: 1400000 = Σx² ، فأجدُ الانحرافَ المعياريَّ لهذهِ

البياناتِ.

الحل :

$\mu =\frac{\underset{}{\sum x} }{n} =\frac{6400}{40}=160$

 $$\begin{gathered} {\sigma }_{ }= \sqrt{\frac{\sum _{}{x}^2}{n}-{{\mu }_{ }}^2} \\ = \sqrt{\frac{1400000}{40}-{\left(40\right)}^2 } \\ \mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{97} \end{gathered}$$

 

 

---

 

قيسَتْ أطوالُ أقطارِ 8 حبّاتِ برتقالٍ بوحدةِ cm ، وكانَتِ انحرافاتُ أطوالِ الأقطارِ عنْ وسطِها الحسابيِّ كما يأتي :    $4 , -2 , 3 , 3 , -1 , k , -5 , 2$   16) أجدُ قيمةَ الثابتِ k . 17) أجدُ التباينَ والانحرافَ المعياريَّ لأطوالِ أقطارِ حبّاتِ البرتقالِ.

الحل :

16) أجدُ قيمةَ الثابتِ k .

$$\begin{gathered} 4 +(-2) + 3 + 3 + (-1) + k +(-5) + 2 = 0 \\ 4+k = 0 \\ \Rightarrow \mathbf{ }\mathit{k}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{4} \end{gathered}$$

---

 

17) أجدُ التباينَ والانحرافَ المعياريَّ لأطوالِ أقطارِ حبّاتِ البرتقالِ.

$$\begin{gathered} {\sigma }^2 = \frac{4^2+{(-2)}^2+3^2+{3^2+(-1)}^2+{(-4)}^2+{(-5)}^2 +2^2}{8} \\ = \frac{16+4+9+9+1+16+25+4}{8} \\ = \frac{84}{8} \mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{10}\mathbf{.}\mathbf{5} \end{gathered}$$

 

$\sigma = \sqrt{10.5} \mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{2}$

 

---

 

18) أحُلُّ المسألةَ الواردةَ بدايةَ الدرسِ.

مسألةُ اليومِ : في ما يأتي عددُ أكوابِ الماءِ التي شربَتْها أميرةُ كلَّ يومٍ مُدَّةَ 10 أيامٍ :  3, 3, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 3, 6 1) أجدُ تباينَ عددِ أكوابِ الماءِ التي شربَتْها أميرةُ في الأيامِ العشرةِ. 2) أجدُ الانحرافَ المعياريَّ لعددِ أكوابِ الماءِ التي شربَتْها أميرةُ في الأيامِ العشرةِ.

الحل :

1) أجدُ تباينَ عددِ أكوابِ الماءِ التي شربَتْها أميرةُ في الأيامِ العشرةِ.

$$\begin{gathered} \mu = \frac{\sum _{}x}{n} \\ = \frac{ 6+3+6+2+4+3+4+2+3+3 }{10} \\ = 3.6 \end{gathered}$$

x2	x
36	6
9	3
36	6
4	2
16	4
9	3
16	4
4	2
9	3
9	3
148	المجموع

 

$$\begin{gathered} {{\sigma }^2}_{ }= \frac{\sum _{}{x}^2}{n}-{{\mu }_{ }}^2 \\ = \frac{148}{10}-{(3.6)}^2 \\ \mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{84}\mathbf{ }\mathbf{ } \end{gathered}$$

$\sigma = \sqrt{1.84} \approx 1.4$

---

 

مهاراتُ التفكيرِ العليا

19) تبرير : أيُّ التمثيلينِ النقطيينِ قيمةُ انحرافِهِ المعياريِّ أصغرُ: a أمْ b؟ أُبرِّرُ إجابتي منْ دونِ إيجادِ الانحرافِ المعياريِّ لكلِّ تمثيلٍ.

الإجابة :

التمثيل a ؛ لأنّ القيم فيه متقاربة أكثر من القيم في التمثيل b

 

---

 

 

20) تحدٍّ : في مجموعةِ بياناتٍ إحصائيةٍ، إذا كانَ : Σ(3x - 1) = 53 , n = 10 ، فأجدُ Σx.

الحل :

$y = 3x - 1$

${\mu }_y = \frac{\sum _{}y}{n} = \frac{53}{10} = 5.3$

 

$$\begin{gathered} {\mu }_y = a{\mu }_x + b \\ 5.3 = 3{\mu }_x-1 \\ 6.3 = 3{\mu }_x \\ {\mu }_x = 2.1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\mu }_x =\frac{\sum _{ }x}{n} \\ 2.1 = \frac{\sum _{ }x}{10} \\ \mathbf{\sum }_{\mathbf{ }}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{21} \end{gathered}$$

---

 

 

21) تبرير : هلْ يُمكِنُ أنْ يكونَ الانحرافُ المعياريُّ لمجموعةٍ منَ البياناتٍ صفرًا؟ أُبرِّرُ إجابتي.

الإجابة : 

يُمكن أن يكون الانحراف المعياري صفرًا ، إذا كانت القيم متساوية ، حيث يكون انحراف كل قيمة عن وسطها يساوي صفر ، ومربعها صفر ، ومجموع مربعات الانحرافات يساوي صفر . 

 

---

22) تحدٍّ : تمكَّنَ يوسفُ في لعبةٍ إلكترونيةٍ منْ إحرازِ النقاطِ الآتيةِ في المراحلِ الستِّ الأولى منَ اللعبةِ:

42 , 39 , 37 , 24 , 54 , 34 . أجدُ عددَ النقاطِ التي يتعيَّنُ على يوسفَ إحرازُها في المرحلةِ السابعةِ منَ اللعبةِ ليكونَ الانحرافُ

المعياريُّ لنتائجِها في المراحلِ السبعِ هوَ:$10\sqrt{2}$ 

الحل :

أفرض k هي عدد النقاط التي يجب على يوسف إحرازها ليصبح الانحراف المعياري يساوي $10\sqrt{2}$

$$\begin{gathered} {{\sigma }^2}_{ }= \frac{\sum _{}{x}^2}{n}-{{\mu }_{ }}^2 \\ {\left(10\sqrt{2}\right)}^2 = \frac{9302 +k^2}{7}-{\left(\frac{230+k }{7}\right)}^2 \mathbf{ } \end{gathered}$$

 

بحل المعادلة $\mathit{k}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{71}$

---

 

أسئلة كتاب التمارين

شاركَ 200 عَدّاءٍ في سباقِ الضاحيةِ، وسُجِّلَ الزمنُ(إلى أقربِ دقيقةٍ) الذي استغرقَهُ كلُّ عَدّاءٍ لقطعِ مسافةِ السباقِ، ثمَّ نُظِّمَتِ

البياناتُ في الجدولِ الآتي:

1) أجدُ تباينَ البياناتِ أعلاهُ.                                                          2) أجدُ الانحرافَ المعياريَّ للبياناتِ أعلاهُ.

الحل :

$$\begin{gathered} 1) {\sigma }^2 = 14.6 \\ 2) \sigma \approx 3.8 \end{gathered}$$

---

 

تعبئةٌ : تُعبَّأُ زجاجاتُ عصيرِ الفاكهةِ في أحدِ المصانعِ بصورةٍ آليَّةٍ. اختيرَتْ 12 زجاجةً عشوائيًّا لقياسِ حجمِ العصيرِ داخلَ كلٍّ منْها بوحدةِ ( cm³ )، وكانَتِ النتائجُ كالآتي:

 

3) أجدُ الانحرافَ المعياريَّ لحجمِ العصيرِ داخلَ الزجاجاتِ.

4) أجدُ تباينَ حجمِ العصيرِ داخلَ الزجاجاتِ.

 

الحل :

$$\begin{gathered} 13) \\ y = 10x - 3300 \\ {{\sigma }_y}^2 \approx 1013.8 \\ {\sigma }_y \approx 31.8 \end{gathered}$$

---

$$\begin{gathered} 14) \\ {\sigma }_x \approx 3.18 \\ \sigma x^2 \approx 10.11 \end{gathered}$$

 

---

 

سجَّلَ باحثٌ المُدَّةَ (إلى أقربِ دقيقةٍ)التي استغرقَها 50 مُراجِعًا لإنجازِ معاملاتِهِمْ في إحدى الدوائرِ الحكوميةِ، وكانَتِ البياناتُ كالآتي:

5) أُنظِّمُ البياناتِ في جدولٍ تكراريٍّ.                             

6) أجدُ تباينَ البياناتِ أعلاهُ.

7) أجدُ الانحرافَ المعياريَّ للبياناتِ أعلاهُ.

الحل :

$5)$

 

مدة إنجاز  المعاملات (t)
التكرار	الإشارات	الزمن (دقيقة)
1	$l$	$3 \le t < 5$
20	$\sout{llll} \sout{llll} \sout{llll} \sout{llll}$	$5 \le t < 7$
16	$\sout{llll} \sout{llll} \sout{llll} l$	$7 \le t < 9$
8	$\sout{llll} lll$	$9 \le t < 11$
5	$\sout{llll}$	$11 \le t < 13$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

$6) {{\sigma }_t}^2 \approx 4.1$

$7) {\sigma }_t \approx 2.02$

---

 

إذا كانَتِ انحرافاتُ 8 مشاهداتٍ عنْ وسطِها الحسابيِّ كما يأتي : $2, 3 , - 4 , 2b+1 , 1 , - 2 , 1 , -1$  فأُجيبُ عنِ السؤالينِ
الآتيينِ تباعًا:
8) أجدُ قيمةَ الثابتِ b

9) أجدُ التباينَ والانحرافَ المعياريَّ لهذهِ المشاهداتِ.

الحل :

$$\begin{gathered} 8) b = -\frac{1}{2} \\ 9) {\sigma }^2 = 4.5 , \sigma \approx 2.1 \end{gathered}$$

 

---

 

10) أجدُ الانحرافَ المعياريَّ لمجموعةٍ منَ المشاهداتِ، عددُها 20 ، علمًا بأنَّ مجموعَ هذهِ المشاهداتِ هوَ 208 ، ومجموعُ

مُربَّعاتِها هوَ 2200.

الحل :

$\sigma \approx 1.3$

 

---

 

في ما يأتي مجموعةُ بياناتٍ : 

52     73     31     73     38     80     17     24

استُعمِلَتِ العلاقةُ :$y = \frac{x-3}{7}$  لتحويلِ البياناتِ، حيثُ x القيمةُ قبلَ التحويلِ، و y القيمةُ بعدَ التحويلِ:

11) أجدُ الوسطَ الحسابيَّ والانحرافَ المعياريَّ للبياناتِ بعدَ التحويلِ.

12) أجدُ الوسطَ الحسابيَّ والانحرافَ المعياريَّ للبياناتِ قبلَ التحويلِ بناءً على النتائجِ في الفرعِ السابقِ.

الحل :

$11) {\mu }_y = 6.5 {\sigma }_y \approx 3.3$

$12) {\mu }_x \approx 48.5 , {\sigma }_x \approx 23.1$

---

 

حُوِّلَتْ مجموعةٌ منَ البياناتِ، عددُها 20 ، باستعمالِ العلاقةِ: y = x – 25 ، حيثُ y القيمةُ بعدَ التحويلِ، و x القيمةُ قبلَ التحويلِ.

إذا كانَ : 3531 = Σ y = 124, Σ y² ، فأجدُ كُلًّ ممّا يأتي:

13) الوسطُ الحسابيُّ للبياناتِ قبلَ التحويلِ.

14) الانحرافُ المعياريُّ للبياناتِ قبلَ التحويلِ.

الحل :

$13) {\mu }_y = 6.2 , {\mu }_x = 31.2$

$14) {\sigma }_y \approx 11.8 , {\sigma }_x\approx 11.8$

---

 

يُبيِّنُ الجدولُ المجاورُ علاماتِ الطلبةِ في شعبتينِ منَ الصفِّ التاسعِ في اختبارِ الرياضياتِ في إحدى المدارسِ:

15) أجدُ مجموعَ علاماتِ الطلبةِ في كلِّ شعبةٍ.

16) أجدُ مجموعَ مُربَّعاتِ علاماتِ الطلبةِ في كلِّ شعبةٍ.

17) أجدُ الوسطَ الحسابيَّ لعلاماتِ طلبةِ الشعبتينِ معًا.

18) أجدُ التباينَ والانحرافَ المعياريَّ لعلاماتِ طلبةِ الشعبتينِ معًا.

الحل :

x : علامات الشعبة أ  ،   y : علامات الشعبة ب

$$\begin{gathered} \sum _{}y = 15 \times 18 = 270 \\ \underset{}{\sum x = 20 \times 14 = 280} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 16) \\ 10 = \frac{\underset{}{\sum x^2}}{20} - {14}^{2 } \Rightarrow \sum x^2 = 4120 \\ 6 = \frac{\underset{}{\sum y^2}}{15} - {18}^{2 } \Rightarrow \sum y^2 = 4950 \end{gathered}$$

---

$$\begin{gathered} 17) \\ \mu = \frac{280+270}{20+15} \approx 15.7 \end{gathered}$$

---

$$\begin{gathered} 18) \\ {\sigma }^2=\frac{4120+4950}{20+15}-{(15.7)}^2 \approx 12.7 \\ \sigma = \sqrt{12.7} \approx 3.6 \end{gathered}$$

---