الموجات الموقوفة والرنين
عندما يكون الحبل متصلًا بحلقة حرة الحركة حول قضيبتنعكس الموجة معتدلة وتكون سعة مساوية تقريبًا لسعة الموجة الساقطة |
وعندما تتحرك نبضة باتجاه الجدار تنعكس النبضة وتكون النبضة المنعكسة مقلوبة رأسيًّا ومساوية تقريباً لسعة النبضة الساقطة عندما يكون طرف الحبل ثابت. |
ظواهر موجية ماذا يحدث للموجة عند الحواجز؟ أو بين وسطين مختلفين في الخصائص؟
الانعكاس والنفاذ
يمكن دراسة حركة نبضة من موجة وملاحظة سلوكها
عند عبورها في حبل كما يأتي:
|
لماذا تنعكس النبضة مقلوبة. حسب القانون الثالث لنيوتن، أثر الحبل في الحاجز بقوة نحو الأعلى، فأثر الحاجز في الحبل بقوة مساوية نحو الأسفل، فارتدت الموجة مقلوبة رأسيًّا.
عندما تصل موجة إلى الحد الفاصل بين وسطين مختلفين فإنه .ينعكس جزء منها داخل الوسط نفسه (الانعكاس)، وينفذ الجز الآخرخلال الحد الفاصل إلى الوسط الآخر ويتغير اتجاهها
ألاحظ الشكلين الآتيين، فعند وصل حبلين مختلفين في السمك معًا الشكلين ثم انتقال موجة من الحبل الرفيع إلى الحبل الغليظ، فإن جزءأً منها ينعكس عند نقطة الوصل مقلوباً وكأنه انعكس عن حاجز ثابت، والجزء الآخر يواصل تقدمه في الحبل الغليظ بشكل معتدل، أما إذا انتقلت الموجة من .الحبل الغليظ إلى الحبل الرفيع؛ فإن الجزء المنعكس منها يكون معتدلاً مثل الجزء النافذ.
الموجة مقلوبة في الحالة الثانية؟ عندما تصل الموجة إلى نقطة التقاء الحبلين، وتؤثر نهاية الحبل الغليظ بقوة إلى الأعلى في طرف الحبل الرفيع؛ فإن الحبل الرفيع يستجيب لهذه القوة ويتحرك إلى الأعلى، أما قوة رد الفعل التي يؤثر بها الحبل الرفيع في الغليظ؛ فإنها غير كافية لقلب الموجة بسبب الممانعة الكبيرة للحبل الغليظ، فتنعكس الموجة معتدلة كما كان حال سقوطها. |
|
الحيود .ألاحظ في المقابل حيود موجات سطح الماء المستوية عند مرورها من فتحة ضيقة أو حاجز الحيود هو ظاهرة انتشار الموجات عند مرورها بالقرب من حاجز أو خلال فتحة ضيقة لحاجز، في حين تتقدم الموجة في خط مستقيم عندما لا يوجد حواجز في طريقها. عند تغيير اتساع الفتحة في الحاجز ألاحظ ما يأتي:
ينحني مسارها حول جانبي الفتحة، كما في الشكل المقابل.
لكنّها تنتحي قليلًا عند الطرفين، كما في الشكل.
|
تحدث ظاهرة الحيود لموجات الضوء. وفي التطبيقات البصرية يؤثر حيود الضوء سلبًا في كفاءة الأداة، فكلما كانت الفتحة التي يعبر منها الضوء أقل اتساعًا، انخفضت قوة التفريق Resolution في الأداة البصرية. تحدث ظاهرة الحيود للضوء عند نفاذه من عدسة ضيقة، أو انعكاسه عن مرآة ضيقة. ويبين الشكل استخدام مرآة مقعرة في أكبر تلسكوب عاكس بُني في جزر كناري، واتساع المرآة يفيد في أمرين؛ جمع كمية أكبر من الضوء الوارد من النجوم، والتخلص من الحيود الناتج عن الفتحات الصغيرة، ما يعطي التلسكوب قوة تفريق عالية تجعلنا نميز التجمعات النجمية الصغيرة القريبة من بعضها، فنراها منفصلة عن بعضها. |
لتراكب والتداخل التراكب: يعني جمع الإزاحات الناتجة عن موجتين أو أكثرعند التقائهما في نقطة في الوسط الذي تنتقلان خلاله. ويحدث التراكب في كلا النوعين؛ الموجات الطولية والموجات المستعرضة، ولكن يشترط أن تكون الموجتان من النوع نفسه. مبدأ تراكب الموجات: ينص على أنه عند حدوث تراكب موجتين؛ فإن الإزاحة الناتجة عند أي نقطة في الوسط تساوي ناتج الجمع المتجهي للإزاحتين الناتجتين عن الموجتين وهما منفردتان. الشكل الأول (جهة اليمين ) المرفق يوضح تراكب موجتين لهما نفس التردد والطول الموجي والسعة ومتفقتان في الطور فينتج عنه تداخل بناء، بينما الشكل الثاني يوضح تراكب موجتين لهما نفس التردد والطول الموجي، لكن الفرق في الطور بينهما يساوي 180o. .فينتج عنه تداخل هدام التداخل البنّاء والتداخل الهدام: عندما تكون السعة الناتجة عن التقاء موجتين أكبر من السعة لكل منهما؛ نحصل على تداخل يسمى تداخلًا بنّاء، وتكون سعة الموجة الناتجة عن التداخل البنّاء لموجتين متساويتين في السعة، تساوي ضعفي سعة أي من الموجتين. وعندما تكون إزاحات الموجتين المتراكبتين عند نقطة في الوسط متعاكستين؛ فإن نمط التداخل الناتج يسمى تداخلًا هدامًا، وفي حال كانت الموجتان المتداخلتان متساويتين في السعة؛ تلغي إحدى الموجتين الأخرى، فتكون الإزاحة المحصلة صفرًا |
|
الموجات الموقوفة تنتج الموجات الموقوفة عن تراكب موجتين ضمن شروط محددة، وهي ظاهرة تحدث في الموجات المستعرضة والموجات الطولية.والموجات الموقوفة هي أنماط موجية ثابتة الأشكال تنتج عن تراكب موجتين متساويتين في التردد والطول الموجي والسعة، تنتقلان في اتجاهين متعاكسين في الوسط نفسه، والموجات الموقوفة لا تنقل الطاقة، بل تبقى بين طرفي الوسط، ويلزم تزويدها بمصدر مستمر للطاقة لتعويض الطاقة المفقودة. الموجات الموقوفة في وتر عندما نثبت وترًا من طرفيه ونحركه من منتصفه، تنتشر فيه موجات مستعرضة، وتنعكس مقلوبة عن طرفيه المثبتين وهي مساوية للموجة الأصلية في التردد والطول الموجي.وبافتراض عدم ضياع الطاقة، تكون الموجة المنعكسة مساوية في سعتها للموجة الأصلية، عندها سيحدث تداخل بين الموجتين يعتمد نوعه على فرق الطور بينهما، فيكون هدامًا في بعض أجزاء الوتر وبنّاء في أجزاء أخرى فيظهر على شكل موجات مستعرضة موقوفة كما في الشكل المقابل.وينتج عن التقاء موجتين تنتشران باتجاهين متعاكسين، ظهور نقاط في الوتر تسمى عقدًا وأخرى تسمى بطونًا. العقدة هي نقطة تكون الإزاحة المحصلة عندها صفرًا. البطن هو نقطة تكون الإزاحة المحصلة عندها عظمى. سميت الموجة الموقوفة بهذا الاسم؛ لأنها لا تتقدم، فاهتزازها ناتج عن اهتزاز أجزاء الوتر بسعة تتغير من الصفر في مناطق العقد إلى قيمتها العظمى في مناطق البطون. يوضح الشكل منحنى (الإزاحة-الزمن) لموجتين؛ الأولى (اللون البنفسجي) تنتقل في وتر مشدود باتجاه اليمين، والثانيةباللونالبرنقالي في الوتر نفسه باتجاه اليسار،يتضح من الشكل الموجة الموقوفة الناتجة عن تراكب الموجتين عند لحظات زمنية معينة بدلالة الزمن الدوري (اللون الأحمر) :نستنتج من الشكل المقابل ما يلي - في بداية الحركة ( ) يكون فرق الطور بين الموجتين= 0 وتتقابل القمم مع القمم والقيعان مع القيعان فينتج عنها بطون ( المشهد أ ) - بعد فترة زمنية ( ) يكون فرق الطور بين الموجتين () ، وتقدمت كل موجة مسافة() هنا تتقابل القمم مع القيعان فتنعدم الإزاحة وتتكون عقد ( المشهد ب ) - في اللحظة الزمنية ( ) يكون فرق الطور () وتتقدم كل موجة مسافة ( ) فتتكون بطون وعقد. مشهد جـ - اللحظة ( ) تتقدم كل موجة مسافة ( ) ويكون فرق الطور ( ) مشهد د ويشبه المشهد ( ب ) - في المشهد (د ) ( ) كل موجة تتقدم مسافة ( ) ونعود للمشهد ( أ)
|
الحل
|
مثال محلول ( 196 Hz ) أقل تر دد يمكن توليده في وتر قيثارة . أحسب الترددين التاليين اللذين يمكن توليدهما في الوتر، مع ثبات العوامل |
||||
الحل أ) الطول الموجي ب) سرعة الموجة في الوتر |
مثال محلول (75 cm)، يبين الشكل موجات موقوفة في وتر طوله (18 Hz). وتردد الموجات يساوي. أحسب كلا من: |
||||
|
:تمثل الموجة المتقدمة نحو اليمين بالاقتران: وفي حال كانت الموجة تتقدم نحو اليسار، يصبح اقتران الموجة على الشكل الآتي: المحصلة لنقاط الوسط جميعها تنتج عن جمع إزاحتي الموجتين، كما يأتي: لا يصف ناتج جمع الاقترانين موجة متحركة، لكنّه يصف شكلًا من الحركة التوافقية البسيطة لدقائق الوسط، وجميعها لها التردد الزاوي نفسه. وتتغير سعة اهتزاز هذه النقاط بتغير موقعها. |
||||
الموجات الموقوفة في الأعمدة الهوائية عمود الهواء إلى داخل البوق على شكل موجات صوتية، وتنعكس عن الطرف لثاني للبوق، سواء أكان مغلقا أم مفتوحا، فيحدث تداخل بين الموجات الصادرة والموجات المنعكسة، وتنشأ موجات طولية موقوفة في عمود الهواء، كتلك المستعرضة التي تحدث في وتر مشدود. يغير العازف التردد بتغيير طول عمود الهواء، عندما يفتح الصمام بضغط الأصبع؛ فتتغير النغمة. الأعمدة الهوائية المفتوحة في الأعمدة الهوائية المفتوحة بما يحقق مجموعة من التوافقات، فنحصل على التوافقالأول والثاني والثالث، وغيرها، كما في حالة الوتر تماما. يحسب الطول الموجي للموجات الصوتية الموقوفة للتوافق (n) في عمود الهواء المفتوح النهاية وفقا للعلاقة المستخدمة في الموجات المستعرضة: nλn = 2L وكذلك التردد للتوافق رقم (n) يساوي: الأعمدة الهوائية المغلقة الموجات الموقوفة في الأعمدة الهوائية المغلقة النهاية، بحيث تكون سعة الاهتزاز صفرا عند النهاية المغلقة للأنبوب، وتختلف التوافقات الناتجة هنا عما سبق، إذ تتكون التوافقات الفردية فقط، وذلك كي يتحقق تكون العقد عند النهاية المغلقة للأنبوب. ويحسب الطول الموجي للتوافق (n)، حيث (n) عدد صحيح فردي، وفق العلاقة: nλn = 4L |
|||||
الحل أ . الطول الموجي للتوافق الأول في العمود المغلق: ؛ العمود مغلق النهاية. |
مثال محلول أجرت حنين تجربة لقياس طول موجة الصوت المتولدة في عمود هواء مغلق النهاية، طوله ( )، إذا كان أقل تردد ( 136Hz ) |
||||
في أنظمة أخرى، يكون الرنين ظاهرة غير مرغوب بحدوثها، فعند تصميم المباني يراعى ألا تحدث رنينًا عند حركة الرياح حولها،أو عند حدوث الزلازل؛ فحدوث الرنين في المبنى عند اهتزازه يزيد من َ سعة الاهتزاز إلى درجة قد تسبب أضرارا في المبنى أو انهيارهكذلك يصمم المهندسون الجسور بحيث لا يحدث لها رنين بسبب حركة السيارات والمشاة فوقها أو هبوب الرياح عليها،لما يشكل ذلك من خطر على بقائها، كما حدث مع جسر تاكوما في أمريكا عام 1940 م، الذي انهار بفعل تأثير الرياح فيه بقوة خارجية ترددها يساوي الترددالطبيعي للجسر، ما أدى إلى ازدياد سعة الاهتزاز وحدوث الرنين. |
الرنين واحد أو أكثر. وإذا أثرنا بقوة دورية خارجية ذات تردد معين في هذه الأنظمة المهتزة، فإن سعة اهتزازها ستتزايد وتصبح قيمة عظمى؛ عندما يتساوى تردد القوة الخارجية مع التردد الطبيعي للنظام، وتعرف هذه الظاهرة بالرنين، كما يحدث في الأرجوحة عند دفعها بقوة خارجية دورية، تتفق في ترددها مع التردد الطبيعي للأرجوحة الناتج عن طول حبالها. كذلك في نظام (نابض-كتلة)، وفي البندول البسيط؛ إذ يوجد لكل منهما تردد طبيعي واحد فقط، ويعطى تردد البندول بالعلاقة
تردد القوة مساويا لتردد أي منهما، فتزداد سعة الاهتزاز إلى أكبر مقدار ممكن. لاحظنا في ما سبق، أنه يوجد لنظام الوتر المهتز أو عمود الهواء المهتز أكثر من تردد طبيعي، لكل منها نمط مختلف من الموجات الموقوفة، عظمى وتحدث حالة رنين. تحتوي الأنظمة جميعها في الطبيعة على قوى معيقة، مثل قوة الاحتكاك. وتكمن هنا أهمية شغل القوة الخارجية الذي يبذل ضد الاحتكاك للتغلب على هذه القوة، ثم لتزويد النظام المهتز بالطاقة اللازمة لاستمرار حركته الاهتزازية، وتزويده بالطاقة اللازمة لزيادة السعة عند تحقق شروط الرنين. وفي حال الوصول إلى السعة القصوى يلزم استمرار بذل شغل القوة الخارجية للتغلب على الاحتكاك. في الموجات الطولية، يعد الرنين مهما جدا بالنسبة إلى الآلات الموسيقية الهوائية مثل البوق والناي؛ وذلك لتضخيم الصوت الذي ُ تصدره. حتى الآلات الموسيقية الوترية مثل القيثارة، يصنع لها تجويف مناسب للحصول على رنين. ويراعى عند تصميم كثير من الآلات الأخرى مثل بعض أجهزة التصوير الطبية؛ أن تعمل ضمن مجال رنين معين.
|