الدرس الأول: التكامل غير المحدود : صفحة (8-14)
سنتعرف في درس التكامل غير المحدود إلى:
1) الاقتران الأصلي.
2) التكامل غير المحدود وعناصره.
3) قواعد أساسية للتكامل غير المحدود .
4) خصائص التكامل غير المحدود.
أولًا: الاقتران الأصلي:
سؤال(1) : إذا علمت أن الاقتران ، فجد مشتقة الاقتران .
الـحـل :
سؤال(2) : جد الاقتران الذي مشتقته هي .
الـحـل :
ويمكن أن يكون هنالك إجابات أخرى مثل:
ونلاحظ أن هنالك عددًا لا نهائيًا من الحلول المحتملة حيث مشتقة الثابت دائمًا تساوي صفرًا.
ويسمى اقترانًا أصليًا ، ويمكن كتابته على الصورة:
حيث ثابت.
ويمكن تلخيص مفهوم الاقتران الأصلي وطريقة إيجاده من خلال المخطط الآتي:
مثال(1): جد اقترانًا أصليًا لكل من الاقترانات الآتية:
الحل:
1) الاقتران الأصلي للاقتران هو :
مشتقة الاقتران الأصلي | |
بجعل أس في الاقتران الأصلي أكثر بـ 1 من أس في مشتقة اقتران القوة فمشتقة هي |
|
أضف الثابت C |
2) الاقتران الأصلي للاقتران هو :
مشتقة الاقتران الأصلي | |
بجعل أس في الاقتران الأصلي
أكثر بـ 1 من أس في مشتقة اقتران القوة ومشتقة هي |
|
أضف الثابت C |
أتحقق من فهمي: جد اقترانًا أصليا لكل من الاقترانات الآتية:
ثانيًا: التكامل غير المحدود وعناصره:
التكامل غير المحدود هو عملية عكسية للاشتقاق، وقد سمي التكامل بغير المحدود لأنه يتضمن الثابت الذي يمكن تمثيله بأي قيمة.
يمكن كتابة العلاقة بين الاقتران والاقتران الأصلي له في صورة المعادلة:
ويمكن التعبير عن هذه المعادلة دون استخدام رمز المشتقة :
وتسمى معادلة التكامل غير المحدود للاقتران
ويمكن التعرف إلى عناصر التكامل غير المحدود من خلال المخطط الآتي:
مثال(2) : اكتب معادلة التكامل غير المحدود للاقتران ، ثم حدد عناصره
الحل:
معادلة التكامل غير المحدود للاقتران هي:
عناصر معادلة التكامل غير المحدود هي:
: رمز التكامل
: المُكامَل
: متغير التكامل ( رمز يشير إلى أن التكامل يتم بالنسبة إلى المتغير )
: الاقتران الأصلي
: ثابت التكامل
أتحقق من فهمي: اكتب معادلة التكامل غير المحدود للاقتران
ثالثًا: قواعد أساسية للتكامل غير المحدود :
بما أن التكامل والاشتقاق علاقتان عكسيتان؛ حيث ؛ فإنه يمكن التوصل إلى قواعد أساسية للتكامل غير المحدود وتلخيصها بالمخطط الآتي:
مثال(3) : جد كلًا من التكاملات الآتية:
الحل:
نستخدم قاعدة تكامل الثابت؛
ملاحظة: يمكن التحقق من صحة التكامل بإيجاد مشتقة الاقتران الناتج من التكامل، ومقارنتها بالاقتران المكامَل.
أتحقق من فهمي: جد كلا من التكاملات الآتية:
قبل إيجاد تكامل اقترانات القوة ، عليك اتباع الخطوات الآتية:
مثال(4): جد كلا من التكاملات الآتية:
الحل:
التكاملات بالمثال (4) هي تكاملات قوة لذلك نستخدم قاعدة تكامل اقتران القوة بصوره المختلفة:
1) تكامل اقتران القوة هو:
تكامل اقتران القوة | |
بالتبسيط |
2) تكامل اقتران القوة هو:
بكتابة المكامَل بصورة أسيّة | |
تكامل اقتران القوة | |
بتوحيد المقامات | |
بالتبسيط | |
الصورة الجذرية لـــ
|
3) تكامل اقتران القوة هو:
تعريف الأس السالب | |
تكامل اقتران القوة | |
بالتبسيط | |
تعريف الأس السالب |
أتحقق من فهمي: جد كلا من التكاملات الآتية:
رابعًا:خصائص التكامل غير المحدود:
هنالك قواعد تسهل إيجاد تكامل الاقترانات التي تحوي أكثر من حد، مثل :
مثال(5): جد كلا من التكاملات الآتية:
الحل:
1) تكامل الاقتران هو:
تكامل المجموع | |
تكامل الاقتران المضروب بثابت | |
تكامل اقتران القوة تكتب C واحدة فقط تمثل مجموع الثابتين الناتجين من التكاملين |
|
بالتبسيط |
2) تكامل الاقتران هو:
تكامل الفرق | |
تكامل الاقتران المضروب بثابت وتحويل الصورة الجذرية إلى أسية |
|
تعريف الأس السالب | |
تكامل اقتران القوة تكتب C واحدة فقط تمثل مجموع الثابتين الناتجين من التكاملين |
|
بالتبسيط | |
تعريف الأس السالب وكتابة الصورةالجذرية لـــ |
أتحقق من فهمي: جد كلا من التكاملات الآتية:
ملاحظة: لا توجد قاعدة لإيجاد تكامل ضرب اقترانين أو قسمتهما، لذلك عليك القيام بمجموعة من الخطوات قبل إجراء عملية التكامل، ويمكن تلخيصها كالآتي:
مثال(6): جد كلا من التكاملات الآتية:
الحل:
1) تكامل الاقتران هو:
بقسمة كل حد في البسط على المقام | |
بالتبسيط | |
تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت |
2) تكامل الاقتران هو:
بضرب المقدارين الجبريين | |
بالتبسيط | |
تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت |
3) تكامل الاقتران هو:
بضرب المقدارين الجبريين، وتحويل الصورة الجذرية إلى أسية ، وتعريف الأس السالب |
|
تكامل اقتران القوة | |
بالتبسيط | |
بكتابة الصورة الجذرية |
ملاحظة: هنالك قوانين هامة يمكن الاستفادة منها - وقد تم دراستها سابقًا - لإيجاد حاصل ضرب اقترانين مثل:
1) مربع مجموع مقدارين أو الفرق بينهما ، أو تحليل الفرق بين مربعين :
2) تحليل مجموع مكعبين أو الفرق بينهما: