الضرب القياسي للمتجهات في الفضاء:

نعلم أن الضرب القياسي لمتجهين في المستوى الإحداثي يعرف بالقاعدة:

إذا كان $\stackrel{\rightharpoonup }{v}=<v_1,v_2> , \stackrel{\rightharpoonup }{w}=<w_1,w_2>$ متجهين فإن:

$\stackrel{\rightharpoonup }{v}.\stackrel{\rightharpoonup }{w}=v_1{w}_1+v_2{w}_2=\left|\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right|.\left|\stackrel{\rightharpoonup }{w}\right|.\cos \theta$

وهي كمية قياسية (قيمة عددية)

حيث $\theta$ الزاوية بين المتجهين $\stackrel{\rightharpoonup }{v} و \stackrel{\rightharpoonup }{w}$

و يمكن تعميم الضرب القياسي للمتجهين $\stackrel{\rightharpoonup }{w}=<w_1,w_2,w_3> و \stackrel{\rightharpoonup }{v}=<v_1,v_2,v_3>$ في الفضاء بالطريقة ذاتها, فيكون:

$$\begin{gathered} \stackrel{\rightharpoonup }{v}.\stackrel{\rightharpoonup }{w}=v_1.w_1+v_2.w_2+v_3.w_3 \\ \stackrel{\rightharpoonup }{v}.\stackrel{\rightharpoonup }{w}=\left|\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right|.\left|\stackrel{\rightharpoonup }{w}\right|.\cos \theta :\mathrm{أيضًا} \end{gathered}$$

حيث $\theta$ هي الزاوية بين المتجهين $\stackrel{\rightharpoonup }{w} و \stackrel{\rightharpoonup }{v}$ عند رسمها من النقطة نفسها لاحظ الشكل:

ويمكن كتابة: $\theta ={\cos }^{-1}\frac{\stackrel{\rightharpoonup }{v}.\stackrel{\rightharpoonup }{w}}{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right|.\left|\stackrel{\rightharpoonup }{w}\right|}$

حيث $\stackrel{\rightharpoonup }{w} و \stackrel{\rightharpoonup }{v}$ متجهان غير صفريين

مثال 1: إذا كان 

$$\begin{gathered} \stackrel{\rightharpoonup }{v}=<-2,4,1> , \stackrel{\rightharpoonup }{u}=<1,-1,2> \\ \stackrel{\rightharpoonup }{w}=<-3,3,-6> \\ \stackrel{\rightharpoonup }{a}=<-1,2,-10> \end{gathered}$$

فجد كل مما يلي:

$$\begin{gathered} 1)\stackrel{\rightharpoonup }{v}.\stackrel{\rightharpoonup }{w} \\ \stackrel{\rightharpoonup }{v}.\stackrel{\rightharpoonup }{w}=<-2,4,1>.<-3,3,-6> :\mathrm{الحل} \\ =(-2\left)\right(-3)+(4\left)\right(3)+(1\left)\right(-6) \\ =6+12-6=12 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 2) \stackrel{\rightharpoonup }{w} و \stackrel{\rightharpoonup }{v} \mathrm{المتجهين} \mathrm{بين} \mathrm{الزاوية} \mathrm{قياس} \\ \stackrel{\rightharpoonup }{v}.\stackrel{\rightharpoonup }{w}=\left|\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right|.\left|\stackrel{\rightharpoonup }{w}\right|.\cos \theta :\mathrm{الحل} \end{gathered}$$

حيث $\theta$ الزاوية بين المتجهين $\stackrel{\rightharpoonup }{w} و \stackrel{\rightharpoonup }{v}$

$$\begin{gathered} 12=\sqrt{4+16+1}.\sqrt{9+9+36}.\cos \theta \\ 12=\sqrt{21}.\sqrt{54} \cos \theta \\ \theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{12}{\sqrt{21}\sqrt{54}}\right) \\ \theta \approx 15° \mathrm{الحاسبة} \mathrm{الآلة} \mathrm{باستخدام} \end{gathered}$$

قياس الزاوية بين المتجهين $15° \mathrm{هو} \stackrel{\rightharpoonup }{w} و \stackrel{\rightharpoonup }{v}$ تقريبًا 

$$\begin{gathered} 3) \stackrel{\rightharpoonup }{u} و \stackrel{\rightharpoonup }{w} \mathrm{المتجهين} \mathrm{بين} \mathrm{الزاوية} \mathrm{قياس} \\ :\mathrm{الحل} \\ \stackrel{\rightharpoonup }{u}.\stackrel{\rightharpoonup }{w}=<1,-1,2>.<-3,3,-6> \\ =-3+-3+-12 \\ =-18 \\ \left|\stackrel{\rightharpoonup }{u}\right|=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6} \\ \left|\stackrel{\rightharpoonup }{w}\right|=\sqrt{9+9+36}=\sqrt{54} \\ \stackrel{\rightharpoonup }{u}.\stackrel{\rightharpoonup }{w}=\left|\stackrel{\rightharpoonup }{u}\right|.\left|\stackrel{\rightharpoonup }{w}\right|.\cos \theta :\mathrm{باستخدام} \\ -18=\sqrt{6}\sqrt{54}.\cos \theta :\stackrel{\rightharpoonup }{w} و \stackrel{\rightharpoonup }{u} \mathrm{بين} \mathrm{الزاوية} \theta \mathrm{حيث} \\ \cos \theta =\frac{-18}{\sqrt{324}}=-1 \\ \theta =180° \mathrm{فإن} \cos \theta =-1 \mathrm{أن} \mathrm{بما} \end{gathered}$$

وهذا يعني أن المتجهين $\stackrel{\rightharpoonup }{w} و \stackrel{\rightharpoonup }{u}$ متعاكسان في الاتجاه (أي أنهما متوازيان)

$$\begin{gathered} 4)\stackrel{\rightharpoonup }{a} و \stackrel{\rightharpoonup }{v} \mathrm{المتجهين} \mathrm{بين} \mathrm{الزاوية} \mathrm{قياس} \\ :\mathrm{الحل} \\ \stackrel{\rightharpoonup }{a}.\stackrel{\rightharpoonup }{v}=<-1,2,-10>.<-2,4,1> \\ =2+8+-10=0 \\ :\mathrm{فإن} \beta \mathrm{هي} \stackrel{\rightharpoonup }{v} و \stackrel{\rightharpoonup }{a} \mathrm{بين} \mathrm{الزاوية} \mathrm{أن} \mathrm{وبفرض} , \left|\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right|\ne 0 و \left|\stackrel{\rightharpoonup }{a}\right|\ne 0 \mathrm{ولأن} \\ \cos \beta =\frac{\stackrel{\rightharpoonup }{a}.\stackrel{\rightharpoonup }{v}}{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{a}\right|.\left|\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right|}=0 \\ \beta =90° \end{gathered}$$

أي أن المتجهين $\stackrel{\rightharpoonup }{v} و \stackrel{\rightharpoonup }{a}$ متعامدان.

لاحظ أنه:

عندما تكون الزاوية بين المتجهين $\stackrel{\rightharpoonup }{v} و \stackrel{\rightharpoonup }{a}$ قائمة

$\stackrel{\rightharpoonup }{a}.\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\left|\stackrel{\rightharpoonup }{a}\right|.\left|\stackrel{\rightharpoonup }{v}\right|.\cos 90° :\mathrm{فإن}$

بذلك:

يمكن استنتاج شرط تعامد متجهين غير صفرين, هو أن ناتج ضربهما القياسي يساوي صفرٍا

الزاوية بين مستقيمين في الفضاء:

يمكن إيجاد قياس الزاوية بين أي مستقيمين في الفضاء عن طريق إيجاد قياس الزاوية بين اتجاهيهما باستعمال الضرب القياسي للمتجهات

مثال2: جد قياس الزاوية الحادة (مقربة إلى أقرب درجة) بين المستقيمين التي معادلتيهما المتجهة:

$$\begin{gathered} L_1:\stackrel{\rightharpoonup }{r}=<1,-3,4>+t<1,3,-4> \\ {L}_2:\stackrel{\rightharpoonup }{r}=-\hat{i}+\hat{j}-2\hat{R}+s(-\hat{i}-4\hat{j}-2\hat{R}) \end{gathered}$$

الحل:

بإيجاد الضرب القياسي لمتجهي اتجاه المستقيمين:

$$\begin{gathered} \stackrel{\rightharpoonup }{a}=<1,3,-4> :L_1 \mathrm{المستقيم} \mathrm{اتجاه} \\ \stackrel{\rightharpoonup }{b}=<-1,-4,-2> :L_2 \mathrm{المستقيم} \mathrm{اتجاه} \\ \stackrel{\rightharpoonup }{a}.\stackrel{\rightharpoonup }{b}=-1+-12+8=-5 \\ :\left|\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right| و \left|\stackrel{\rightharpoonup }{a}\right| \mathrm{من} \mathrm{كل} \mathrm{بإيجاد} \\ \left|\stackrel{\rightharpoonup }{a}\right|=\sqrt{1+9+16}=\sqrt{26} \\ \left|\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right|=\sqrt{1+16+4}=\sqrt{21} \end{gathered}$$

باستخدام صيغة الزاوية بين المتجهين $\theta \mathrm{وهي} ,\stackrel{\rightharpoonup }{b} و \stackrel{\rightharpoonup }{a}$:

$$\begin{gathered} \cos \theta =\frac{\stackrel{\rightharpoonup }{a}.\stackrel{\rightharpoonup }{b}}{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{a}\right|.\left|\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right|} \\ \cos \theta =\frac{-5}{\sqrt{26}\sqrt{21}} \\ \theta ={\cos }^{-1}\frac{-5}{\sqrt{26}\sqrt{21}} \\ \theta \approx 102° :\mathrm{الحاسبة} \mathrm{الآلة} \mathrm{باستخدام} \end{gathered}$$

فيكون قياس الزاوية بين المستقيمين L₁ و L₂ تقريبا 102 وهي زاوية منفرجة.

قياس الزاوية الحادة بين المستقيمين L₁ و L₂ j تقريبا هي

$180°-102°=78°$

إيجاد مساحة المثلث باستعمال المتجهات:

يمكن توظيف الضرب القياسي للمتجهات في إيجاد مساحة مثلث في الفضاء عُلمت إحداثيات رؤوسه.

لاحظ الشكل المجاور:

لإيجاد مساحة المثلث ABC:

1)نجد متجهين لهما نقطة البداية نفسها مثل:$\stackrel{\rightharpoonup }{AC} و \stackrel{\rightharpoonup }{AB}$

2)نجد قياس الزاوية بينهما $\theta$ عن طريق الضرب القياسي وصيغة الزاوية بين المتجهين.

3)نستخدم صيغة مساحة المثلث:

$Area=\frac{1}{2}\left|\stackrel{\rightharpoonup }{AB}\right|.\left|\stackrel{\rightharpoonup }{AC}\right|.\sin \theta$

مثال 3: جد مساحة المثلث ABC حيث:

A(0,1,3) , B(1,-2,3) , C(-2,1,4)

الحل: بإيجاد المتجهين$\stackrel{\rightharpoonup }{AC} و \stackrel{\rightharpoonup }{AB}$:

$$\begin{gathered} \stackrel{\rightharpoonup }{AB}=<1-0,-2-1,3-3> \\ =<1,-3,0> \\ \stackrel{\rightharpoonup }{AC}=<-2-0,1-1,4-3> \\ =<-2,0,1> \end{gathered}$$

بإيجاد قياس الزاوية $\theta$ بين المتجهين $\stackrel{\rightharpoonup }{AC} و \stackrel{\rightharpoonup }{AB}$:

$$\begin{gathered} \stackrel{\rightharpoonup }{AB}.\stackrel{\rightharpoonup }{AC}=<1,-3,0>.<-2,0,1> \\ =-2+0+0 \\ =-2 \\ \left|\stackrel{\rightharpoonup }{AB}\right|=\sqrt{1+9+0}=\sqrt{10} \\ \left|\stackrel{\rightharpoonup }{AC}\right|=\sqrt{4+0+1}=\sqrt{5} \\ \theta ={\cos }^{-1}\frac{\stackrel{\rightharpoonup }{AB}.\stackrel{\rightharpoonup }{AC}}{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{AB}\right|.\left|\stackrel{\rightharpoonup }{AC}\right|} \\ \theta ={\cos }^{-1}\frac{-2}{\sqrt{10}\sqrt{5}} \\ \theta \approx 106.4° :\mathrm{الحاسبة} \mathrm{الآلة} \mathrm{باستخدام} \\ Area=\frac{1}{2}\left|\stackrel{\rightharpoonup }{AB}\right|.\left|\stackrel{\rightharpoonup }{AC}\right|.\sin \theta :\mathrm{وبذلك} \\ =\frac{1}{2}\left(\sqrt{10}\sqrt{5}\right)(\sin 106.4° ) \\ \approx 3.4 \end{gathered}$$

فتكون مساحة المثلث ABC تقريبًا 3.4 وحدة مربعة.

مسقط العامود على مستقيم من نقطة خارجه:

مسقط العمود من النقطة p  الواقعة خارجه المستقيم L هي نقطة تقاطع العمود من p على L مع المستقيم L لاحظ الشكل أدناه:

النقطة F هي مسقط العمود من P على المستقيم L .

وإذا كانت النقطة p تقع على المستقيم L فمسقط العمود هو نفس النقطة P

و يمكن توظيف الضرب القياسي للمتجهات في إيجاد مسقط العمود من النقطة p على المستقيم L باستخدام شرط تعامد متجهين.

وكذلك يمكن إيجاد أقصر مسافة في الفضاء بين نقطة ومستقيم وذلك بإيجاد البعد بين النقطة p ومسقط العمود منها على المستقيم L.

مثال 4: إذا كانت   $\stackrel{\rightharpoonup }{r}=<1,-1,2>+t<1,4,-1>$ معادلة متجهة للمستقيم L والنقطة p(2,2,-3) لا تقع عليه.

1)جد مسقط العمود من النقطة p على المستقيم L

 

الحل: لاحظ الشكل المجاور:

حيث o نقطة الأصل F مسقط العمود من p على المستقيم L 

بكتابة $\stackrel{\rightharpoonup }{OF} و \stackrel{\rightharpoonup }{OP} \mathrm{بدلالة} \stackrel{\rightharpoonup }{PF}$ باستخدام قاعدة المثلث في جمع المتجهات:

$$\begin{gathered} \stackrel{\rightharpoonup }{PF}=\stackrel{\rightharpoonup }{PO}+\stackrel{\rightharpoonup }{OF} \\ =-\stackrel{\rightharpoonup }{OP}+\stackrel{\rightharpoonup }{OF} \\ O(0,0,0) \mathrm{حيث} \\ P(2,2,-3) \\ F(1+t,-1+4t,2-t) \end{gathered}$$

ولأن F تقع على المستقيم L إذن F تحقق معادلته المتجهة وهي:

$$\begin{gathered} \stackrel{\rightharpoonup }{r}=<1,-1,2>+t<1,4,-1> \\ \stackrel{\rightharpoonup }{PF}=-<2,2,-3>+<1+t,-1+4t,2-t> \\ =<t-1,4t-3,-t+5> \end{gathered}$$

بما أن $\stackrel{\rightharpoonup }{PF}$ يعامد المستقيم L فإن $\stackrel{\rightharpoonup }{PF}$ يعامد اتجاه المستقيم L أي أن:

$$\begin{gathered} <1,4,-1> \mathrm{يعامد} \stackrel{\rightharpoonup }{PF} \\ \stackrel{\rightharpoonup }{PF}.<1,4,-1>=0 (\mathrm{التعامد} \mathrm{شرط}) \mathrm{إذن} \\ <t-1,4t-3,-t+5>.<1,4,-1>=0 \\ (t-1)+4(4t-3)+-1(-t+5)=0 \\ t-1+16t-12+t-5=0 \\ 18t-18=0 \\ t=1 \end{gathered}$$

لتحديد النقطة F نعوض t=1 في متجه موقع النقطة F 

$$\begin{gathered} \stackrel{\rightharpoonup }{OF}=<1+t,-1+4t,2-t> \\ =<2,3,1> \end{gathered}$$

فيكون مسقط العمود من p على المستقيم L هو النقطة F(2,3,1)

2)جد بُعد النقطة p عن المستقيم L

الحل: لإيجادبعد النقطة p عن المستقيم L نجد طول المتجه $\stackrel{\rightharpoonup }{PF}$ لكن: F(2,3,1) , p(2,2,-3)

فيكون:

$$\begin{gathered} \stackrel{\rightharpoonup }{PF}=<2-2,3-2,1--3> \\ =<0,1,4> \\ \left|\stackrel{\rightharpoonup }{PF}\right|=\sqrt{0+1+16}=\sqrt{17} :\mathrm{إذن} \end{gathered}$$

فيكون بُعد النقطة P عن المستقيم L هو $\sqrt{17}$ وحدة

استعمال المتجهات لتحديد قياسات في الفضاء:

يمكن توظيف الضرب القياسي للمتجهات في إيجاد قياسات بعض الزوايا والأضلاع في مستويات مائلة ضمن أشكال ثلاثية الأبعاد 

مثال:

يظهر الشكل المجاور الهرم ABCDE, قاعدته المربعة ABCD والنقطة M منتصف $\overline{BC}$

حيث:

$A(2,01) , B(10,-2,-1) , C(10,-8,5) , D(2,-6,7) , E(10,5,9)$

جد قياس الزاوية AME مقربة إلى أقرب عُشر درجة

الحل: 

نفرض أن الزاوية AME=$\theta$ 

الزاوية $\theta$ محصورة بين المتجهين $\stackrel{\rightharpoonup }{ME} و \stackrel{\rightharpoonup }{MA}$ ولهما نقطة البداية نفسها (M)

إحداثيات النقطة M منتصف $\overline{BC}$ هي:

$$\begin{gathered} M(\frac{10+10}{2},\frac{-2-8}{2},\frac{-1+5}{2}) \\ M(10,-5,2) \\ A(2,0,1) , E(10,5,9) , M(10,-5,2): \mathrm{النقط} \\ \stackrel{\rightharpoonup }{ME}=<10-10,5--5,9-2> \\ =<0,10,7> \\ \stackrel{\rightharpoonup }{MA}=<2-10,0--5,1-2> \\ =<-8,5,-1> \\ :\theta \mathrm{الزاوية} \mathrm{قياس} \mathrm{لإيجاد} \mathrm{القياسي} \mathrm{الضرب} \mathrm{نستخدم} \\ \stackrel{\rightharpoonup }{ME}.\stackrel{\rightharpoonup }{MA}=\left|\stackrel{\rightharpoonup }{ME}\right|.\left|\stackrel{\rightharpoonup }{MA}\right|.\cos \theta \\ <0,10,7>.<-8,5,-1>=\sqrt{0+100+49}.\sqrt{64+25+1}.\cos \theta \\ 0+50+-7=\sqrt{149}.\sqrt{90}\cos \theta \\ 43=\sqrt{149}\sqrt{90} \cos \theta \\ \cos \theta =\frac{43}{\sqrt{149}\sqrt{90}} \\ \theta ={\cos }^{-1}\frac{43}{\sqrt{149}\sqrt{90}} \\ \theta \approx 68.2° :\mathrm{الحاسبة} \mathrm{الآلة} \mathrm{باستخدام} \\ 68.2° \mathrm{تقريبا} \mathrm{تساوي} AME \mathrm{الزاوية} \mathrm{قياس} :\mathrm{إذن} \end{gathered}$$