رياضيات فصل أول

قاعدة السلسلة 

مشتقة الاقتران الناتج عن تركيب اقتراني قوة:

تعلمنا سابقاً مفهوم الاقتران المركب وسنتعلم في هذا الدرس كيفية اشتقاق بعض الاقترانات المركبة الناتجة من تركيب اقتراني قوة ، وفي هذه الحالة يمكننا فك الأقواس الناتجة من التركيب واشتقاق كل حد من حدود المقدار الجبري الناتج ولكن فك هذه الأقواس لا يكون سهلا دائما لذلك سنتلعم اليوم طريقة سهلة لإيجاد مشتقة الاقتران المركب تسمى قاعدة السلسلة.

 

إذا كان f و g اقترانين يتكون كل منها من اقترانات قوة؛ فإنه يمكن إيجاد مشتقة الاقتران المركب $\left(fog\right)\left(x\right)=f\left(g\right(x\left)\right)$ باستعمال القاعدة الآتية: $\left(fog\right)\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(g\right(x\left)\right).g\text{'}\left(x\right)$ وبصيغة أخرى، إذا كان $y=f\left(u\right)$ و $u=g\left(x\right)$ فإن: $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$ حيث تحسب قيمة $\frac{dy}{du}$ عند u=g(x)

 

ملاحظة: يمكن إيجاد مشتقة الاقتران المركب على الصورة $y=(g{\left(x\right))}^n$، حيث g(x) اقتران مكون من اقترانات قوة كالآتي:

إذا كان $y={\left(g\left(x\right)\right)}^n$، حيث n عدد حقيقي وg(x) اقتران مكون من اقترانات قوة؛ فإن $\frac{dy}{dx}=n{\left(g\left(x\right)\right)}^{n-1}\times g\text{'}\left(x\right)$

 

إذا كان $y={\left(ax+b\right)}^n$، حيث a, b, n أعداد حقيقية؛ فإن $\frac{dy}{dx}=n{\left(ax+b\right)}^{n-1}\times a$

 

 

معدل التغير بالنسبة إلى الزمن:

في بعض المواقف الحياتية تتغير القيم بالنسبة إلى الزمن فمثلا إذا افترضنا أن r هو نصف قطر بالون كروي حجمه v وحدة مكعبة وكان معدل تغير حجم البالون بالنسبة إلى الزمن $\frac{dv}{dt}$ معلوما في هذه الحالة يمكننا استعمال قاعدة السلسلة لإيجاد معدل تغير طول نصف قطر البالون بالنسبة إلى الزمن $\frac{dr}{dt}$.