مضروب العدد 

Factorial

فكرة الدرس : تعرُّف مضروب العدد الصحيح غير السالب، واستعماله في حَلِّ مسائل حياتية.

• يُمكن التعبير عن 1 × 2 × 3 باستعمال الرمز  ! 3 الذي يُقرأ : مضروب العدد ثلاثة.

مفهوم أساسي (مضروب العدد)

بالكلمات : مضروب العدد الصحيح الموجب n هو حاصل ضرب الأعداد الصحيحة الموجبة التي هي أصغر من (أو تساوي) n

بالرموز  : n! = n × (n - 1) × (n - 2) × . . . × 1

---

مثال : 

أجد ناتج كلٍّ ممّا يأتي :

$a) 5! b) \left(9 - 6\right)! c) 5! - 2! d) \frac{8! }{6! } e) \frac{ 4!+0! }{(3!-5)!}$

الحل : 

$$\begin{gathered} a) 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \\ = 120 \end{gathered}$$	تعريف المضروب
$$\begin{gathered} b) (9 - 6)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 \\ = 6 \end{gathered}$$	بإيجاد ناتج الطرح أولاً ، ثم ناتج المضروب
$$\begin{gathered} c) 5! - 2! = ( 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) - (2 \times 1) \\ = 120 - 2 \\ = 118 \end{gathered}$$	بإيجاد ناتج مضروب كل من العددين ثم الطرح
$d) \frac{8! }{6! } = \frac{8 \times 7 \times \cancel{6!}}{\cancel{\cancel{6!}}} = 56$	باختصار العناصر المتشابهة في البسط والمقام
$e) \frac{ 4!+0! }{(3!-5)!} = \frac{24+1}{(6-5)!}= \frac{25}{1!} = 25$	في البسط مضروب الصفر  = 1 ، إذن ناتج البسط = 25  في المقام  الأولوية لما داخل القوس فينتج مضروب الواحد = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

• يُمكن استعمال مضروب العدد لحل المسائل بدلًا من استعمال مبدأ العدِّ الأساسي .

مثال : 

يريد سامي قراءة 4 كتب لديه ، بكم طريقة يُمكنه ترتيب قراءة هذه الكتب ؟

الحل : 

يُمكِن تحديد عدد هذه الطرائق باستعمال مضروب العدد 4 ؛ لأنَّ سامي يريد ترتيب قراءة  4 كتب ، لكلٍّ منها عدد من البدائل من دون تكرار ، فيكون عدد الطرائق مساويًا لمضروب العدد 4 :

$$\begin{gathered} 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 \\ = 24 \end{gathered}$$

إذن : عدد  طرائق ترتيب قراءة 4 كتب  = 24 طريقة .

---

 

• يُمكن أيضًا استعمال المضروب لإيجاد عدد طرائق ترتيب عناصر مجموعة ؛ سواء أكانت بعض العناصر مُكرَّرة أم لا. 

مثال :

أجد عدد الطرائق المُمكِنة لترتيب حروف كل كلمة ممّا يأتي :                                                                                                                                                                                                                                                   a) FLOWERS

b) SUCCESS 

 الحل : 

a)  FLOWERS 

 

أُلاحِظ أنَّ كلمة (FLOWERS) تحوي 7 أحرف مختلفة غير مُكرَّرة ، وأنَّ عدد الطرائق المُمكنة لترتيب هذه الأحرف يساوي مضروب العدد 7 : 

                                                                                                                                                                                                                                            7! = 5040

إذن ، يوجد 5040 كلمة يُمكِن تكوينها من تراتيب مختلفة للأحرف السبعة.

---

 

b) SUCCESS  

أُلاحِظ أنَّ كلمة ( SUCCESS ) تحوي 7 أحرف ، تَكرَّر منها الأحرف الآتية : $S_1 , S_2 , S_3 , C_1 , C_2$ لا يُؤثِّر في الحلّ ترتيب الأحرف المُكرَّرة والمتشابهة. فمثاً، لا فرق بين  $S_1 , S_2$  و  $S_2 ,S_1$  لذا تستثنى طرائق ترتيب الأحرف المُكرَّرة عند عَدِّ الطرائق الكلية المُمكِنة لتراتيب أحرف الكلمة ، وذلك بالقسمة على عدد طرائق ترتيب الأحرف المُكرَّرة فيها.

عدد طرائق ترتيب 7  أحرف مختلفة	$7! = 5040$
عدد طرائق ترتيب الحرف المُكرَّر S	$3! = 6$
عدد طرائق ترتيب الحرف المُكرَّر C	$2! = 2$
باختصار عدد طرائق ترتيب الأحرف المكررة	$\frac{7!}{(3!) (2!) }= \frac{ 5040 }{ 6 \times 2 }= 420$

 

 

 

 

 

 

إذن، توجد 420 طريقة لترتيب أحرف كلمة (SUCCESS)