الرياضيات فصل أول

مسألة اليوم صفحة 26:

 

يستعمل الاقتران : $R= {\log }_{10 }\left(\frac{I}{I_0}\right)$ لحساب قوة زلزال وفق مقياس ريختر،

حيث $I$ شدة الزلزال المراد قياسه، و $I_0$ أقل شدة للزلزال الذي يمكن للإنسان الإحساس به.

ماذا يمثل الرمز $\log$ في هذا الاقتران؟

الحل:

$\log$ هو اختصار لكلمة لوغاريتم ويعني معكوس الاقتران الأسي ، فإذا كان $b^x=a$ فنقول أن لوغاريتم a للأساس $b$ هو $x$ ، وبالرموز ${\log }_{b}a=x$

---

أتحقق من فهمي 1 صفحة 27:

أكتب كل معادلة لوغاريتمية مما يأتي في صورة أسية:

                                       $$\begin{gathered} a) {\log }_{2 }16 =4 \to 2^4 = 16 \\ b) {\log }_7 7 = 1 \to 7^1 = 7 \end{gathered}$$

                               $$\begin{gathered} c) {\log }_{3 }(\frac{1}{243}) =-5 \to 3^{-5} = \frac{1}{243} \\ d) {\log }_{9 }1 =0 \to 9^0 = 1 \end{gathered}$$

---

---

أتحقق من فهمي 2 صفحة 27:

أكتب كل معادلة أسية مما يأتي في صورة لوغاريتمية:

                                          $$\begin{gathered} a) {7^3}_{ }=343 \to {\log }_7 343 = 3 \\ b) {49{ }^{\frac{1}{2}}}_{ }=7 \to {\log }_{49} 7 = \frac{1}{2} \end{gathered}$$

                        $$\begin{gathered} c) {{\left(2\right)}^{-5}}_{ }=\frac{1}{32} \to {\log }_2 \left(\frac{1}{32}\right) = -5 \\ d) 1{7^0}_{ }=1 \to {\log }_{17} 1 = 0 \end{gathered}$$

  

---

---

 أتحقق من فهمي 3 صفحة 28:

أجد قيمة كل مما يأتي دون استخدام الآلة الحاسبة:

$a) {\log }_5 25 b) {\log }_{8 }\sqrt{8} c) {\log }_{81} 9 d) {\log }_{3 }\left(\frac{1}{27}\right)$

 

 الحل:  

$b) {\log }_{8 }\sqrt{8}$
${\log }_{8 }\sqrt{8} =y$	بافتراض أن المقدار يساوي y
$8^y=\sqrt{8}$	الصيغة الأسية
$8^{{}^y}=8^{\frac{1}{2}}$	$\sqrt{8}= 8^{\frac{1}{2}}$
$y=\frac{1}{2}$	بمساواة الأسس
$\therefore {\log }_{8 }\sqrt{8} =\frac{1}{2}$

                        

$a) {\log }_5 25$
${\log }_5 25 =y$	بافتراض أن المقدار يساوي y
${5{ }^y}^{} = 25$	الصيغة الأسية
$5{ }^y = 5^2$	$5^2=25$
$y=2$	بمساواة الأسس
$\therefore lo{g}_5 25 =2$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$d) {\log }_{3 }\left(\frac{1}{27}\right)$
${\log }_{3 }\left(\frac{1}{27}\right)=y$	بافتراض أن المقدار يساوي y
$3^y=\frac{1}{27}$	الصيغة الأسية
$3^y=\frac{1}{3^3}$	$27 =3^3$
$3^y=3^{-3}$	$\frac{1}{3^3}=3^{-3}$
$y=-3$	بمساواة الأسس
$\therefore lo{g}_{3 }\left(\frac{1}{27}\right)=-3$

$c) {\log }_{81} 9$
${\log }_{81} 9 =y$	بافتراض أن المقدار يساوي y
${81}^y = 9$	الصيغة الأسية
${\left(9^2\right)}^y =9^1$	$81=9^2$
$9^{2y} = 9^1$	قانون قوة الأسس
$2y=1$	بمساواة الأسس
$y=\frac{1}{2}$	بحل المعادلة
$\therefore lo{g}_{81} 9 =\frac{1}{2}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

---

أتحقق من فهمي 4 صفحة 29:

أجد قيمة كل مما يأتي دون استخدام الآلة الحاسبة:

     $$\begin{gathered} a) {\log }_{2}1 =0 \\ b) {\log }_{32}\left(\sqrt{32}\right) ={\log }_{32} ({32}^{\frac{1}{2}} )= \frac{1}{2} \\ c) {\log }_9 9 =1 \\ d) 8^{lo{g}_{8}13} =13 \end{gathered}$$

 

---

---

أتحقق من فهمي 5 صفحة 31:

أمثل كل اقتران مما يأتي بيانيًا، ثم أحدد مجاله ومداه ومقطعيه من المحورين الإحداثيين وخطوط تقاربه، مبينًا إذا كان متناقصًا أم متزايدًا:

           $a) {\log }_3 x b) {\log }_{\frac{1 }{3}} x$

 

الحل:

$a) {\log }_3 x$ 

1) استعمل العلاقة العكسية بين الاقتران الأسي واللوغاريتمي: ${\log }_3 x =y \to x= 3^y$

2) أنشئ جدولًا للقيم لإيجاد الأزواج المرتبة اللازمة لتمثيل الاقتران:

$x=3^y$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	1	3	9
y	-2	-1	0	1	2
(x, y)	($\frac{1}{9}$, -2)	($\frac{1}{3}$, -1)	(1, 0)	(3, 1)	(9, 2)

 

 

 

 

 

3)  مثل الاقتران في المستوى الإحداثي بتعيين الأزواج المرتبة ، ثم صل بينها بمنحنى متصل :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مجال الاقتران : هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ${\mathrm{ℝ}}^{{}^{+}}$ أي $(0, \infty )$

مدى الاقتران : هو مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathrm{ℝ}$

المقطع x هو 1 (أي يقطع محور x عند النقطة (0, 1)، أي عندما x=1)

لا يوجد مقطع  y  ؛ لأن $x>0$ دائمًا.

خط التقارب : الاقتران له خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متزايد

 

$b) {\log }_{\frac{1 }{3}} x$

1) ${\log }_{\frac{1 }{3}} x = y \to x= {\left(\frac{1}{3}\right)}^y$

2) أنشئ جدولًا للقيم لإيجاد الأزواج المرتبة اللازمة لتمثيل الاقتران:

$x={\left(\frac{1}{3}\right)}^y$	9	3	1	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{9}$
y	-2	-1	0	1	2
(x, y)	(9, -2)	(3, -1)	(1, 0)	($\frac{1}{3}$, 1)	($\frac{1}{9}$, 2)

 

 

 

 

 

3)  تمثيل الاقتران في المستوى الإحداثي:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مجال الاقتران : هو  مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ${\mathrm{ℝ}}^{+}$ أي $(0, \infty )$

مدى الاقتران : هو الأعداد الحقيقية

المقطع x هو 1 (أي يقطع محور السينات x عند النقطة (0, 1)، أي عندما x=1)

لا يوجد مقطع  y  .

خط التقارب : الاقتران له خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متناقص

---

---

أتحقق من فهمي 6 صفحة 33:

أجد مجال كل اقتران لوغاريتمي مما يأتي:

                                                                     $a) f(x)= {\log }_7(5-x) b) f\left(x\right)={\log }_5(9+3x)$

 

$a) f(x)= {\log }_7(5-x)$
$5-x >0$	$g\left(x\right)>0$
$-x >-5$	بحل المتباينة من خلال طرح 5 من الطرفين
$x<5$	بقسمة طرفي المتباينة على 1- ، وتغيير اتجاه المتباينة (قسمة طرفي المتباينة على عدد سالب يغير رمز التباين)
إذن، مجال الاقتران هو الفترة $(-\infty , 5)$

$b) f(x)={\log }_5(9+3x)$
$9+3x >0$	$g\left(x\right)>0$
$3x>-9$	بحل المتباينة من خلال طرح 9 من الطرفين
$x>-3$	بقسمة طرفي المتباينة على 3 (قسمة طرفي المتباينة على عدد موجب لا يغير رمز التباين)
إذن، مجال الاقتران هو الفترة $(-3, \infty )$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

---

أتدرب وأحل المسائل صفحة 33:

أكتب كل معادلة لوغاريتمية مما يأتي في صورة أسية:

 

                            $$\begin{gathered} 1) {\log }_{7 }343 =3 \to 7^3 = 343 \\ 2) {\log }_4 256 = 4 \to 4^4 = 256 \end{gathered}$$

                                 $$\begin{gathered} 3) {\log }_{125 }5 =\frac{1}{3} \to {\left(125\right)}^{\frac{1}{3}} = 5 \\ 4) {\log }_{36 }6 =0.5 \to {36}^{0.5} = 6 \\ 5) {\log }_{9 }1 =0 \to 9^0 = 1 \\ 6) {\log }_{57 }57 =1 \to {57}^1 =57 \end{gathered}$$

---

---

أكتب كل معادلة أسية مما يأتي في صورة لوغاريتمية:

 

                      $$\begin{gathered} 7) {2^6}_{ }=64 \to {\log }_2 64 = 6 \\ 8) {4^{-3}}_{ }=\frac{1}{64} \to {\log }_4 \left(\frac{1}{64}\right) = -3 \\ 9) {6^3}_{ }=216 \to {\log }_6 216 = 3 \end{gathered}$$

             $$\begin{gathered} 10) {5^{-3}}_{ }=0.008 \to {\log }_5 0.008 = -3 \\ 11) {{\left(51\right)}^1}_{ }=51 \to {\log }_{51} 51 = 1 \\ 12) {9^0}_{ }=1 \to {\log }_9 1 = 0 \end{gathered}$$

---

---

أجد قيمة كل مما يأتي من دون استخدام الآلة الحاسبة:

 

$13) {\log }_{3}81$
${\log }_{3}81 =y$	بافتراض أن المقدار يساوي y
$3^y = 81$	الصيغة الأسية
$3^y = 3^4$	$81=3^4$
$y=4$	بمساواة الأسس
$\therefore lo{g}_{3}81=4$

$14) {\log }_{25} 5$
$lo{g}_{25} 5=y$	بافتراض أن المقدار يساوي y
$25{ }^y =5$	الصيغة الأسية
${\left(5^2\right)}^y = 5^1$	$25=5^2$
${5{ }^2}^y = 5^1$	قانون قوة الأسس
$2y=1$	بمساواة الأسس
$y=\frac{1}{2}$	بحل المعادلة
$\therefore lo{g}_{25} 5=\frac{1}{2}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

$$\begin{gathered} 15) {\log }_2 32 \\ lo{g}_2 32=y \to 2^y =32 \\ \to 2^y = 2^5 \\ \therefore y=5 \to lo{g}_2 32 = 5 \end{gathered}$$                                                                                                                               $$\begin{gathered} 16) {\log }_{49} 343 \\ {\log }_{49} 343=\mathrm{y} \to {49}^{\mathrm{y}} =343 \\ \to 7^{2y} = 7^3 \to 2y=3 \\ \therefore y=\frac{3}{2} \to lo{g}_{49} 343=\frac{3}{2} \end{gathered}$$                          

 

---

$$\begin{gathered} 17) {\log }_{10} 0.001 \\ 0.001 = \frac{1}{1000}=\frac{1}{{10}^3}={10}^{-3} \\ {\log }_{10} 0.001 = {\log }_{10 }{\left(10\right)}^{-3} =-3 \end{gathered}$$                                                                                                                                              $18) {\log }_{\frac{3}{2}} 1 = 0$

---

$$\begin{gathered} 19) {\log }_{\frac{1}{4}} 4 \\ {\log }_{\frac{1}{4}} 4=\mathrm{y} \to {\left(\frac{1}{4}\right)}^{\mathrm{y}} = 4 \\ \to {\left(4^{-1}\right)}^y = 4 \\ \to 4^{-y} = 4^1 \\ \therefore -y = 1 \to y=-1 \\ \therefore lo{g}_{\frac{1}{4}} 4 = -1 \end{gathered}$$                                                                                                                                               $20) {\left(10\right)}^{lo{g}_{10}\frac{1}{8}} =\frac{1}{8}$

  (طريقة أخرى)              ${\log }_{\frac{1}{4}} 4 = {\log }_{\frac{1}{4}} {\left(\frac{1}{4}\right)}^{-1}=-1$

---

$$\begin{gathered} 21) {\log }_2 \frac{ 1}{\sqrt{{\left(2\right)}^7}} ={\log }_2 \frac{1}{2^{{\displaystyle \frac{7}{2}}}} \\ = {\log }_2 {\left(2\right)}^{-\frac{7}{2}} = -\frac{7}{2} \end{gathered}$$                                                                                                                                                      $22) {\log }_a \sqrt[5]{a} ={\log }_a {\left(a\right)}^{\frac{1}{5}}=\frac{1}{5}$

 

 

$23) {\log }_{10} (1\times {10}^{-9}) = {\log }_{10} \left({10}^{-9}\right)=-9$                                                                                                                                          $24) {\left(8\right)}^{lo{g}_8 5} =5$

---

---

أمثل كل اقتران مما يأتي بيانيًا، ثم أحدد مجاله ومداه ومقطعيه من المحورين الإحداثيين وخطوط تقاربه، مبينًا إذا كان متناقصًا أم متزايدًا:

 

$25)\mathbf{ }f(x) = lo{g}_5 x$

1) الصورة الأسية: ${\log }_5 x = y \to x= 5{ }^y$

2) أنشئ جدولًا للقيم لإيجاد الأزواج المرتبة اللازمة لتمثيل الاقتران:

 

$x= 5{ }^y$	$\frac{1}{25}$	$\frac{1}{5}$	1	5	25
y	-2	-1	0	1	2
$(x, y)$	$(\frac{1}{25}, -2)$	$(\frac{1}{5}, -1)$	$(1, 0 )$	$(5, 1 )$	$(25, 2 )$

 

 

 

 

 

3)  تمثيل الاقتران في المستوى الإحداثي:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مجال الاقتران : هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ${\mathrm{ℝ}}^{{+}^{}}$ أي $(0, \infty )$

مدى الاقتران : هو مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathrm{ℝ}$

المقاطع : المقطع x هو 1

                   لا يوجد مقطع y

خط التقارب : الاقتران له خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متزايد

---

$26)\mathbf{ }\mathrm{g}(x) = lo{g}_4 x$

1) الصورة الأسية:${\log }_4 x = y \to x= 4{ }^y$

2) أنشئ جدولًا للقيم لإيجاد الأزواج المرتبة اللازمة لتمثيل الاقتران:

 

$x= 4^{{}^y}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{4}$	1	4	16
y	-2	-1	0	1	2
$(x, y)$	$(\frac{1}{16}, -2)$	$(\frac{1}{4}, -1)$	$(1, 0 )$	$(4, 1)$	$(16, 2)$

 

 

 

 

 

3)  تمثيل الاقتران في المستوى الإحداثي:

 

مجال الاقتران : هو هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة${\mathrm{ℝ}}^{+}$ أي $(0, \infty )$

مدى الاقتران : هو الأعداد الحقيقية $\mathrm{ℝ}$

المقاطع : المقطع x هو 1

                  لا يوجد مقطع y  أبدًا

خط التقارب : الاقتران له خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متزايد

---

$27)\mathbf{ }\mathrm{h}(x) = lo{g}_{\frac{1}{5}} x$

1) الصورة الأسية:${\log }_{\frac{1}{5}} x = y \to x= \left(\frac{1}{5}\right){ }^y$

2) أنشئ جدولًا للقيم لإيجاد الأزواج المرتبة اللازمة لتمثيل الاقتران:

 

$x= \left(\frac{1}{5}\right){ }^y$	25	5	1	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{25}$
y	-2	-1	0	1	2
$(x, y)$	$(25, -2)$	$(5, -1)$	$(1, 0)$	$(\frac{1}{5}, 1)$	$(\frac{1}{25}, 2)$

 

 

 

 

 

3)  تمثيل الاقتران في المستوى الإحداثي:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مجال الاقتران :هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ${\mathrm{ℝ}}^{+}$ أي $(0, \infty )$

مدى الاقتران : هو الأعداد الحقيقية $\mathrm{ℝ}$

المقاطع : المقطع x هو 1

                   لا يوجد مقطع  y

خط التقارب : الاقتران له خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متناقص

---

$28)\mathbf{ }\mathrm{r}(x) = lo{g}_{\frac{1}{8}} x$

1) الصورة الأسية:${\log }_{\frac{1}{8}} x = y \to x= \left(\frac{1}{8}\right){ }^y$

2) أنشئ جدولًا للقيم لإيجاد الأزواج المرتبة اللازمة لتمثيل الاقتران:

 

$x= \left(\frac{1}{8}\right){ }^y$	64	8	1	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{64}$
y	-2	-1	0	1	2
$(x, y)$	$(64, -2)$	$(8, -1)$	$(1, 0)$	$(\frac{1}{8}, 1)$	$(\frac{1}{64}, 2)$

 

 

 

 

 

3)  تمثيل الاقتران في المستوى الإحداثي:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مجال الاقتران : هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ${\mathrm{ℝ}}^{+}$ أي $(0, \infty )$

مدى الاقتران : هو الأعداد الحقيقية $\mathrm{ℝ}$

المقاطع : المقطع x هو 1

                  لا يوجد مقطع y 

خط التقارب : الاقتران له خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متناقص

---

$29)\mathbf{ }\mathrm{f}(x) = lo{g}_{10} x$

1) الصورة الأسية:${\log }_{10} x = y \to x= 10{ }^y$

2) أنشئ جدولًا للقيم لإيجاد الأزواج المرتبة اللازمة لتمثيل الاقتران:

 

$x= 10{ }^y$	$\frac{1}{100}$	$\frac{1}{10}$	$1$	10	100
y	-2	-1	0	1	2
$(x, y)$	$(\frac{1}{100}, -2)$	$(\frac{1}{10}, -1)$	$(1, 0)$	$(10, 1)$	$(100, 2)$

 

 

 

 

 

3)  تمثيل الاقتران في المستوى الإحداثي:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مجال الاقتران : هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة $(0, \infty )$

مدى الاقتران : هو الأعداد الحقيقية $\mathrm{ℝ}$

المقاطع : المقطع x هو 1

                  لا يوجد مقطع y 

خط التقارب : الاقتران له خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متزايد

---

$30)\mathbf{ }\mathrm{g}(x) = lo{g}_6 x$

1) الصورة الأسية:${\log }_6 x = y \to x= 6{ }^y$

2) أنشئ جدولًا للقيم لإيجاد الأزواج المرتبة اللازمة لتمثيل الاقتران:

 

$x= 6{ }^y$	$\frac{1}{36}$	$\frac{1}{6}$	1	6	36
y	-2	-1	0	1	2
$(x, y)$	$(\frac{1}{36}, -2)$	$(\frac{1}{6}, -1)$	$(1, 0)$	$(6, 1)$	$(36, 2)$

 

 

 

 

 

 

3)  تمثيل الاقتران في المستوى الإحداثي:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مجال الاقتران : هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ${\mathrm{ℝ}}^{+}$ أي  $(0, \infty )$

مدى الاقتران : هو الأعداد الحقيقية $\mathrm{ℝ}$

المقاطع : المقطع x هو 1

                   لا يوجد مقطع y

خط التقارب : الاقتران له خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متزايد

 

---

---

أجد مجال كل اقتران لوغاريتمي مما يأتي:

 

                                                   $31) f(x)={\log }_3(x-2) 32) f\left(x\right)=5-2 {\log }_7(x+1) 33) f(x)=-3 {\log }_4(-x)$

 

الحل :

 

$$\begin{gathered} 32) f(x)=5-2 {\log }_7(x+1) 33) f\left(x\right)=-3 {\log }_4(-x) \\ (x+1) >0 (-x) >0 \\ x >-1 x<0 \\ \to (-1, \infty )\mathrm{المجال} \to (-\infty , 0)\mathrm{المجال} \end{gathered}$$                                           $$\begin{gathered} 31) f(x)={\log }_3(x-2) \\ (x-2)>0 \\ x>2 \\ \to (2, \infty ) \mathrm{المجال} \end{gathered}$$                                                 

---

---

34) أجد قيمة $a$ التي تجعل منحنى الاقتران:$f\left(x\right)={\log }_a x$ يمر بالنقطة $(32, 5)$.

الحل :

عوض النقطة $(32, 5)$  بالاقتران حيث: $x=32 , f\left(x\right)=5$
$f\left(x\right)={\log }_a x$	الاقتران المعطى
$5 = {\log }_a 32$	بتعويض النقطة $(32, 5)$ بالاقتران
$a{ }^5 = 32$	الصورة الأسية
$a{ }^5 = 2^5$	$32=2^5$
$\therefore a=2$	إذا تساوت الأسس تتساوى الأساسات

 

 

 

 

 

 

 

---

35) أجد قيمة $c$ التي تجعل منحنى الاقتران:$f\left(x\right)={\log }_c x$ يمر بالنقطة $(\frac{1}{81}, -4)$.

             

$f\left(x\right)={\log }_c x$	الاقتران المعطى
$f\left(\frac{1}{81}\right)= {\log }_c \left(\frac{1}{81}\right)$	بتعويض $x=\frac{1}{81}$
$-4= {\log }_c \left(\frac{1}{81}\right)$	بتعويض $f\left(\frac{1}{81}\right)=-4$
$c{ }^{-4} = \frac{1}{81}$	الصورة الأسية
$\frac{1}{c{ }^4} =\frac{ 1}{81}$	$c^{-4}=\frac{1}{c^4}$
$\to c{ }^4 =81 \to c^2=9\to c=\pm \sqrt{9}$	بحل المعادلة
$\therefore c = \sqrt{9}=3$	قيمة $c$ موجبة لأن أساس اللوغاريتم لا يكون سالبًا

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

إعلانات: يمثل الاقتران: $\mathbf{P}\mathbf{\left(}\mathbf{a}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{10}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{20}\mathbf{ }\mathbf{l}\mathbf{o}{\mathbf{g}}_{\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{)}$ مبيعات شركة (بآلاف الدنانير) من منتج جديد،

حيث $\mathit{a}$ المبلغ (بمئات الدنانير) الذي تنفقه الشركة على إعلانات المنتج.

وتعني القيمة:$\mathbf{P}\mathbf{\left(}\mathbf{1}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{\approx }\mathbf{19}$ أنَّ إنفاق $\mathit{J}\mathit{D}\mathbf{ }\mathbf{100}$ على الإعلانات يحقق إيرادات قيمتها $\mathit{J}\mathit{D}\mathbf{ }\mathbf{19000}$ من بيع المنتج:

 

36) أجد $P\left(124\right) , P\left(24\right) , P\left(4\right)$                  37) أفسر معنى القيم التي أوجدتها في الفرع السابق

 

الحل :

 

$P\left(4\right)$
$\mathrm{P}\left(\mathrm{a}\right)=10 + 20 {\log }_5 (\mathrm{a}+1)$	الاقتران المعطى
$\mathrm{P}\left(4\right)=10 + 20 {\log }_5 (4+1)$	بتعويض a=4  بالاقتران
$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(4\right)=10 + 20 {\log }_5 \left(5\right) \\ = 10+20 =30 \end{gathered}$$	بالتبسيط حيث $lo{g}_5 5 = 1$
التفسير:  إنّ إنفاق JD 400  على الإعلانات يحقق  إيرادات قيمتها JD 30000  من بيع المنتج.

$P\left(24\right)$
$\mathrm{P}\left(\mathrm{a}\right)=10 + 20 {\log }_5 (\mathrm{a}+1)$	الاقتران المعطى
$\mathrm{P}\left(24\right)=10 + 20 {\log }_5 (24+1)$	بتعويض a=24  بالاقتران
$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(24\right)=10 + 20 {\log }_5 \left(25\right) \\ = 10+20 {\log }_5 {\left(5\right)}^2 \\ = 10 + 20 \times 2 \\ = 50 \end{gathered}$$	بالتبسيط حيث: $25 = 5^2$ $lo{g}_5 5 = 1$ $10+ 20\times 2=10+40$
التفسير:  إنّ إنفاق JD 2400  على الإعلانات يحقق  إيرادات قيمتها JD 50000  من بيع المنتج.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$P\left(124\right)$
$\mathrm{P}\left(\mathrm{a}\right)=10 + 20 {\log }_5 (\mathrm{a}+1)$	الاقتران المعطى
$\mathrm{P}\left(124\right)=10 + 20 {\log }_5 (124+1)$	بتعويض a=4  بالاقتران
$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(124\right)=10 + 20 {\log }_5 \left(125\right) \\ = 10+20 {\log }_5 {\left(5\right)}^3 \\ = 10 + 20 \times 3 \\ = 70 \end{gathered}$$	بالتبسيط حيث: $125 = 5^3$ $lo{g}_5 5 = 1$ $10+ 20\times 3=10+60$
التفسير:  إنّ إنفاق JD 12400  على الإعلانات يحقق  إيرادات قيمتها JD 70000  من بيع المنتج.

---

---

مهارات التفكير العليا:

 

تبرير: أكتب بجانب كل اقتران مما يأتي رمز تمثيله البياني المناسب، مبررًا إجابتي:

$38) f(x)={\log }_3(x) 39) f\left(x\right)= {\log }_3(-x) 40) g(x)=- {\log }_{3}x$

 

الحل :

الاقتران	رمز التمثيل البياني	التبرير
$f\left(x\right)={\log }_3\left(x\right)$	$c$	اقتران لوغاريتمي متزايد حيث $b=3 >1$ مجاله  $\left(0, \infty \right)$ ، ويمر منحناه بالنقطة $\left(3, 1\right)$ حيث: $f\left(3\right)={\log }_{3}3=1$
$f\left(x\right)= {\log }_3(-x)$	$b$	الاقتران اللوغاريتمي$f\left(x\right)= {\log }_3(-x)$ مجاله: $\left(-\infty , 0\right)$ ويمر منحناه بالنقطة $(-3, 1)$ حيث: $f(-3)={\log }_3(-\left(-3\right))={\log }_{3}3 =1$ ويمكن استخدام صورته الأسية: $3{ }^y = -x \to -\left(3^y\right)=x$ $$\begin{gathered} y= 0 \to x=-1 (-1, 0) \\ y=1 \to x=-3 (-3, 1) \end{gathered}$$ وتظهر هذه الأزواج المرتبة بالتمثيل البياني b
$g\left(x\right)=- {\log }_{3}x$	$a$	الاقتران اللوغاريتمي $g\left(x\right)={\log }_3{\left(x\right)}^{-1}$ متناقص ، مجاله $\left(0, \infty \right)$، ويمر منحناه بالنقطة $(3, -1)$ حيث: $f\left(3\right)=-{\log }_{3}3=-1$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

---

تحدٍّ : أجد مجال كل اقتران لوغاريتمي مما يأتي، محددًا خط (خطوط) تقاربه الرأسي:

 

$41) f(x) = {\log }_3 (x^2) 42) f\left(x\right) = {\log }_3 (x^2-x-2)$

الحل :

 

$41) f(x) = {\log }_3 (x^2)$
$x^2 >0$	$g\left(x\right)>0$ لجميع الأعداد الحقيقية عدا الصفر
$(-\infty ,0) \cup (0, \infty )$	مجال الاقتران اللوغاريتمي : $\mathrm{ℝ}-\left\{0\right\}$
$x=0$	خط التقارب الرأسي المحور y
ملاحظة: يمكن إيجاد المجال من خلال:  1) إيجاد أصفار المعادلة التربيعية (x=0) 2) تمثيل حلول المعادلة على خط الأعداد(خطوط التقارب). 3) تحديد إشارة الأعداد على يمين ويسار  الحلول بتعويض عدد مثلًا على كل جهة لتحديد إشارة الاقتران.  $$\begin{gathered} \left(x=1 \to x^2 =1 \\ x=-1 \to x^2 =1 \right) \end{gathered}$$ 4) فيكون المجال جميع الأعداد الحقيقية عدا الصفر :$\mathrm{ℝ}-\left\{0\right\}$

$42) f(x) = {\log }_3 (x^2-x-2)$
$x^2-x-2 >0$	$g\left(x\right)>0$
$\left(x-2\right)\left(x+1\right) > 0$	بحل المتباينة التربيعية
$(-\infty ,-1) \cup (2, \infty )$	مجال الاقتران اللوغاريتمي موجب دائمًا أكبر من صفر (استخدم خط الأعداد لتحديد الإشارات)
$x=2 , x=-1$	خطوط التقارب الرأسي: (جذرا المعادلة التربيعية $x^2-x-2 =0$)

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

43) أكتشف الخطأ : كتبت منى المعادلة الأسية: $4^{-3} =\frac{1}{64}$ في صورة لوغاريتمية كما يأتي:

أكتشف الخطأ الذي وقعت فيه منى، ثم أصححه.

 

الحل :

الصورة اللوغاريتمية هي ${\log }_{b}x =y$ ، بحيث أن $x>0, b>0, b\ne 1$

إذن الخطأ هو وجود ($-3$) بالصورة اللوغاريتمية، حيث يجب أن تكون أكبر من صفر ($x>0$)

والأس يصبح الناتج بالصورة اللوغاريتمية

 

التصحيح:

الصورة الأسية هي : $4^{-3} =\frac{1}{64}$

 

الصورة اللوغاريتمية: ${\log }_4 \left(\frac{1}{64}\right)=-3$

---

---

كتاب التمارين صفحة 11:

أكتب كل معادلة لوغاريتمية مما يأتي في صورة أسية:

$$\begin{gathered} {1) {\log }_{3 }729 =6 \to 3 }^6 = 729 \\ 2) {\log }_5 625 = 4 \to 5^4 = 625 \\ 3) {\log }_{64} 4 = \frac{1}{3} \to {\left(64\right)}^{\frac{1}{3}} =4 \\ 4) {\log }_{64} 8 = 0.5 \to {\left(64\right)}^{0.5} = 8 \\ 5) {\log }_7 1 = 0 \to 7^0 = 1 \\ 6) {\log }_{43} 43 = 1 \to {43}^1 = 43 \end{gathered}$$

---

---

أكتب كل معادلة أسية مما يأتي في صورة لوغاريتمية:

$$\begin{gathered} 7) {4^5}_{ }=1024 \to {\log }_4 1024 = 5 \\ 8) {3^{-4}}_{ }=\frac{1}{81} \to {\log }_3 \left(\frac{1}{81}\right) = -4 \\ 9) {7^3}_{ }=343 \to {\log }_7 343 = 3 \\ 10) {5^{-2}}_{ }=0.04 \to {\log }_5 \left(0.04\right) = -2 \\ 11) {{\left(32\right)}^1}_{ }=32 \to {\log }_{32} 32 = 1 \\ 12) {8^0}_{ }=1 \to {\log }_8 1 = 0 \end{gathered}$$

---

---

أجد قيمة كل مما يأتي دون استخدام الآلة الحاسبة:

 

                                                     $$\begin{gathered} 13) {\log }_2 64= {\log }_2 {\left(2\right)}^6 =6 \\ 15) {\log }_2 32= {\log }_2 {\left(2\right)}^5 =5 \end{gathered}$$                                              $$\begin{gathered} 14) lo{g}_{81} 9= \\ lo{g}_{81} 9=y \to {81}^y = 9 \\ \to 9^{2y}=9^1 \\ \to 2y = 1 \\ \therefore y=\frac{1}{2}\to lo{g}_{81} 9=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

---

                                                 $$\begin{gathered} 16) lo{g}_{25} 125= \\ lo{g}_{25} 125=y \to {25}^y = 125 \\ \to 5^{2y}=5^3 \\ \to 2y = 3 \\ \therefore y=\frac{3}{2}\to lo{g}_{25} 125=\frac{3}{2} \end{gathered}$$                                                                                                     $$\begin{gathered} 17) {\log }_{10} 0.0001= {\log }_{10} \left(\frac{1}{10000}\right) \\ ={\log }_{10} {\left(10\right)}^{-4}=-4 \end{gathered}$$                                           

---

 

                                              $18) {\log }_{\frac{5}{3}} 1= 0$                                                                                                                                                                      $$\begin{gathered} 19) lo{g}_{{}_{\frac{1}{6}}} 6= \\ lo{g}_{\frac{1}{6}} 6=y \to {\left(\frac{1}{6}\right)}^y = 6 \\ \to 6^{-1y}=6^1 \\ \to -y = 1 \\ \therefore y=-1\to lo{g}_{{}_{\frac{1}{6}}} 6=-1 \end{gathered}$$

---

                                       

 

                                      $20) {\left(10\right)}^{lo{g}_{10 }\left(\frac{1}{9}\right)}= \frac{1}{9}$                                                                                                                                             $$\begin{gathered} 21) lo{g}_{{}_3} \frac{1}{\sqrt{{\left(3\right)}^6}}=lo{g}_3 \frac{1}{3^{{\displaystyle \frac{6}{2}}}} \\ = lo{g}_3 \frac{1}{3^{{\displaystyle 3}}} \\ = lo{g}_3 {\left(3\right)}^{-3} \\ =-3 \end{gathered}$$

---

                                 $$\begin{gathered} 22) {\log }_b \sqrt[7]{b}= {\log }_b {\left(b\right)}^{\frac{1}{7}} =\frac{1}{7} \\ 23) {\log }_{10} (1\times {10}^{-5})= {\log }_{10} {\left(10\right)}^{-5} =-5 \\ 24) 4^{{\log }_4 3}= 3 \end{gathered}$$

---

---

أمثل كل اقتران مما يأتي بيانيًا، ثم أحدد مجاله ومداه ومقطعيه من المحورين الإحداثيين وخطوط تقاربه، مبينًا إذا كان متناقصًا أم متزايدًا:

 

 

$25) f(x)={\log }_8 x$

1) الصورة الأسية: ${\log }_8 x = y \to x= 8^{{}^y}$

2) أنشئ جدولًا للقيم لإيجاد الأزواج المرتبة اللازمة لتمثيل الاقتران:

$x=8^{{}^y}$	$\frac{1}{64}$	$\frac{1}{8}$	1	8	64
y	-2	-1	0	1	2
$(x, y)$	$(\frac{1}{64}, -2)$	$(\frac{1}{8}, -2)$	$(1, 0)$	$(8, 1)$	$(64, 2)$

 

 

 

 

 

3)  تمثيل الاقتران في المستوى الإحداثي:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مجال الاقتران : هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة $(0, \infty )$

مدى الاقتران : هو الأعداد الحقيقية

المقاطع : المقطع x هو 1

                 لا يوجد مقطع y 

خط التقارب : الاقتران له خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متزايد

---

$26) g(x)={\log }_{\frac{1}{10}} x$

1) الصورة الأسية:${\log }_{\frac{1}{10}} x = y \to x= {\left(\frac{1}{10}\right)}^{{}^y}$

2) أنشئ جدولًا للقيم لإيجاد الأزواج المرتبة اللازمة لتمثيل الاقتران:

$x={\left(\frac{1}{10}\right)}^{{}^y}$	$100$	$10$	$1$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{100}$
y	-2	-1	0	1	2
$(x, y)$	$(100, -2)$	$(10, -1)$	$(1, 0)$	$(\frac{1}{10}, -1)$	$(\frac{1}{100}, -1)$

 

 

 

 

 

 

3)  تمثيل الاقتران في المستوى الإحداثي:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مجال الاقتران : هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة $(0, \infty )$

مدى الاقتران : هو الأعداد الحقيقية

المقاطع : المقطع x هو 1

                  لا يوجد مقطع y 

خط التقارب : الاقتران له خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متناقص

---

$27) h(x)={\log }_{\frac{1}{4}} x$

1) الصورة الأسية: ${\log }_{\frac{1}{4}} x = y \to x= {\left(\frac{1}{4}\right)}^{{}^y}$

2) أنشئ جدولًا للقيم لإيجاد الأزواج المرتبة اللازمة لتمثيل الاقتران:

$x={\left(\frac{1}{4}\right)}^{{{}^y}^{}}$	16	4	1	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{16}$
y	-2	-1	0	1	2
$(x, y)$	$(16, -2)$	$(4, -1)$	$(1, 0)$	$(\frac{1}{4}, 1)$	$(\frac{1}{16}, 2)$

 

 

 

 

 

 

3)  تمثيل الاقتران في المستوى الإحداثي:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مجال الاقتران : هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة $(0, \infty )$

مدى الاقتران : هو الأعداد الحقيقية

المقاطع : المقطع x هو 1

                  لا يوجد مقطع y 

خط التقارب : الاقتران له خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متناقص

---

$28) r(x)={\log }_{\frac{1}{9}} x$

1) الصورة الأسية:${\log }_{\frac{1}{9}} x = y \to x= {\left(\frac{1}{9}\right)}^{{}^y}$

2) أنشئ جدولًا للقيم لإيجاد الأزواج المرتبة اللازمة لتمثيل الاقتران:

$x={\left(\frac{1}{9}\right)}^{{}^y}$	81	9	1	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{81}$
y	-2	-1	0	1	2
$(x, y)$	$(81, -2)$	$(9, -1)$	$(1, 0)$	$(\frac{1}{9}, 1)$	$(\frac{1}{81}, 2)$

 

 

 

 

 

3)  تمثيل الاقتران في المستوى الإحداثي:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مجال الاقتران : هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة $(0, \infty )$

مدى الاقتران : هو الأعداد الحقيقية

المقاطع : المقطع x هو 1

                 لا يوجد مقطع y 

خط التقارب : الاقتران له خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متناقص

---

$29) f(x)={\log }_9 x$

1) الصورة الأسية:${\log }_9 x = y \to x= 9^{{}^y}$

2) أنشئ جدولًا للقيم لإيجاد الأزواج المرتبة اللازمة لتمثيل الاقتران:

$x={9^{}}^{{}^y}$	$\frac{1}{81}$	$\frac{1}{9}$	1	9	81
y	-2	-1	0	1	2
$(x, y)$	$(\frac{1}{81}, -2)$	$(\frac{1}{9}, -1)$	$(1, 0)$	$(9, 1)$	$(81, 2)$

 

 

 

 

 

3)  تمثيل الاقتران في المستوى الإحداثي:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مجال الاقتران : هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة $(0, \infty )$

مدى الاقتران : هو الأعداد الحقيقية

المقاطع : المقطع x هو 1

                  لا يوجد مقطع y 

خط التقارب : الاقتران له خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متزايد

---

$30) g(x)={\log }_{11} x$

1) الصورة الأسية:${\log }_{11} x = y \to x= {11}^{{}^y}$

2) أنشئ جدولًا للقيم لإيجاد الأزواج المرتبة اللازمة لتمثيل الاقتران:

$x={11}^{{}^y}$	$\frac{1}{121}$	$\frac{1}{11}$	1	11	121
y	-2	-1	0	1	2
$(x, y)$	$(\frac{1}{121}, -2)$	$(\frac{1}{11}, -1)$	$(1, 0)$	$(11, 1)$	$(121, 2)$

 

 

 

 

 

 

3)  تمثيل الاقتران في المستوى الإحداثي:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مجال الاقتران : هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة $(0, \infty )$

مدى الاقتران : هو الأعداد الحقيقية

المقاطع : المقطع x هو 1

                  لا يوجد مقطع y 

خط التقارب : الاقتران له خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متزايد

---

---

أجد مجال كل اقتران لوغاريتمي مما يأتي:

$31) f(x)={\log }_2(x+3) 32) f\left(x\right)=7+2 {\log }_5(x-2) 33) f(x)=-5 {\log }_7(-x)$

الحل:

                                $$\begin{gathered} 31) f(x)={\log }_2(x+3) \\ (x+3)>0 \\ x>-3 \\ \to (-3, \infty ) \mathrm{المجال} \end{gathered}$$                          $$\begin{gathered} 32) f(x)=7+2 {\log }_5(x-2) 33) f\left(x\right)=-5 {\log }_7(-x) \\ (x-2) >0 (-x) >0 \\ x >2 x<0 \\ \to (2, \infty )\mathrm{المجال} \to (-\infty , 0)\mathrm{المجال} \end{gathered}$$

---

---

34) ضوء: تمثل المعادلة:$lo{g}_{10}\left(\frac{I}{12}\right)=-0.0125 x$ العلاقة بين شدة الضوء $I$ بوحدة lumen والعمق $x$ بالأمتار في إحدى البحيرات.

      كم تبلغ شدة الضوء عند عمق $10 m$ ؟

 

الحل:

$lo{g}_{10}\left(\frac{I}{12}\right)=-0.0125 x$	المعادلة المعطاة
$$\begin{gathered} lo{g}_{10}\left(\frac{I}{12}\right)=-0.0125 \left(10\right) \\ lo{g}_{10}\left(\frac{I}{12}\right)=-0.125 \end{gathered}$$	بتعويض $x = 10$
${\left(10\right)}^{-0.125} =\frac{I}{12}$	الصورة الأسية
$12 \times {\left(10\right)}^{-0.125} =I$	بالضرب التبادلي
$\approx 118.5 lumen$	باستخدام الآلة الحاسبة

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$\therefore$تبلغ شدة الضوء عند عمق $10 m$ تقريبًا: $118.5 lumen$

---

---