JO Academy school

Here you can browse Jo Academy school, the curriculum, questions, explanations, and much more

المستقيملت في الفضاء

رياضيات - Grade التوجيهي علمي

book syllabus

the explanation

outputs

summary

work sheets

lesson questions solve

توازي المتجهات:

درسنا سابقًا أن ضرب المتجه $\overset{⇀}{v}$ في عدد حقيقي R $(R \neq 0)$ , ينتج عنه متجه جديد, له نفس اتجاه $\overset{⇀}{v}$ إذا كانت R>0, وعكس اتجاه $\overset{⇀}{v}$ إذا كانت R<0.

فمثلًا: المتجه $4 \overset{⇀}{v}$ هو متجه له نفس اتجاه $\overset{⇀}{v}$ ومقداره يساوي أربعة أمثال مقدار $\overset{⇀}{v}$

والمتجه $\frac{- 1}{2} \overset{⇀}{v}$ هو متجه له عكس اتجاه $\overset{⇀}{v}$ , ومقداره يساوي نصف مقدار $\overset{⇀}{v}$ .

فبذلك تكون المتجهات $\frac{- 1}{2} \overset{⇀}{v}, 4 \overset{⇀}{v}, \overset{⇀}{v}$ متوازية.

لذلك: تقول عن المتجهين $\overset{⇀}{u} = < u_{1}, u_{2}, u_{3} >, \overset{⇀}{v} = < v_{1}, v_{2}, v_{3} >$ أنهما متوازيان, إذا وفقط إذا أمكن كتابة:

$< v_{1}, v_{2}, v_{3} > = R < u_{1}, u_{2}, u_{3} >$ حيث R عدد حقيقي, $R \neq 0$ .

ويمكن توظيف توازي المتجهات في:

1)اثبات بعض خصائص الأشكال الهندسية.

2)اثبات أن ثلاثة نقاط تقع على استقامة واحدة.

مثال 1: إذا كان:

A(1,-2,3),B(3,-5,7), C(-5,7,-9), D(5,-8,10),E(-1,f,g)

1) هل $\overset{⇀}{C D} / / \overset{⇀}{A B}$ ?

الحل: نجد المتجهين $\overset{⇀}{C D} و \overset{⇀}{A B}$ :

$\overset{⇀}{A B} = < 3 - 1, - 5 + 2, 7 - 3 > = < 2, - 3, 4 > \overset{⇀}{C D} = < 5 + 5, - 8 - 7, 10 + 9 > = < 10, - 15, 19 >$

نلاحظ أنه لا يوجد عدد حقيقي R بحيث يكون المتجه:

$\overset{⇀}{C D} = < 10, - 15, 19 > للمتجه مساويًا R \overset{⇀}{A B} = R < 2, - 3, 4 > \overset{⇀}{C D} يوازي لا \overset{⇀}{A B} : لذلك$

2)بين أن النقاط C,B,A تقع على استقامة واحدة.

الحل: نجد المتجهين $\overset{⇀}{A C}, \overset{⇀}{A B}$ : (لهما البداية نفسها)

$\overset{⇀}{A B} = < 2, - 3, 4 > \overset{⇀}{A C} = < - 5 - 1, 7 + 2, - 9 - 3 > = < - 6, 9, - 12 > = - 3 < 2, - 3, 4 > = - 3 \overset{⇀}{A B} \overset{⇀}{A C} = - 3 \overset{⇀}{A B} : أن نلاحظ$

إذن: المتجهان $\overset{⇀}{A B}, \overset{⇀}{A C}$ متوازيان ولأن لهما نقطة البداية نفسها A, فإن النقاط C,B,A تقع على استقامة واحدة.

3) إذا كان $\overset{⇀}{A B}$ يوازي $\overset{⇀}{E C}$ فجد قيمة الثابتين f و g.

الحل: نجد المتجهين: $\overset{⇀}{E C} و \overset{⇀}{A B}$

$\overset{⇀}{A B} = < 2, - 3, 4 > \overset{⇀}{E C} = < - 5 + 1, 7 - f, - 9 - g > = < - 4, 7 - f, - 9 - g >$

بما أن $\overset{⇀}{E C} يوازي \overset{⇀}{A B}$ فإنه يوجد عدد حقيقي $0 \neq R$ بحيث أن:

$\overset{⇀}{E C} = R (\overset{⇀}{A B}) < - 4, 7 - f, - 9 - g > = R < 2, - 3, 4 > - 4 = 2 R \to R = - 2 : فيكون 7 - f = - 2 (- 3) \to f = 1 - 9 - g = - 2 (4) \to g = - 1$

مثال 2: في المثلث ABC المجاور, $\overset{⇀}{A B} = 6 \overset{⇀}{m}, \overset{⇀}{A C} = 9 \overset{⇀}{n}$ ، D تقع على $\overset{⇀}{A B}$ بحيث أن DB=2DA

E تقع على $\overset{⇀}{A C}$ بحيث أن $\overset{⇀}{C E} = - 6 \overset{⇀}{n}$ أثبت أن $\overset{⇀}{B C} يوازي \overset{⇀}{D E}$

الحل: لاحظ التمثيل أعلاه:

نكتب المتجهين $\overset{⇀}{n} و \overset{⇀}{m} بدلالة \overset{⇀}{B C} و \overset{⇀}{D E}$ :

$\overset{⇀}{B C} = \overset{⇀}{B A} + \overset{⇀}{A C} = - 6 \overset{⇀}{m} + 9 \overset{⇀}{n} = 3 (- 2 \overset{⇀}{m} + 3 \overset{⇀}{n}) . . . . . (1) \overset{⇀}{D E} = \overset{⇀}{D A} + \overset{⇀}{A E} \overset{⇀}{D B} = 2 \overset{⇀}{A D} : فيكون D B = 2 D A : لكن \overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{A D} + \overset{⇀}{D B} = \overset{⇀}{A D} + 2 \overset{⇀}{A D} = 3 \overset{⇀}{A D} 6 \overset{⇀}{m} = 3 \overset{⇀}{A D} 2 \overset{⇀}{m} = \overset{⇀}{A D} \to D A = - 2 \overset{⇀}{m} . . . (2) \overset{⇀}{E C} = 6 \overset{⇀}{n} فيكون, \overset{⇀}{C E} = - 6 \overset{⇀}{n} : وكذلك \overset{⇀}{A C} = \overset{⇀}{A E} + \overset{⇀}{E C} 9 \overset{⇀}{n} = \overset{⇀}{A E} + 6 \overset{⇀}{n} \overset{⇀}{A E} = 3 \overset{⇀}{n} . . . . (3) \overset{⇀}{D E} = \overset{⇀}{D A} + \overset{⇀}{A E} (3) و (2) من : فيكون = - 2 \overset{⇀}{m} + 3 \overset{⇀}{n} : أن نلاحظ \overset{⇀}{B c} = 3 (- 2 \overset{⇀}{m} + 3 \overset{⇀}{n}) \overset{⇀}{D E} = - 2 \overset{⇀}{m} + 3 n$

إذن: المتجهان $\overset{⇀}{D E} و \overset{⇀}{B C}$ متوازيان.

مثال 3: في متوازي الأضلاع ABCD المجاور, إذا كان

$\overset{⇀}{A B} = 6 \overset{⇀}{b} \overset{⇀}{A D} = 4 \overset{⇀}{a} \overset{⇀}{D C} منتصف E \overset{⇀}{B C} منتصف F$

G تقع على امتداد $\overset{⇀}{A B}$ من جهة B حيث BG:AG=1:3

أثبت أن النقاط E و F و G تقع على استقامة واحدة.

الحل: لاحظ الشكل المجاور: نكتب المتجهين $\overset{⇀}{b} و \overset{⇀}{a} بدلالة \overset{⇀}{F G} و \overset{⇀}{F E}$ حيث أن لهما البداية نفسها (F).

(لاحظ أن ضلعي متوازي الأضلاع المتقابلين, متوازيان ولهما الطول نفسه)

$\overset{⇀}{F E} = \overset{⇀}{F C} + \overset{⇀}{C E} \overset{⇀}{B C} = \overset{⇀}{A D} = 4 \overset{⇀}{a} و \overset{⇀}{B C} منتصف F لكن \overset{⇀}{F C} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{B C} = 2 \overset{⇀}{a} . . . . (1) \overset{⇀}{D C} = \overset{⇀}{A B} = 6 \overset{⇀}{b} و \overset{⇀}{D C} منتصف E وكذلك \overset{⇀}{E C} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{D C} = 3 \overset{⇀}{b} \overset{⇀}{C E} = \overset{⇀}{b} - \overset{⇀}{E C} \overset{⇀}{C E} = - 3 \overset{⇀}{b} . . . (2) (2) و (1) من \overset{⇀}{F E} = \overset{⇀}{F C} + \overset{⇀}{C E} = 2 \overset{⇀}{a} - 3 \overset{⇀}{b} . . . . (3) \overset{⇀}{F G} = \overset{⇀}{F B} + \overset{⇀}{B G} \overset{⇀}{F B} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{C B} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{D A} = - 2 \overset{⇀}{a} . . . . (4) لكن \overset{⇀}{A G} = \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{B G} 9 \overset{⇀}{b} = 6 \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{B G} \overset{⇀}{B G} = 3 \overset{⇀}{b} . . . . (5) \frac{B G}{A G} = \frac{1}{3} لأن ِ A G = 3 B G A B + B G = 3 B G A B = 2 B G \overset{⇀}{A B} = 2 \overset{⇀}{B G} 6 \overset{⇀}{b} = 2 \overset{⇀}{B G} \overset{⇀}{B G} = 3 \overset{⇀}{b} \overset{⇀}{A G} = 3 \overset{⇀}{B G} = 3 (3 \overset{⇀}{b}) : لكن \overset{⇀}{A G} = 9 \overset{⇀}{b}) (5) و (4) من \overset{⇀}{F G} = \overset{⇀}{F B} + \overset{⇀}{B G} = - 2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{3 b} . . . (6) \overset{⇀}{F E} = 2 \overset{⇀}{a} - 3 \overset{⇀}{b} : (6) و (3) من \overset{⇀}{F G} = - 2 \overset{⇀}{a} + 3 \overset{⇀}{b} = - 1 (2 \overset{⇀}{a} - 3 \overset{⇀}{b}) متوازيان \overset{⇀}{F G} و \overset{⇀}{F E} المتجهان : إذن$

ولأن لهما نفس البداية F فإن النقاط E و F و G تقع على استقامة واحدة

المعادلة المتجهة للمستقيم:

لكتابة المعادلة المتجهة لمستقيم في الفضاء نحتاج إلى معرفة نقطة تقع عليه, ومتجه يوازيه وتكون المعادلة المتجهة على الصورة:

$\overset{⇀}{r} = \overset{⇀}{r_{0}} + t \overset{⇀}{v}$

حيث:

$\overset{⇀}{r_{0}}$ هو متجه الموقع للنقطة الواقعة على المستقيم

$\overset{⇀}{v}$ هو متجه يوازي المستقيم (ويسمى: اتجاه المستقيم)

t هو المتغير الوسيط

ويفضل أن يكون العامل المشترك الأكبر لإحداثيات المتجه $\overset{⇀}{v}$ في صورته الإحداثية (1).

مثال 4: جد المعادلة المتجهة للمستقيم L الذي يمر بالنقطة p(1,-4,9) ويوازي المتجه $\overset{⇀}{v} = < - 3, 15, 12 >$

الحل: متجه الموقع للنقطة p هو $< 1, - 4, 9 >$

اتجاه المستقيم L هو : $\overset{⇀}{v} = < - 3, 15, 12 >$ ويمكن قسمة الإحداثيات على 3 فينتج اتجاه المستقيم L:

$\overset{⇀}{u} = < - 1, 5, 4 >$

فتكون المعادلة للمتجه المستقيم L هي:

$\overset{⇀}{r} = < 1, - 4, 9 > + t < - 1, 5, 4 >$

ويمكن كتابتها باستخدام متجهات الوحدة على الصورة:

$\overset{⇀}{r} = \hat{i} - 4 \hat{j} + 9 \hat{R} + t (\hat{i} + 5 \hat{j} + 4 \hat{R})$

مثال 5:

جد المعادلة المتجهة للمستقيم المار بالنقطتين B(5,-7,10) , A(1,3,-4)

الحل: لإيجاد اتجاه المستقيم: نجد المتجه $\overset{⇀}{A B}$

$\overset{⇀}{A B} = < 5 - 1, - 7 - 3, 10 + 4 > = < 4, - 10, 14 > = 2 < 2, - 5, 7 >$

فيكون اتجاه المستقيم هو $< 2, - 5, 7 >$ وهو متجه يوازي المستقيم ومعادلته المتجهة هي: $\overset{⇀}{r} = < 1, 3, - 4 > + t < 2, - 5, 7 >$

ويمكن استبدال متجه موقع النقطة A باتجاه موقع النقطة B لأن كلا النقطتان A و B تقع على المستقيم.

مثال 6: بين أن النقطة A(2,-8,-10) تقع على المستقيم الذي معادلته $\overset{⇀}{r} = < 0, 2, - 4 > + t < - 1, 5, 3 >$

الحل:

A(2,-8,-10)

نعوض متجه موقع النقطة A في معادلة المستقيم:

$< 2, - 8, - 10 > = < 0, 2, - 4 > + t < - 1, 5, 3 >$

تنتج المعادلات التالية:

$2 = 0 + - t \to t = - 2 - 8 = 2 + 5 t \to 5 t = - 10 \to t = - 2 - 10 = - 4 + 3 t \to 3 t = - 6 \to t = - 2$

بما أن المعادلات الثلاث نتج عنها الحل نفسه (t=-2) فإن النقطة A(2,-8,-10) تقع على المستقيم.

مثال 7:إذا كانت النقطة p(x,7,z) تقع على المستقيم الذي معادلته المتجه:

$\overset{⇀}{r} = < - 1, 4, 2 > + t < - 2, - 1, 1 >$

فجد قيمة كل من الثابتين x و z.

الحل: تعويض متجه موقع النقطة p في المعادلة المتجه للمستقيم:

$< x, 7, z > = < - 1, 4, 2 > + t < - 2, - 1, 1 > < x, 7, z > = < - 1 + - 2 t, 4 - t, 2 + t >$

بما أن الإحداثي y هو 7 , فإن:

$7 = 4 - t t = - 3$

وبتعويض t=-3 ينتج أن:

$x = - 1 - 2 (- 3) = 5 z = 2 + (- 3) = - 1$

المستقيمات المتوازية والمتقاطعة والمتخالفة في الفضاء:

نقول عن مستقيمين في الفضاء أنهما متخالفان إذا لم يوجد مستوى يحويهما ولم يتقاطعا مثل المستقيمين L و h في الشكل المجاور.

وإذا كان لدينا المستقيمان:

$L_{1} : \overset{⇀}{r} = \overset{⇀}{a} + t \overset{⇀}{b} L_{2} : \overset{⇀}{r} = \overset{⇀}{c} + u \overset{⇀}{d}$

1)يتوازى المستقيمان L₁ و L₂ إذا وفقط إذا كان لهما الاتجاه نفسه (أي أن $\overset{⇀}{d} يوازي \overset{⇀}{b}$ )

2)يتقاطع المستقيمان L₁ و L₂ إذا نتجت قيمة واحدة فقط لكل من المتغيرين الوسيطين t و u عند حل المعادلات الثلاث الناتجة من مساواة متجهي الموقع $\overset{⇀}{r}$ للمستقيمين.

3)إذا لم يكن المستقيمان متوازيين أو متقاطعين يكونان متخالفين.

مثال 8: إذا كان لدينا المستقيمات:

$L_{1} : \overset{⇀}{r} = < 3, - 2, 4 > + t < - 1, 2, 5 > L_{2} : \overset{⇀}{r} = < 1, 5, 2 > + u < 1, - 3, - 1 > L_{3} : \overset{⇀}{r} = < 0, 2, - 5 > + t < 1, - 2, - 5 >$

1)أي المستقيمات الثلاثة متوازية مع بعضها؟

الحل: لاحظ اتجاه كل مستقيم:

$L_{1} : < - 1, 2, 5 > L_{2} : < 1, - 3, - 1 > L_{3} : < 1, - 2, - 5 > = - 1 < - 1, 2, 5 >$

نلاحظ أن المتجهين $< 1, - 2, - 5 > و < - 1, 2, 5 >$ متوازيان وهما يمثلان اتجاهي المستقيمين L₁ , L₃

إذن المستقيمان L₁ و L₃ متوازيان

2)بين أن المستقيمين L₁ و L₂ متقاطعان وجد نقطة تقاطعهما.

الحل: تساوي متجهي الموقع

$< 3, - 2, 4 > + t < - 1, 2, 5 > = < 1, 5, 2 > + u < 1, - 3, - 1 >$

تنتج المعادلات التالية:

$1) 3 - t = 1 + u 2) - 2 + 2 t = 5 - 3 u 3) 4 + 5 t = 2 - u$

بحل المعادلتين (1) و(2):

$1) (3 - t = 1 + u) 2 \to 6 - 2 t = 2 + 2 u 2) - 2 + 2 t = 5 - 3 u \to - 2 + 2 t = 5 - 3 u______________4 = 7 - u u = 3$

بتعويض u=3 في معادلة (1)

$3 - t = 1 + 3 \to t = - 1$

بتعويض u=3 و t=-1 في معادلة (3) ينتج:

$4 + 5 (- 1) = 2 - (3) \to - 1 = - 1$

وهي معادلة صحيحة

إذن المستقيمان L₁ و L₂ متقاطعان.

ولإيجاد نقطة التقاطع نعوض t=-1 في المعادلة المتجه للمستقيم L₁ (أو u=3 في المعادلة المتجه للمستقيم L₂)

$L_{1} : \overset{⇀}{r} = < 3, - 2, 4 > + t < - 1, 2, 5 > = < 3, - 2, 4 > + - 1 < - 1, 2, 5 > = < 4, - 4, - 1 >$

إذن متجه الموقع لنقطة التقاطع هو: $< 4, - 4, - 1 >$

فتكون نقطة التقاطع هي $(4, - 4, - 1)$

3) هل المستقيمان L₂ و L₃ متخالفان؟ وضح ذلك

الحل: نساوي متجهي الموقع: $< 1, 5, 2 > + u < 1, - 3, - 1 > = < 0, 2, - 5 > + v < 1, - 2, - 5 >$

$1) (1 + u = 0 + v) 2 \to 2 + 2 u = 0 + 2 v 2) 5 - 3 u = 2 - 2 v \to 5 - 3 u = 2 - 2 v_____________7 - u = 2 u = 5 1 + 5 = v \to v = 6 (1) معادلة في بالتعويض (3) 2 - u = - 5 - 5 v : الثالث الإحداثي بمساواة : v = 6 و u = 5 وتعويض 2 - 5 \neq - 5 - 30 - 3 \neq - 35$

إذن: المستقيمان L₂ و L₃ متخالفان

JO Academy school

المستقيملت في الفضاء

رياضيات - Grade التوجيهي علمي

Get it for

MAC

Get it for

WINDOWS