رياضيات

حل المتباينات بالجمع والطرح

 

تذكير : 

حل المتباينة: هو أي عدد يجعل المتباينة صحيحة.

...............................................................................................................................................................................................................................................

قاعدة: 

إذا أضفنا أو طرحنا إلى طرفي المتباينة العدد نفسه فإن المتباينة الناتجة صحيحة

مثال:                                                                      8 > 5 

لنضيف العدد  3  الى طرفي المتباينة فتصبح :

                                                              8 + 3  >  5 + 3 

                                                                       11 > 8  

المتباينة صحيحة

مثال ( 1 ) : أحل كل متباينة مما يأتي وامثل الحل على خط الأعداد 

ثم أتحقق من صحة الحل: 

1)  x - 5 < 9

ملاحظة:  لحل المتباينة نعزل المتغير x على أحد طرفي المتباينة

   x - 15 + 15 < - 9 + 15                                                                                      نضيف 15 + الى طرفي المتباينة 

   x < 6                                                                                                                                                       نبسط

                                                                                                                            حيث    0 =  15 + 15 -                                                                        

تمثيل الحل  6 $>$ x  على خط الأعداد:

 

ملاحظة : جميع قيم  x  حيث x أصغر من  6  تمثل  حلاً للمتباينة .

التحقق من صحة الحل: 

لأتحقق من صحة الحل أعوض بدلاً من  x  في المتباينة يعدد أصغر من  6 

أختار مثلاً      3 =  x  

x - 15 < -9                                    المتباينة الأصلية

3 - 15 <?  -9

-12 < -9                                       المتباينة صحيحة

 

.........................................................................................................................................................................................................................................................................

2)  5 $\mathbf{\le }$ y - 4 

                                "على أحد الطرفين  y أضيف  4+  الى طرفي المتباينة " لأعزل المتغير 

5 + 4  $\mathbf{\le }$ y -4 +4

5 $\mathbf{\le }$ y                                 - لأن  0 = 4+ 4 

إذن الحل هو :             $\mathbf{y}\mathbf{ }\mathbf{\le }\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{أ}\mathit{و}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{y}$

تمثيل الحل:     5  $\ge$  y     على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل : 

بما أن الحل  $\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{y}$  أختار أي عدد  أقل أو يساوي  5

أختار مثلاً  ( y = 1 )  

5$\mathbf{\le }$y - 4                                                                             المتباينة الأصلية     

5 $\mathbf{\le }$ 1 - 4                                                                      ب 1  y   أعوض عن

5 $\mathbf{\le }$ -3                                                                               المتباينة صحيحة       

.....................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 2 ) : أحل كل متباينة مما يأتي وأمثل الحل على خط الأعداد 

ثم أتحقق من صحة الحل:

1)              m + 4 > 7

                m + 4 - 4 > 7 - 4                                      أطرح  4 من طرفي المتباينة

                m > 3                                                                    +4 -4 = 0

                m $\le$ 3                                                                                 إذن الحل

تمثيل الحل  3  $\le$ m  على خط الأعداد

أتحقق من صحة الحل : 

بما أن الحل  3 $\le$ m  أختار أي عدد أكبر أو يساوي 3

مثلاً أختار   ( m = 5 )  وأعوض في المتباينة الأصلية

m + 4 > 7                                      المتباينة الأصلية

5 + 4 > 7                                  ب 5  m  أعوض عن 

9 > 7                                              المتباينة صحيحة

..........................................................................................................................................................................................................................................................................

  $$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{a}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{2} \\ أ\text{طرح} \frac{1}{4} \text{ من طرفي المتباينة } \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{-}\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{a} \\ 0= \frac{1}{4}-\frac{1}{4} + \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{a} \end{gathered}$$

                                                                                                                      ثم أوحد المقامات في الطرف الثاني

a $\mathbf{\ge }$ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{-}\mathbf{ }\frac{\mathbf{12}}{\mathbf{4}}$                                                                                                                                      أبسط

a$\mathbf{\ge }$ $\frac{\mathbf{11}}{\mathbf{4}}$                                       

                                                                                                       a $\mathbf{\ge }$ $\frac{\mathbf{11}}{\mathbf{4}}$                                      :إذن الحل 

تمثيل الحل  $\frac{\mathbf{11}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathit{a}$  على خط الأعداد:

أتحقق من صحة الحل : 

بما أن الحل    $\frac{\mathbf{11}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{a}$ أختار أي عدد أصغر أو يساوي  $\frac{11}{4}$

أختار مثلا   ( a = 1 ) 

a + $\frac{1}{4}$ $\ge$ 3                                                                      المتباينة الأصلية

1 + $3\ge \frac{1}{4}$                                                                  ب 1  a  أعوض عن 

$3 \ge \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$                                          أوحد المقامات في الطرف الأول

$3 \ge \frac{5}{4}$                                                         المتباينة صحيحة

.........................................................................................................................................................................................................................................................................

تطبيقات حياتية :

مثال ( 3 ) : مسألة حياتية: 

لعب أحد نوادي كرة القدم ثلاث مباريات في ثلاثة ملاعب مختلفة وبجمهور يزيد عن  25000  شخص،

إذا كان عدد الجمهور في الملعب الأول 9500  شخص، وفي الملعب الثاني  7000  شخص

فما عدد الجمهور في الملعب الثالث؟

الحل: 

المعطيات:  عدد الجماهير في ثلاث مباريات يزيد على  25000 

عدد الجمهور الأول =  9500  شخص

عدد الجمهور الثاني = 7000 شخص 

المطلوب : عدد الجمهور في الملعب الثالث .

ملاحظة:  يزيد على نعبر عنها بإشارة  ( $<$ ) 

المتغير :   عدد الجمهور الثالث غير معروف لذلك نرمز له ب ( x ) 

المتباينة :                                                                                      $\mathbf{25000}\mathbf{<}\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{7000}\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{9500}$

أحل المتباينة:                                                                                           $\mathbf{25000}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{16500}$

           ( أطرح  16500  من طرفي المتباينة )

                                                                                $\mathbf{16500}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{25000}\mathbf{<}\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{16500}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{16500}$

أبسط                                                                                                                          $\mathbf{8500}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }\mathbf{x}$

إذن:                       عدد الجمهور في الملعب الثالث أكثر من   8500   شخص