حل نظام متباينات خطية بيانيًا 

فكرة الدرس : حل نظام مُكوّن من متباينات خطية بيانيًا 

يتكون نظام المتباينات الخطية من متباينتين خطيّتين أو أكثر ،  ويُطلق على مجموعة الأزواج المرتبة التي تُحقق جميع المتباينات اسم مجموعة الحل  . 

مثلًا : يتكون النظام الآتي من ثلاث متباينات  : 

$$\begin{gathered} 2x + y > 3 ...... \left(1\right) \\ 3y - x < 0 ...... \left(2\right) \\ 4x + 3y \ge 6 ...... \left(3\right) \end{gathered}$$

يُمثل الزوج المُرتب $(\mathbf{3} , \mathbf{-}\mathbf{1})$ أحد حلول هذا النظام ؛ لأنه يحقق المتباينات جميعها .

الزوج المرتب يحقق المتباينة الأولى (1)	$2 \left(3\right) + (-1) = 5 \stackrel{ }{>} 3 ✔$
الزوج المرتب يحقق المتباينة الثانية (2)	$3 (-1)- 3 =-6 \stackrel{ }{>} 0 ✔$
الزوج المرتب يحقق المتباينة الثالثة (3)	$4\left(3\right) +3(-1) = 9 \stackrel{ }{>} 6 ✔$

 

 

 

 

 

•• علمًا أنه يوجد عدد لا نهائي من الأزواج المرتبة التي تحقق هذا النظام وليس $(3 , -1)$ فقط.

 

لحل نظام متباينات ، أمثل كل متباينة فيه بيانيًا على المستوى الإحداثي نفسه ثم أظلل المنطقة المشتركة بين مناطق حل المتباينات جميعها التي تمثل حل النظام .  

مثال : 

أمثل منطقة حل نظام المتباينات الآتي ، ثم أتحقق من صحة الحل . 

$$\begin{gathered} x + 2y \ge 1 \\ x - y > 3 \end{gathered}$$                                                                                                                                                                       

الحل  : 

الخطوة 1 : أمثل المستقيمين الحدوديين  : 

                                    $$\begin{gathered} x + 2y = 1 \\ x - y = 3 \end{gathered}$$

 

الخطوة 2 :تحديد منطقة التقاطع بين حليّ المتباينتين : 

ألاحظ أنّ حل المتباينة $x + 2y \ge 1$ هو المنطقتان A  ، C  وأنّ حل المتباينة $x - y > 3$هو المنطقتان B  ، C ، إذن المنطقة  C  المشتركة بين منطقتي حل  المتباينتين هي منطقة حل نظام المتباينات .

الخطوة 3 : أتحقق من صحة الحل :

أتحقق من صحة الحل باختيار زوج مرتب يقع في منطقة حل النظام C مثل (1 ، 5) ثم أعوضه في متباينات النظام جميعها : 

المتباينة الأولى	$$\begin{gathered} x + 2y \ge 1 \\ 5 + 2\left(1\right) = 7 , 7 \ge 1 ✔ \end{gathered}$$
المتباينة الثانية	$$\begin{gathered} x - y > 3 \\ 5 - 1 = 4 , 4 > 3 ✔ \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

---

••  لا يكون لنظام المتباينات حل أحيانًا ؛ لعدم وجود منطقة مشتركة  بين مناطق حل المتباينات المُكونة له ، عندئذ تكون مجموعة الحل هي المجموعة الخالية .

مثال : 

أمثل منطقة حل نظام المتباينات الآتي:

$$\begin{gathered} x+y \ge 4 \\ x+y < 1 \end{gathered}$$ 

الحل  :  أمثل بيانيًا المستقيمين الحدوديين :  $$\begin{gathered} x+y = 4 \\ x+y = 1 \end{gathered}$$ على المستوى الإحداثي نفسه ، وأستخدم لونين مختلفين لتظليل منطقتي الحل ، كما في الشكل المجاور  ألاحظ أنّ حل المتباينة   4 $\ge$ x + y  هو المنطقة A ، وأنّ حل المتباينة  x + y < 1 هو المنطقة B ، وأنه لا يوجد تقاطع بين منطقتي حل المتباينتين . إذن حل النظام هو المجموعة الخالية .

  

---

•• قد يحوي النظام أكثر من متباينتين ،عندئذ تكون منطقة الحِّل هي المنطقة المشتركة بين مناطق حِّل المتباينات جميعها.

مثال : 

أمثل منطقة حل نظام المتباينات الآتي: 

$$\begin{gathered} x + y \le 1 \\ x - y > 2 \\ y < 4 \end{gathered}$$

الحل  :  الخطوة 1 : أُمثِّل بيانيًّا المستقيمات الحدودية : $$\begin{gathered} x + y = 1 \\ x - y = 2 \\ y = 4 \end{gathered}$$ على المستوى الإحداثي نفسه كما في الشكل المجاور.  الخطوة 2 : تحديد منطقة الحل. أُظلِّل منطقة حل المتباينة : x + y $\ge$ 1  ، وهي المناطق: .A, B, C    أُظلِّل منطقة حل المتباينة : x - y > 2  ، وهي المناطق: .E, D, C أُظلِّل منطقة حل المتباينة: y < 4  ، وهي المناطق:  .F, D, E, C    أُلاحظ أنَّ المنطقة C هي المنطقة المشتركة بين مناطق حل المتباينات الثلاث. إذن ، هي منطقة حل النظام.

 

مثال : 

مع عبير  40 ديناراً ، أرادت أن تشتري بها صنفين من الشوكولاتة ، إذا كان سعر العلبة من الصنف الأول 9 دنانير ، وسعر العلبة من الصنف الثاني 4 دنانير  ، 

فما عدد علب الشوكولاتة من كِلا الصنفين التي ممكن أن تشتريها عبير إذا أرادت شراء 4 علب على الأقل . 

الحل  :  

أكوّن المتباينات من معطيات السؤال :  أفرض عدد علب الشوكولاتة التي ستشتريها عبير من الصنف الأول x  ،  وعدد علب الشوكولاتة من الصنف الثاني y  متباينة عدد العلب  : $x + y \ge 4$ متباينة الثمن :      $9x + 4y \le 40$ أمثل المتباينات في المستوى الإحداثي نفسه :  أظلل منطقة حل المتباينة $x + y \ge 4$ ، وهي المناطق A , B  أظلل منطقة حل المتباينة $9x + 4y \le 40$ وهي المناطق A , C المنطقة المشتركة هي A    إذن حل النظام هي المنطقة A ، ويؤخذ منها فقط الأعداد الصحيحة الموجبة ، لأن أعداد علب الشوكولاتة لا تكون إلا أعداد صحيحة موجبة .