المعادلات التفاضلية:

المعادلة التفاضلية:هي معادلة تحوي مشتقة أو أكثر لاقتران ما وقد تحوي الاقتران نفسه.

فمثلًا لو كان y=f(x) فإن:

$y^2-y\text{'}=3x+y"$

هي معادلة تفاضلية تتضمن كل من الاقتران ومشتقتيه الأولى والثانية.

ويكون الاقتران y=f(x) حلًا للمعادلة التفاضلية إذا حققها أي إذا عٌوّض الاقتران ومشتقاته في المعادلة وبقيت صحيحة.

مثال:

أحدد فيما إذا كان الاقتران المعطى y=sin x يمثل حلًا للمعادلة التفاضلية y+y"=0

الحل:

$$\begin{gathered} y\text{'}=\cos x \\ y"=-\sin x \end{gathered}$$

وبجمع الطرفين:

$y+y"=\sin x +-\sin x=0$

لذلك فالاقتران y=sinx حلًا للمعادلة التفاضلية.

مثال:

أحدد فيما إذا كان الاقتران $y=e^x$ حلًا للمعادلة التفاضلية y-y'+y"=0

الحل:

$$\begin{gathered} y=e^x \\ y\text{'}=e^x \\ y"=e^x \end{gathered}$$

بالتعويض في المعادلة التفاضلية:

$$\begin{gathered} e^x-e^x+e^x\ne 0 \\ {e}^x\ne 0 \end{gathered}$$

بالتالي فإن الاقتران $y=e^x$ ليس حلًا للمعادلة.

الحل العام والخاص للمعادلة التفاضلية:

تحل المعادلة التفاضلية بإجراء التكامل لأنها ناتجة عن الاشتقاق.

وسيضاف بعد إجراء التكامل قيمة ثابت التكامل c

وإذا ما أعطيت نقطة على منحنى الاقتران أو العلاقة الناتجة وذلك gلحل قيمة الثابت c, فيسمى ذلك بالحل الخاص.

أما الحل العام فتبقى المعادلة الناتجة دون تحديد قيمة c.

مثال:

أجد الحل العام للمعادلة التفاضلية: $\frac{dy}{dx}={(x+1)}^3$

الحل:

بإعادة ترتيب المعادلة:

$y=\int {(x+1)}^{3}dx =\frac{1}{4}{(x+1)}^4+c$

مثال:

أجد الحل الخاص للمعادلة التفاضلية الذي يحقق النقطة (1,1-) 

$\frac{dy}{dx}-x^2=3x -\frac{dy}{dx}$

الحل: 

بإعادة ترتيب المعادلة

$$\begin{gathered} 2\frac{dy}{dx}=x^2-3x \\ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}(x^2-3x) \\ y=\frac{1}{2}\int (x^2-3x)dx \\ y=\frac{1}{2}(\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2})+c \mathrm{العام} \mathrm{الحل} \end{gathered}$$

أما الحل الخاص بتعويض y=1, x=-1 لحل قيمة c

$$\begin{gathered} 1=\frac{1}{2}(\frac{-1}{3}-\frac{3}{2})+c \to c=\frac{23}{12} \\ y=\frac{1}{2}(\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2})+\frac{23}{12} \end{gathered}$$

حل المعادلة التفاضلية بفصل المتغيرات:

شاهدنا في المثال السابق أنه وحتى يمكن إجراء التكامل يجب أن يتم فصل $\frac{dy}{dx}$ في جهة واحدة وما سنتعلمه أيضًا فصل المتغيرات بحيث تصبح على النحو التالي:

$\int y \mathrm{بدلالة} \mathrm{المتغيرات} dy = \int x \mathrm{بدلالة} \mathrm{المتغيرات} dx$

مثال:

جد الحل العام للمعادلة التفاضلية

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x+1}{3y^2-1}$

الحل:

بفصل المتغيرات: $(3y^2-1)dy=(2x+1) dx$

بإجراء التكامل: $$\begin{gathered} \int (3y^2-1)dy=\int (2x+1)dx \\ {y}^3-y=x^2+x+c \end{gathered}$$

مثال:

جد الحل الخاص للمعادلة التفاضلية  $\frac{y^2}{x}=\frac{dy}{dx}$ عند النقطة (1,1).

الحل:

بفصل المتغيرات: $\frac{1}{x}dx=\frac{1}{y^2}dy$

بإجراء التكامل: $$\begin{gathered} \int \frac{1}{x}dx=\int y^{-2}dy \\ \ln x+c=\frac{-1}{y} \end{gathered}$$

بتعويض y=1 , x=1 لحل قيمة c

$$\begin{gathered} \ln 1 +c =\frac{-1}{1} \\ c=-1 \end{gathered}$$

الحل الخاص: 

$$\begin{gathered} \frac{-1}{y}=\ln x-1 \\ \frac{1}{y}=1-\ln x \\ y=\frac{1}{1-\ln x} \end{gathered}$$

مثال:

إذا علمت أن ${(x+1)}^{2}f\text{'}\left(x\right)=f^2\left(x\right)e^x$, وكان f(2)=3,f(0)=1, فما قيمة ${\int }_0^2\frac{e^x}{x+1}dx$

الحل:

نحن نعلم أن $f\left(x\right)=y , f\text{'}\left(x\right)=\frac{dy}{dx}$

لذلك سيعاد كتابة المعادلة السابقة كما يلي

${(x+1)}^2\frac{dy}{dx}=y^2 e^x$

بفصل المتغيرات $\frac{1}{y^2}dy=\frac{e^x}{{(x+1)}^2}dx$

بإجراء التكامل: 

$\int \frac{1}{y^2}dy=\int \frac{e^x}{{(x+1)}^2}dx$

وسنحل المقدار $\int \frac{e^x}{{(x+1)}^2}dx$ بالأجزاء

$$\begin{gathered} \mathrm{للتكامل} \mathrm{للاشتقاق} \\ {(x+1)}^{-2} e^x + \\ \frac{-1}{x+1} e^x - \end{gathered}$$

ومنه فإن:

$$\begin{gathered} \int \frac{1}{y^2}dy=\int \frac{e^x}{{(x+1)}^2}dx \\ \frac{-1}{y}=\frac{-e^x}{x+1}+\int \frac{e^x}{x+1}dx \end{gathered}$$

ومنه

$$\begin{gathered} {\int }_0^2\frac{e^x}{x+1}dx=\frac{e^x}{x+1}-\frac{1}{y} \\ =F\left(2\right)-F\left(0\right) \end{gathered}$$

x=2 عند y=3

$F\left(2\right)=\frac{e^2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{e^2-1}{3}$

عند x=0,y=1

$$\begin{gathered} F\left(0\right)=1-1=0 \\ {\int }_0^2\frac{e^x}{x+1}dx=F\left(2\right)-F\left(0\right)=\frac{e^2-1}{3} \end{gathered}$$

المعادلة التفاضلية والمسار في خط مستقيم

مثال:

يتحرك جسيم في مسار مستقيم, وتعطى سرعته المتجهة بالمعادلة التفاضلية $v=(s+1)(t^2+1)$ حيث t الزمن بالثواني, s موقع الجسيم بالأمتار, أجد موقع الجسيم بعد 3 ثواني.

علمًا بأن موقعه الابتدائي s(0)=4m

الحل:

$\frac{ds}{dt}=(s+1)(t^2+1)$

بفصل المتغيرات $\frac{1}{s+1}ds=(t^2+1)dt$

$$\begin{gathered} \int \frac{1}{s+1}dt=\int (t^2+1)dt \\ \ln (s+1)=\frac{t^3}{3}+t+c \\ c \mathrm{قيمة} \mathrm{لحل} s=4 , t=0 \mathrm{بتعويض} \\ \ln 5=c \\ \mathrm{فإن} \mathrm{بالتالي} \\ \ln (s+1)=\frac{t^3}{3}+t+\ln 5 \\ s=e^{\frac{t^3}{3}+t+\ln 5}-1 \\ s\left(3\right)=e^{12+\ln 5}-1 t=3 \mathrm{بتعويض} \end{gathered}$$