تعلمت سابقًا أن التكامل هو عملية عكسية للاشتقاق, وأن عناصر جملة التكامل غير المحدود هي:

$\int f\left(x\right) dx=F\left(x\right)+c$

حيث: f(x): المُكامَل

         F(x): اقتران أصلي للاقتران f(x)

         c: ثابت التكامل

         dx: تفاضلة x, حيث x هو متغير التكامل

ويكون:

التكامل المحدود على الصورة:  ${\int }_a^{b}f\left(x\right) dx$

حيث: a: الحد السفلي للتكامل

         b: الحد العلوي للتكامل

وقيمته: ${\int }_a^{b}f\left(x\right) dx=F\left(x\right){|}_a^b =F\left(b\right)-F\left(a\right)$

وتساعدنا قواعد الاشتقاق التي درسناها في الفصل الأول من معرفة صيغ تكامل بعض الاقترانات الخاصة التالية:

1)تكامل الاقترانات الأسية: 

إذا كانت R,b,a أعدادًا حقيقية $R\ne 1,R>0,a\ne 0$ ,e العدد النيبيري, فإن:

$$\begin{gathered} 1)\int e^x dx=e^x+c \\ 2)\int e^{ax+b} dx=\frac{e^{ax+b}}{a}+c \\ 3)\int R^x dx=\frac{R^x}{ln\left(R\right)}+c \\ 4)\int R^{ax+b} dx=\frac{R^{ax+b}}{aln\left(R\right)}+c \end{gathered}$$

نلاحظ أن الصيغ السابقة تعالج تكاملات بعض الاقترانات الاسية والتي تكون قوتها على صورة كثير حدود من الدرجة الأولى.وغير ذلك تعالج بالتكامل بالتعويض.

ويمكن استنتاج هذه الصيغ من قواعد الاشتقاق الخاصة بالاقتران الأسي.

مثال 1: جد كل من التكاملات التالية:

$1)\int 4e^{5-2x} dx$

الحل:

$$\begin{gathered} \int 4e^{5-2x} dx=\frac{4e^{5-2x}}{-2}+c \\ =-2e^{5-2x}+c \end{gathered}$$

 

$2)\int \frac{1}{\sqrt[3]{e^{2x+1}}}dx$

الحل:بكتابة المُكامل في صورة أسية

$$\begin{gathered} \int {\left(e^{2x+1}\right)}^{\frac{-1}{3}}dx \\ =\int e^{\frac{-2x-1}{3}}dx=\frac{-3}{2}{e}^{\frac{-2x-1}{3}}+c \end{gathered}$$

 

$3\left){\int }_0^3\right(8e^{2x+1}-4x)dx$

الحل:

$$\begin{gathered} {\int }_0^3(8e^{2x+1}-4x)dx=(\frac{8}{2}{e}^{2x+1}-\frac{4}{2}{x}^2){|}_0^3 \\ =(4e^{2x+1}-2x^2){|}_0^3 \\ =(4e^7-18)-(4e^1-0) \\ =4e^7-4e-18 \end{gathered}$$

 

$4)\int (8{\left(5\right)}^{2x+1}-4\sqrt[3]{x})dx$

الحل:

$$\begin{gathered} \int (8{\left(5\right)}^{2x+1}-4x^{\frac{1}{3}})dx=\frac{8{\left(5\right)}^{2x+1}}{2\ln 5}-4\left(\frac{3}{4}\right)x^{\frac{4}{3}}+c \\ =\frac{4{\left(5\right)}^{2x+1}}{\ln 5}-3\sqrt[3]{x^4}+c \end{gathered}$$

2)تكامل الاقترانات المثلثية:

a) تكامل الاقترانات المثلثية التي زاويتها X:

$$\begin{gathered} 1)\int sin x dx=-cos(x)+c \\ 2)\int cos x dx=sin\left(x\right)+c \\ 3)\int se{c}^{2}x dx=tan(x)+c \\ 4)\int cs{c}^{2}x dx=-cot\left(x\right)+c \\ 5)\int sec(x\left)tan\right(x) dx=sec(x)+c \\ 6)\int csc\left(x\right)cot\left(x\right) dx=-csc\left(x\right)+c \end{gathered}$$

b)تكاملات الاقترانات المثلثية التي زاويتها (ax+b) حيث a,b عددان حقيقيان, و $a\ne 0$:

$$\begin{gathered} 1)\int sin(ax+b)dx=\frac{-1}{a}cos(ax+b)+c \\ 2)\int cos(ax+b)dx=\frac{1}{a}sin(ax+b)+c \\ 3)\int se{c}^2(ax+b)dx=\frac{1}{a}tan(ax+b)+c \\ 4)\int cs{c}^2(ax+b)dx=\frac{-1}{a}cot(ax+b)+c \\ 5)\int sec(ax+b\left)tan\right(ax+b)dx=\frac{1}{a}sec(ax+b)+c \\ 6)\int csc(ax+b)cot(ax+b)dx=\frac{-1}{a}csc(ax+b)+c \end{gathered}$$

نلاحظ أن الصيغ السابقة تعالج تكاملات بعض الاقترانات المثلثية والتي تكون زاويتها على صورة كثير حدود من الدرجة الأولى.وغير ذلك تعالج بالتكامل بالتعويض.

مثال 2:جد كل من التكاملات التالية:

$1)\int (8cos(5-4x)-2x)dx$

الحل:

$$\begin{gathered} \int \left(8\cos \right(5-4x)-2x)dx=\frac{-8}{4}\sin (5-4x)-\frac{2}{2}{x}^2+c \\ =-2\sin (5-4x)-x^2+c \end{gathered}$$

 

$2)\int (2cs{c}^2\left(4x\right)-6e^{3x-4}+1)dx$

الحل:

$$\begin{gathered} \int \left(2cs{c}^2\right(4x)-6e^{3x-1}+1)dx \\ =\frac{-2}{4}cot\left(4x\right)-\frac{6}{3}{e}^{3x-1}+x+c \\ =\frac{-1}{2}cot\left(4x\right)-2e^{3x-1}+x+c \end{gathered}$$

 

$3)\int (2sec\left(2x\right)\tan \left(2x\right)-3{\left(2\right)}^{3x+1})dx$

الحل:

$$\begin{gathered} \int \left(2sec\right(2x\left)\tan \right(2x)-3{\left(2\right)}^{3x+1})dx \\ =sec\left(2x\right)-\frac{3}{3\ln 2}{\left(2\right)}^{3x+1}+c \\ =sec\left(2x\right)-\frac{1}{\ln 2}{\left(2\right)}^{3x+1}+c \end{gathered}$$

 

$4\left){\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\right(6\sin \left(3x\right)-8\cos \left(2x\right))dx$

الحل:

$$\begin{gathered} {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\left(6\sin \right(3x)-8\cos (2x\left)\right)dx=\frac{-6}{3}\cos \left(3x\right)-\frac{8}{2}\sin \left(2x\right) {|}_{ 0}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}} \\ =(-2\cos (\frac{3\mathrm{\pi }}{2})-4\sin (\frac{2\mathrm{\pi }}{2})-(-2\cos \left(0\right)-4\sin \left(0\right)) \\ =(0-0)-(-2-0)=2 \end{gathered}$$

3)المتطابقات المثلثية والتكامل:

تلاحظ أن تكاملات الاقترانات المثلثية السابقة تعالج صيغًا محددة لذلك, عند إجراء تكاملات لاقترانات مثلثية بصيغ تختلف عنها, نحاول تحويل صورتها إلى إحدى الصيغ السابقة مثل إجراء التكامل باستخدام المتطابقات المثلثية.

 

مثال 3:جد كل من التكاملات التالية:

$1)\int 12co{t}^{2}3x dx$

الحل:

نستخدم متطابقة فيثاغورس:

$co{t}^2\theta =cs{c}^2\theta -1$

لتحويل  $co{t}^{2}3x$ إلى إحدى الصيغ السابقة:

$$\begin{gathered} \int 12 co{t}^{2}3x dx=\int 12\left(cs{c}^2\right(3x)-1)dx \\ =12(\frac{-1}{3} cot(3x)-x)+c \end{gathered}$$

$2){\int }_{\mathrm{\pi }}^0{\cos }^{2}x dx$

الحل: نستخدم متطابقة تقليص القوة

${\cos }^2\theta =\frac{1}{2}(1+\cos 2\theta )$

لتحويل ${\cos }^{2}x$ إلى إحدى الصيغ السابقة:

$$\begin{gathered} {\int }_{\mathrm{\pi }}^0{\cos }^{2}x dx={\int }_{\mathrm{\pi }}^0\frac{1}{2}(1+\cos 2x)dx \\ =\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}\sin 2x){|}_{\mathrm{\pi }}^0 \\ =\frac{1}{2}(0+0)-\frac{1}{2}(\mathrm{\pi }+0)=-\frac{\mathrm{\pi }}{2} \end{gathered}$$

$3)\int 14 \cos (8x\left)\cos \right(6x)dx$

الحل: نستخدم متطابقة تحويل الضرب إلى جمع أو فرق:

$\cos \left(\theta \right)\cos \left(\alpha \right)=\frac{1}{2}\left(\cos \right(\theta -\alpha )+\cos (\theta +\alpha \left)\right)$

لتحويل $\cos \left(8x\right)\cos \left(6x\right)$ إلى إحدى الصيغ السابقة

 

$$\begin{gathered} \int 14\cos \left(8x\right)\cos \left(6x\right)dx=14\int \left(\frac{1}{2}\right)\left(\cos \right(2x)+\cos (14x\left)\right)dx \\ =7(\frac{\sin \left(2x\right)}{2}+\frac{\sin \left(14x\right)}{14})+c \\ =\frac{7}{2}\sin \left(2x\right)+\frac{1}{2}\sin \left(14x\right)+c \end{gathered}$$

 

$4)\int \frac{8}{1-\sin 2x}dx$

الحل: نضرب البسط والمقام في مرافق $(1-\sin 2x)$, وهو $(1+\sin 2x)$ حتى ينتج في المقام $1-{\sin }^{2}2x$

$$\begin{gathered} \int \frac{8}{1-\sin 2x}dx=\int (\frac{8}{1-\sin 2x}\times \frac{1+\sin 2x}{1+\sin 2x})dx \\ =8\int \frac{(1+\sin 2x)}{1-{\sin }^{2}2x}dx \end{gathered}$$

وباستخدام متطابقة فيثاغورس

$$\begin{gathered} 1-{\sin }^{2}2x={\cos }^{2}2x \\ =8\int \frac{(1+\sin 2x)}{{\cos }^{2}2x}dx \\ =8(\int \frac{1}{{\cos }^{2}2x}+\frac{\sin 2x}{{\cos }^{2}2x})dx \\ =8(\int se{c}^{2}2x+\tan 2x sec 2x)dx \\ =8\left(\frac{1}{2}\tan \right(2x)+\frac{1}{2}sec(2x\left)\right)+c \\ =4\tan \left(2x\right)+4sec\left(2x\right)+c \end{gathered}$$

4)تكاملات ينتج منها اقتران لوغاريتمي طبيعي:

من قواعد الاشتقاق للاقتران اللوغاريتمي الطبيعي:

نعلم أن:

$\frac{d}{dx}\left(\ln \left|f\left(x\right)\right|\right)=\frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}$

ولأن عملية التكامل هي عملية عكسية للاشتقاق, فإننا نستطيع استنتاج الصيغ التالية للتكاملات.

$$\begin{gathered} 1)\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+c ,x\ne 0 \frac{d}{dx}\ln \left|x\right|=\frac{1}{x} \mathrm{لأن} \\ 2\int \frac{1}{ax+b}dx=\frac{1}{a}\ln \left|ax+b\right|+c ,x\ne \frac{-b}{a},a\ne 0 \frac{d}{dx}\ln \left|ax+b\right|=\frac{a}{ax+b} \mathrm{لأن} \\ 3)\int \frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx=\ln \left|f\left(x\right)\right|+c ,f\left(x\right)\ne 0 \frac{d}{dx}\ln \left|f\left(x\right)\right|=\frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)} \mathrm{لأن} \end{gathered}$$

فهذه الصيغ تعالج تكاملات, عندما يكون المُكامل على صيغة كسر, بسطه يساوي مشتقة مقامه.

وفي بعض الأحيان, نحتاج إلى إجراء بعض التبسيط حتى نحول صيغة المُكامل إلى صيغ يمكن إجراء تكاملها.

 

مثال 4: جد كل من التكاملات الآتية:

$1)\int (\frac{5}{e^x}-\frac{4}{3x})dx$

الحل:

$\int 5e^{-x}dx-\frac{4}{3}\int \frac{1}{x}dx=-5e^{-x}-\frac{4}{3}\ln \left|x\right|+c$

 

$2)\int \frac{15}{4-3x}dx$

الحل:

$$\begin{gathered} \int \frac{15}{4-3x}dx=\frac{15}{-3}\int \frac{-3}{-3x+4}dx \\ =-5\ln \left|-3x+4\right|+c \end{gathered}$$

 

$3)\int \frac{2x^3-5x^2+7x-2}{x^2}dx$

الحل:

$$\begin{gathered} \int (\frac{2x^3}{x^2}-\frac{5x^2}{x^2}+\frac{7x}{x^2}-\frac{2}{x^2})dx \\ =\int (2x-5+7(\frac{1}{x})-2x^{-2})dx \\ =x^2-5x+7\ln \left|x\right|+\frac{2}{x}+c \end{gathered}$$

 

$4)\int \frac{3x^2}{5-x^3}dx$

الحل:

نلاحظ أن مشتقة المقام هي $(-3x^2)$ فنضرب كلا من البسط والمقام في (1-) لتحويل البسط إلى مشتقة المقام تمامًا.

$-\int \frac{-3x^2}{5-x^3}dx=-\ln \left|5-x^3\right|+c$

$5)\int \frac{7x}{2x^2+3}dx$

نلاحظ أن مشتقة المقام هي (4x) لذلك نعالج صورة البسط والمقام في 4, ووضع العدد $\frac{7}{4}$ معاملًا للتكامل:

$$\begin{gathered} \frac{7}{4}\int \frac{4x}{2x^2+3}dx \mathrm{تمامًا} \mathrm{المقام} \mathrm{مشتقة} \mathrm{إلى} \mathrm{البسط} \mathrm{لتحويل} \\ =\frac{7}{4}\ln \left|2x^2+3\right|+c \end{gathered}$$

 

$6)\int 6cot\left(2x\right)dx$

الحل: نلاحظ أن  $cot\left(2x\right)=\frac{\cos \left(2x\right)}{\sin \left(2x\right)}$ ومشتقة المقام (sin 2x) هي (2cos 2x) لذلك نكتب التكامل على صورة:

$6\int \frac{\cos 2x}{\sin 2x}dx=3\int \frac{2\cos 2x}{\sin 2x}dx$

لتحويل البسط (2cos 2x) إلى مشتقة المقام تمامًا:

$=3\ln \left|\sin 2x\right|+c$

 

$7)\int \frac{3 \sin x}{2+\cos x}dx$

الحل:نلاحظ أن مشتقة المقام هي (sin x-).

$$\begin{gathered} \int \frac{3 \sin x}{2+\cos x}dx=-3\int \frac{-\sin x}{2+\cos x}dx \\ =-3\ln \left|2+\cos x\right|+c \end{gathered}$$

 

$8)\int \frac{1-x^2}{x^3-3x-5}dx$

الحل: نلاحظ أن مشتقة المقام $3(x^2-1)=(3x^2-3)$ لذلك نضرب البسط والمقام في (3-) لتحويل البسط إلى مشتقة المقام تمامًا

$$\begin{gathered} \int \frac{1-x^2}{x^3-3x-5}dx=\frac{-1}{3}\int \frac{3(x^2-1)}{x^3-3x-5}dx \\ =\frac{-1}{3}\int \frac{3x^2-3}{x^3-3x-5}dx=\frac{-1}{3}\ln \left|x^3-3x-5\right|+c \end{gathered}$$

 

$9)\int \frac{3x^3+4x^2+5x-6}{x+2}dx$

الحل: نلاحظ أن المُكامل على صيغة اقتران كسري درجة البسط أكبر من درجة المقام, وفي مثل هذه الحالة (عندما تكون درجة البسط أكبر أو تساوي من درجة المقام), نقوم بتغيير صيغة المُكامل, بإجراء عملية القسمة واستخدام خوارزمية القسمة.

ومنه فان الناتج :

 

$3x^2+2x+1-\frac{8}{x+2}$

فيكون ناتج القسمة $(3x^2+2x+1)$ ,والباقي(8-) فنكتب التكامل على صيغة

$$\begin{gathered} \int \frac{3x^3+4x^2+5x-6}{x+2}dx=\int (3x^2+2x+1-\frac{8}{x+2})dx \\ =x^3+x^2+x-8\ln \left|x+2\right|+c \end{gathered}$$

 

5)تكاملات الاقترانات المتشعبة:

يمكن إيجاد التكامل المحدود لاقتران متشعب, باستخدام قاعدة تجزئة التكامل والتي تنص على:

إذا كان f(x) اقترانًا متصلا على الفترة [a,b], فإن:

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_a^{c}f\left(x\right)dx+{\int }_c^{b}f\left(x\right)dx$

ولا يشترط أن تكون a<c<b

مثال 5: جد قيمة كل من التكاملات الآتية:

$1\left){\int }_0^{3}f\right(x)dx, \mathrm{حيث} f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2x-5,& x<1\\ 3x^2-6,& x⩾1\end{array}\right.$

الحل:

$$\begin{gathered} {\int }_0^{3}f\left(x\right)dx={\int }_0^1(2x-5)dx+{\int }_1^3(3x^2-6)dx \\ =(x^2-5x){|}_0^1+(x^3-6x){|}_1^3 \\ =(1-5)-\left(0\right)+(27-18)-(1-6) \\ =-4-0+9+5=10 \end{gathered}$$

 

$2){\int }_3^{-3}\left|3x^2-12\right|dx$

الحل:إعادة تعريف اقتران القيمة المطلقة

$$\begin{gathered} 3x^2-12=0 \\ 3x^2=12 \\ x=\pm 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left|3x^2-12\right|=\left\{\begin{array}{ll}3x^2-12,& x\le -2\\ 12-3x^2& -2<x<2\\ 3x^2-12,& x\ge 2\end{array}\right. \\ {\int }_3^{-3}\left|3x^2-12\right|dx={\int }_3^2(3x^2-12)dx+{\int }_2^{-2}(12-3x^2)dx+{\int }_{-2}^{-3}(3x^2-12)dx \\ =(x^3-12x){|}_3^2+(12x-x^3){|}_2^{-2}+(x^3-12x){|}_{-2}^{-3} \\ =(-16)-(-9)+(-16)-\left(16\right)+\left(9\right)-\left(16\right) \\ =-7+-32+-7 \\ =-46 \end{gathered}$$

$3){\int }_0^{\mathrm{\pi }}\sqrt{1-{\sin }^{2}x} dx$

الحل: نلاحظ أن: $$\begin{gathered} \sqrt{1-{\sin }^{2}x}=\sqrt{{\cos }^{2}x} \\ =\left|\cos x\right| \end{gathered}$$

وبإعادة تعريف$\left|\cos x\right|$ على الفترة $\left[0,\mathrm{\pi }\right]$:

$$\begin{gathered} \left|\cos x\right|=\left\{\begin{array}{ll}\cos x,& 0\le x\le \frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ -\cos x,& \frac{\mathrm{\pi }}{2}<x<\mathrm{\pi }\end{array}\right. \\ {\int }_0^{\mathrm{\pi }}\sqrt{1-{\sin }^{2}x} dx={\int }_0^{\mathrm{\pi }}\left|\cos x\right|dx \\ ={\int }_0^{\raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\cos x dx+{\int }_{\raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}^{\mathrm{\pi }}-\cos x dx \\ =(\sin x){|}_0^{\raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}+(-\sin x){|}_{\raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}^{\mathrm{\pi }} \\ =\left(1\right)-\left(0\right)+\left(0\right)-(-1) \\ =2 \end{gathered}$$

6)تطبيقات التكامل:

a)الشرط الأولي:

لاحظنا أن ناتج التكامل غير المحدود لاقتران معين, يحتوي على ثابت التكامل (c), ولإيجاد قيمة ثابت التكامل في المسائل العملية نحتاج إلى معرفة (الشرط الأولي), والذي هو نقطة تحقق الاقتران الأصلي الناتج من التكامل غير المحدود, مما يجعل التكامل وسيلة لإيجاد الاقتران الذي ينمذج مسائل عملية وحياتية.

مثال 6:أظهرت دراسة أن عدد متابعي موقع إلكتروني تعليمي يتزايد بمعدل $N\text{'}\left(t\right)=\frac{300t}{3t^2+1}$ حيث t الزمن بالأيام, N(t) عدد المتابعين.

جد N(t), علمًا بأن عدد المتابعين عند بداية الدراسة كان 7500 متابع.

الحل:

$$\begin{gathered} N\left(t\right)=\int N\text{'}\left(t\right) dt \\ =\int \frac{300t}{3t^2+1}dt=50\int \frac{6t}{3t^2+1}dt \\ =50\ln (3t^2+1)+c \end{gathered}$$

لإيجاد قيمة الثابت c, نستخدم الشرط الأولي:

عند N(0)=7500,t=0

$$\begin{gathered} N\left(t\right)=50\ln (3t^2+1)+c \\ N\left(0\right)=50\ln \left(1\right)+c=7500 \\ c=7500 \end{gathered}$$

 

إذن: عدد المتابعين لهذا الموقع الإليكتروني بعد مرور (t) يوم من بدء الدراسة بالاقتران:

$N\left(t\right)=50\ln (3t^2+1)+7500$

تطبيقات التكامل:

b)الحركة في مسار مستقيم

عندما يتحرك جسم في مسار مستقيم, فإن موقعه يعطى بالاقتران s(t), وتعطى سرعته المتجهة بالاقتران v(t),حيث $v\left(t\right)=s\text{'}\left(t\right)$, tهو الزمن.

فاقتران السرعة المتجهة v(t) هو اقتران أصلي لاقتران الموقع s(t) وبمعرفة اقتران السرعة المتجهة يمكن إيجاد اقتران الموقع عن طريق إجراء عملية التكامل لاقتران السرعة المتجهة

$s\left(t\right)=\int v\left(t\right) dt$

ويجب التمييز بين مفهومين يتعلقان بحركة الجسم:

1)الإزاحة:وهي التغير في موقع الجسم خلال الفترة الزمنية.

فالإزاحة للجسم الذي يتحرك في مسار مستقيم والذي يتحدد موقعه بالاقتران s(t) خلال الفترة الزمنية تعطى بالعلاقة:

$s\left(t_2\right)-s\left(t_1\right)={\int }_{t_1}^{t_2}v\left(t\right) dt$

والإزاحة كمية متجهة, قد تكون موجبة أو سالبة أو صفرًا حسب اتجاه الحركة خلال الفترة الزمنية, وعلى الموقع النهائي والابتدائي للجسم خلالها.

 

2)المسافة المقطوعة:وهي المسافة الكلية التي يقطعها الجسم خلال الفترة الزمنية على المسار المستقيم بغض النظر عن اتجاه الحركة, وهي كمية قياسية, لا تكون سالبة, وتعطى المسافة الكلية التي يقطعها الجسم الذي يتحرك في مسار مستقيم والذي يحدد موقعه بالاقتران s(t) خلال الفترة الزمنية $\left[t_1,t_2\right]$ بالعلاقة:

${\int }_{t_1}^{t_2}\left|v\left(t\right)\right| dt$

مثال 7:يتحرك جسيم في مسار مستقيم, حيث أن سرعته المتجهة v(t) (بوحدةm/s) بعد مرور (t) من الثواني من بدء الحركة بالاقتران:

$v\left(t\right)=3t^2-3t-6, t\ge 0$

فإذا انطلق الجسيم من الموقع s(0)=14m

1)جد موقع الجسيم بعد مرور 4 ثوانٍ من بدء الحركة.

الحل:

$$\begin{gathered} s\text{'}\left(t\right)=v\left(t\right) \\ s\left(t\right)=\int v\left(t\right) dt \\ =\int (3t^2-3t-6)dt \\ =t^3-\frac{3}{2}{t}^2-6t+c \end{gathered}$$

لإيجاد قيمة الثابت c, نستخدم الشرط الأولي s(0)=14

s(0)=0-0-0+c=14

c=14

اقتران الموقع هو: $s\left(t\right)=t^3-\frac{3}{2}{t}^2-6t+14$

بعد مرور 4 ثوانٍ من بدء الحركة: 

$$\begin{gathered} s\left(4\right)=64-24-24+14 \\ s\left(4\right)=30m \end{gathered}$$

بعد مرور 4 ثوانٍ من بدء الحركة, يكون موقع الجسم 30m.

 

2)جد إزاحة الجسيم في الفترة الزمنية  $\left[0,4\right]$ ثوانٍ

$$\begin{gathered} \mathrm{الإزاحة}=s\left(t_2\right)-s\left(t_1\right) \\ =s\left(4\right)-s\left(0\right) \\ =30-14=16m \end{gathered}$$

بلغت الإزاحة في الفترة الزمنية [0,4] ثوانٍ,16m.

 

3) جد المسافة التي قطعها الجسيم في الفترة الزمنية [0,4] ثوانٍ.

الحل:

$$\begin{gathered} \mathrm{المسافة} \mathrm{المقطوعة}={\int }_{t_1}^{t_2}\left|v\left(t\right)\right|dt \\ ={\int }_0^4\left|3t^2-3t-6\right|dt \end{gathered}$$

بإعادة تعريف  $\left|v\left(t\right)\right|$ كاقتران متشعب:

$$\begin{gathered} 3t^2-3t-6=0 \\ 3(t-2)(t+1)=0 \\ t=2, t=-1 \mathrm{تهمل} \end{gathered}$$

 اشارة v(t)

$$\begin{gathered} \left|v\left(t\right)\right|=\left\{\begin{array}{ll}-3t^2+3t+6 ,& 0\le t\le 2\\ 3t^2-3t-6 ,& 2<t\end{array}\right. \\ \mathrm{المسافة} \mathrm{المقطوعة}={\int }_0^2(-3t^2+3t+6)dt+{\int }_2^4(3t^2-3t-6)dt \\ =(-t^3+\frac{3}{2}{t}^2+6t){|}_0^2+(t^3-\frac{3}{2}{t}^2-6t){|}_2^4 \\ =(-8+6+12)-\left(0\right)+(64-24+24)-(8-6-12) \\ =10+64-14 \\ =60m \end{gathered}$$

المسافة الكلية التي قطعها الجسيم خلال الفترة الزمنية [0,4] ثوانٍ بلغت 60m.

 

تطبيقات التكامل:c)معادلة المنحنى وميل المماس:

يمكن استخدام التكامل لإيجاد معادلة المنحنى بمعرفة معادلة ميل مماسه, فميل المماس هو: $m=\frac{dy}{dx}$

ولإيجاد معادلة المنحنى, نجري عملية التكامل لميل المماس, ولإيجاد ثابت التكامل, نستخدم الشرط الأولي (النقطة) التي تحقق معادلة المنحنى.

مثال 8:

تمثل العلاقة  $m=\frac{dy}{dx}=3\sin \left(x\right)-6e^{-2x}+1$

ميل المماس لمنحنى العلاقة y عند النقطة (x,y)

جد معادلة العلاقة y, علمًا بأن منحناها يمر بالنقطة (0,10).

الحل:

$$\begin{gathered} m=\frac{dy}{dx}=3\sin \left(x\right)-6e^{-2x}+1 \\ y=\int mdx=\int \left(3\sin \right(x)-6e^{-2x}+1)dx \\ y=-3\cos \left(x\right)+3e^{-2x}+x+c \end{gathered}$$

لإيجاد قيمة الثابت c, نستخدم الشرط الأولي :$(x,y)=(0,10)$

$$\begin{gathered} 10=-3+3+0+c \\ 10=c \end{gathered}$$

قاعدة العلاقة y هي:

$y=-3\cos \left(3x\right)+3e^{-2x}+x+10$