المساحة والحجوم:
إيجاد المساحة المحصورة بين اقترانين:
مفهوم أساسي:
إذا كان كل من f(x), g(x) اقترانين متصلين في الفترة [a,b], وكان لكل قيم x في الفترة [a,b] فإن مساحة المنطقة المحصورة بين f,g تعطى بالعلاقة:
مثال 1:
جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقترانين
الحل:
1)بداية سنجد نقاط التقاطع بين f,y ولكن يجب أن نجعل y موضوع قانون (y=4)
بحل المعادلة
2)سنجد مساحة المنطقة المحصورة بتطبيق العلاقة السابقة
لاحظ أن القيمة كانت سالبة لأننا لم نحدد أي الاقترانين هو الأكبر, لكن ذلك لا يؤثر في صحة الحل لأننا سنعالج ذلك بأخذ القيمة المطلقة للناتج.
مثال 2:
أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقترانين في الفترة [0,2].
الحل:
1)سنجد نقاط التقاطع بين f,g:
نلاحظ إنه عند x=1 يتقاطع الاقترانان.
2)وهذا يعني أن المنطقة ستنقسم إلى منطقتين في الفترة [0,2]
3)سنطبق العلاقة
ومنه فإن:
مثال 3:
أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقترانين في الفترة .
الحل:
1)سنجد نقاط التقاطع بين الاقترانين
2)ستنقسم المنطقة بين الاقترانين إلى منطقتين
ملاحظة تكتب الحدود بالترتيب التصاعدي
مثال:
أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقترانين
الحل:
1) سنجد نقاط التقاطع بين الاقترانين
وسنجعل y موضوع قانون في الاقتران الثاني
2)سنجد مساحة المنطقة المحصورة
بالتالي فإن المساحة الكلية:
التكامل ومنحنى السرعة المتجهة:
تعلم من مرحلة سابقة أن الإزاحة هي التغير في موقع الجسيم فإذا كان s(t) يمثل اقتران موقع الجسيم عند الزمن t فإن الإزاحة على الفترة الزمنية هي:
أما المسافة المقطوعة فهي كمية موجبة دائمًا وتساوي:
بحيث أن v(t) هو منحنى السرعة المتجهة لجسيم يتحرك في خط مستقيم ومن المهم ملاحظته أن المساحة المحصورة بين منحنى السرعة المتجهة-الزمن والمحور x
إذا وقعت فوق المحور x فهي كمية موجبة
وإذا وقعت تحت المحور x فهي كمية سالبة
فإذا كان الحديث عن الإزاحة فالمنطقة فوق المحور موجبة وتحته سالبة
وإذا كان الحديث عن المسافة فالمنطقة دائمًا موجبة
مثال 1:
يبين الشكل المجاور منحنى السرعة المتجهة - الزمن لجسيم يتحرك على المحور x في الفترة الزمنية [0,6], إذا بدأ الجسم الحركة عند x=1, عندما كانت t=0.
فأجد كلًا مما يأتي:
1)إزاحة الجسيم في الفترة [0,6].
الحل: سنجد المساحة المحصورة بين منحنى السرعة المتجهة - الزمن والمحور x.
فالمساحة A1 هي مساحة المثلث في الفترة [0,1].
ولأنها تمثل الإزاحة تحت المحور x فهي .
والمساحة A2 هي مساحة المثلث والمستطيل في الفترة [1,6].
ولأنها تمثل الإزاحة فوق المحور x فهي 9+
بالتالي فإن:
أو من خلال القانون
2) المسافة التي قطعها الجسيم في الفترة [0,6].
الحل: يمكن القول أن المسافة تساوي
3)الموقع النهائي للجسيم.
الحل: يقصد بالموقع النهائي للجسيم موقعه بعد 6 ثواني أي s(6)
ونحن نعلم أن:
ومن المعطيات نجد أن الموقع الابتدائي s(0)=1
والإزاحة حسبت في الفرع (1) وتساوي
بالتالي:
الحجوم الدورانية:
تعلم أن أي مساحة محصورة بين منحنيين إذا دارت حول المحور x فإنها تنتج مجسمًا دورانيًا يمكن إيجاد حجمه باستخدام التكامل على النحو التالي:
وهو حجم الجسم الناتج عن دوران المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران y=f(x) دورة كاملة حول المحور x في الفترة [a,b]
مثال: أجد حجم الجسم المتولد عن دوران المنطقة المحصورة بين ومحور x في الفترة [0,3].
الحل:
والآن سنجد حجم الجسم الناتج عن دوران المنطقة المحصورة بين اقترانين.
حيث a,b هما نقاط التقاطع بين الاقترانين f,g وعلى الترتيب.
مثال أجد حجم الجسم المتولد من دوران المنطقة المحصورة بين منحنى الاقترانين حول المحور x.
الحل: سنجد الإحداثي x لنقاط التقاطع
سنستخدم قانون الحجم