رياضيات

مفاهيم أساسية : 

... ،1000 ،100 ، يمكنُني كتابةُ أيِّ عددٍ نسبيٍّ بالصورةِ العشريَّةِ بطرائقَ عِدَّةٍ، منْها إيجادُ كسرٍ مكافئٍ مقامُهُ: 10

مثال 1:أكتبُ كلَّ عددٍ نسبيٍّ ممّا يأتي بالصّورةِ العشريَّةِ:

1) $\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{5}}$

العددُ 5 أَحدُ عواملِ العددِ 10 ؛ لذلكَ يمكنُني أنْ أجدَ كسرًا مكافئًا مقامُهُ 10، بِما أنَّ $5\times 2=10$ فإنَّني أضربُ كُلًّ منَ البَسطِ والمَقامِ في 2

$\frac{2}{5}\underset{\times 2}{\overset{\times 2}{\to }}=\frac{4}{10}=0.4$

2) $\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{25}}$

العددُ 25 أَحدُ عواملِ العددِ 100 ؛ لذلكَ يمكنُني أنْ أجدَ كسرًا مكافئًا مقامُهُ 100 ، بِما أنَّ $25\times 4=100$  فإنَّني أضربُ كُلًّ منَ البَسطِ والمَقامِ في 4

$\frac{-3}{25}\underset{\times 4}{\overset{\times 4}{\to }}=\frac{-12}{100}= -0.12$

 

قدْ لا يكونُ سهلً إيجادُ كسرٍ مكافى مقامُهُ: 10, 100, 1000, ... حينَئِذٍ أقسمُ البسطَ على المقامِ باستعمالِ طريقةِ القسمةِ الطَّويلةِ.

مثال 2: أستخدمُ القسمةَ لِكِتابةِ $\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{8}}$ بالصّورةِ العشريَّةِ.
 

                 $85$                  أقسمُ 5 على 8

---

           $80.65.0$                    أضعُ صفرًا يمينَ الفاصلةِ العشريَّةِ

---

       $80.65.00\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{8}-----20$                    أطرحُ 48 منْ 50 ، ثمَّ أضعُ صفرًا آخرَ يمينَ الفاصلةِ العشريّةِ

---

       $80.6\mathbf{2}5.00-48-----20$                    أقسمُ 20 على 8

---

$80.6\mathbf{2}5.000-48-----20\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{6}---------40$                    أطرحُ 16 منْ 20 ، ثمَّ أضعُ صفرًا آخرَ يمينَ الفاصلةِ العشريّةِ 

---

$80.6\mathbf{2}\mathbf{5}5.000-48-----20\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{6}---------40$                    أقسمُ 40 على 8

---

$8\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{6}\mathbf{2}\mathbf{5}5.000-48-----20-16---------40-40--------\mathbf{0}$                  تنتهي القسمةُ حينَما يكونُ ناتجُ الطّرْحِ صفرًا

يُكْتَبُ الكسرُ $\frac{5}{8}$  بالصّورةِ العشريَّةِ على النّحْوِ الآتي: 0.625 أي أن $\frac{5}{8}=0.625$

يُسمّى الكسرُ العشريُّ 0.625 الناتجُ في المثالِ السّابقِ كسرًا عشريًّا مُنتهيًا لأنه يحتوي على عددٍ مُنْتَهٍ منَ الأرقامِ.

 

لكنْ، هلْ يمكنُ أنْ يحتويَ الكسرُ العشريُّ على عددٍ غيرِ مُنْتَهٍ منَ الأرقامِ؟ للإجابةِ عنْ ذلكَ، أَتأمَّلُ المثالَ الآتيَ: 

مثال 3: أستخدمُ القسمةَ لِكِتابةِ $\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{9}}$  بالصّورةِ العشريَّةِ.

$90.\mathbf{3}\mathbf{3}\mathbf{3}3.\mathbf{0}\mathbf{0}\mathbf{0}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{7}----------3\mathbf{0}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{7}----------3\mathbf{0}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{7}------------3\mathbf{0}$                          أقسمُ 3 على 9 وأُضيفُ أصفارًا إلى يمين الفاصلةِ العشريَّةِ كلَّ مرَّةٍ؛ للاستمرارِ في القسمةِ.

إذَنْ، الكسرُ العشريُّ المكافئُ للعددِ النِّسبيِّ $\frac{3}{9}$ هوَ ... 0.333 ، أُلاحِظُ أنَّ الرّقْمَ 3 يتكرَّرُ بِشكلٍ غيرِ مُنْتَهٍ. 

يُسمّى الكسرُ العشريُّ ... 0.3333 الناتجُ في المثالِ السّابقِ كسرًا عشريًّا دوريًّا  وللتَّعبيرِ عنْ تَكرارِ رَقْمٍ بِشكلٍ غيرِ مُنْتَهٍ أَضعُ الإِشارةَ $\left( \overline{} \right)$ فوقَهُ؛ أيْ إنَّ $\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{3333}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{=}\overline{\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{3}}$ و أقرؤُها: ثلاثةٌ بالعشرةِ دَوْرِيٌّ. 

- إذا تكرَّرَ أكثرُ منْ رقمٍ في الكسرِ العشريِّ الدّوْرِيِّ أضَعُ إشارةَ $\left( \overline{} \right)$فوقَ الأرقامِ المُتكرِّرِة فقطْ. مَثلً $\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{575757}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{.}\overline{\mathbf{57}}$

 - في بعضِ الكسورِ العشريِّةِ قدْ تتكرَّرُ بعضُ الأرقامِ منْ دونِ غيرِها. فمثلًا في الكسرِ العشريِّ: $\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{3444}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{3}\overline{\mathbf{4}}$ نلحظ أنَّ الرقمَ 4 فقطْ متكرِّرٌ؛ لذلكَ وضَعْنا فوقَهَ فقطْ إشارةَ $\left( \overline{} \right)$ لأَنَّ الرقمَ 3 لمْ يتكرّرْ. 

مثال 4: منَ الحياةِ : قادَ طارقٌ دراجتَهُ الهوائيَّةَ مسافةَ $\frac{\mathbf{13}}{\mathbf{8}}\mathbf{Km}$ منْ منزلِهِ إلى الحديقةِ العامَّةِ أعبِّرُ بالصّورةِ العشريِّة عنِ المسافةِ الَّتي قطعَها طارقٌ. 

يمكنُني أنْ أكتبَ الكسرَ غيرَ الفِعليِّ $\frac{13}{8}$ بصورةِ عددٍ عشريٍّ، بإيجاد 8÷13 باستخدام القسمة الطويلة  لكنْ منَ الأسهلِ -أحيانًا- كتابةُ الكسرِ  بصورةِ عددٍ كسريٍّ أوّلً، ثمَّ إجراءُ القسمةِ الطّويلةِ.

     $\frac{13}{8}=1\frac{5}{8}$                  أكتبُ الكسرَ غيرَ الفعِلِّي بصورةِ عددٍ كسريٍّ

$=1.\mathbf{625}$                        أجدُ ناتجَ 8÷5 بالقسمةِ الطّويلةِ كما في المثالِ 2