رياضيات

التجربة الاحتمالية الهندسية:

تجربة بيرنولي: هي تجربة عشوائية لها أحد ناتجين فقط, نعبّر عن أحدهما بالنجاح, وعن الآخر بالفشل.

ومن الأمثلة عليها:

-تجربة إلقاء  قطعة نقد مرة واحدة وملاحظة الوجه الظاهر, إما صورة وإما كتابة, ويمكن اعتبار أحدهما نجاح والآخر فشل.

-الإجابة عشوائيًا على سؤال (اختيار من متعدد), إما إجابة صحيحة أو إجابة خطأ, ويمكن التعبير عن الإجابة الصحيحة بالنجاح.

-إلقاء حجر نرد أو جهة مرقمة بالأرقام {1,2,3,4,5,6}, والمطلوب أن يكون الوجه العلوي عليه عدد أكبر من 4, حيث نعتبر النجاح (ظهور عدد أكبر من 4) والفشل (ظهور أي عدد آخر)

الحادثان المستقلان: نقول عن الحادثين A و B أنهما مستقلان إذا كان وقوع أحدهما (أو عدم وقوعه) لايؤثر على احتمال وقوع الآخر (أو عدم وقوع الآخر).

فمثلًا: عند إلقاء قطعة نقد, ثم حجر نرد منتظم, وملاحظة الوجهين العلويين الظاهرين, إذا كان:

A: ظهور الصورة على قطعة النقد.

B: ظهور العدد 5 على حجر النرد. 

فإن الحادثين A و B مستقلان.

التجربة الاحتمالية الهندسية: هي تكرار تجربة بيرنولي عددًا من المرات المستقلة حتى التوصل إلى أول نجاح ويجب أن يتوفر فيها الشروط الأربعة التالية معًا:

1) اشتمال التجربة على محاولات مستقلة ومتكررة.

2)فرز النتائج الممكنة في كل محاولة إلى نجاح و فشل (تجربة بيرنولي).

3)ثبات احتمال النجاح في كل محاولة.

4)التوقف عند أول نجاح.

مثال 1: أي من التجارب التالية تمثل تجربة احتمالية هندسية؟

1) إجابة سامي على مجموعة أسئلة بشكل عشوائي من نوع (صح أو خطأ) والتوقف عند أول إجابة صحيحة.

الحل: نختبر الشروط:

1)المحاولات متكررة (الإجابة على أسئلة), ومستقلة (إجابة كل سؤال لا تؤثر على إجابة السؤال الآخر لأن الإجابات بشكل عشوائي)

2)في كل محاولة النتائج الممكنة هي: نجاح (إجابة صحيحة) أو فشل (إجابة خطأ)

3)ثبات احتمال النجاح في كل محاولة وهو هنا 

4)التوقف عند أول نجاح

إذن: هذه التجربة هي تجربة احتمالية هندسية.

2)سحب هالة 6 كرات على التوالي عشوائيًا مع الإرجاع من صندوق فيه 4 كرات حمراء و 3 كرات زرقاء وتسجيل عدد الكرات الزرقاء المسحوبة.

الحل: نختبر الشروط:

1)تتضمن التجربة محاولات متكررة (سحب 6 كرات) ومستقلة (لأن السحب مع الإرجاع قكون الكرة المسحوبة حمراء (أو زرقاء) لا يؤثر على الاحتمال للكرات الأخرى)

2)في كل محاولة, النتائج هي: نجاح (كرة زرقاء) أو فشل(حمراء)

3)ثبات احتمال النجاح في كل مرة فاحتمال سحب كرة زرقاء هو

4)لا نتوقف عند أول نجاح لأن هنا نسجل عدد الكرات المسحوبة زرقاء ولا نتوقف عند سحب أول كرة زرقاء.

إذن: هذه التجربة ليست تجربة احتمالية هندسية.

المتغير العشوائي الهندسي وتوزيعه الاحتمالي:

المتغير العشوائي(X) هو اقتران يربط كل قيمة للمتغير العشوائي (X) باحتمال وقوعها.

نرمز للمتغير العشوائي الهندسي بالرمز:

X~Geo(p)

حيث p احتمال النجاح الثابت في كل مرة والمتغير العشوائي X يأخذ القيم:

.....,x=1,2,3,4,5

ويعطى التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي الهندسي X بالقاعدة:

 

حيث: X: عدد المحاولات وصولًا إلى أول نجاح

p: احتمال النجاح في كل محاولة

فيكوم (p-1) احتمال الفشل في كل محاولة

ويعطى توقع المتغير العشوائي الهندسي X بالقاعدة:

 

حيث: p: احتمال النجاح في كل محاولة

مثال 2: يقوم خالد بإجراء مقابلات مع مجموعة من الأشخاص البالغين عشوائيًا وسؤالهم عن إصابتهم بمرض السكري والتوقف عند أول شخص مريض.

إذا كان لديه احصائية تشير إلى أن 10% من البالغين مصابون بالسكري.

جد ما يلي:

1)احتمال أن يكون الشخص هو أول شخص مصاب بالسكري.

الحل:

ليكن X هو عدد الأشخاص الذي يسألهم خالد للوصول إلى أول شخص مصاب.

X هو متغير عشوائي هندسي فهو يحقق الشروط الأربعة:

1)اشتماله على محاولات متكررة ومستقلة

2)فرز النتائج في كل محاولة إلى نجاح (مصاب) أو فشل (غير مصاب)

3)ثبات احتمال النجاح في كل محاولة (p=0.10)

4)توقف التجربة عند ظهور أول شخص مصاب

إذن:

 

2)p(X≤3)

الحل:

p(X≤3)=p(X=3)+P(X=2)+P(X=1)

=(0.1)(0.9)² +(0.1)(0.9)¹ +(0.1)

=0.081+0.09+0.1

=0.271

3)P(X≥4)   

الحل:

P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)+....

لذلك نجد احتمال قيمة هذا الحادث وهو P(X<4) ونطرج الناتج من 1 صحيح

P(X≥4)=1-P(X<4)

=1-P(X≤3)

=1-0.271

=0.729

ويمكن استخدام الصيغة التالية لحل هذا الفرع:

P(X>x)(1-P)^x 

P(X≥4)=P(X>3)

=(1-0.1)³

=(0.9)³

=0.729

4)كم شخصًا يتوقع أن يسأله خالد حتى يقابل أول مصاب؟

الحل:حسب صيغة توقع المتغير العشوائي الهندسي:

 

إذن يتوقع أن يقابل خالد 9 أشخاص قبل أن يقابل أول شخص مصاب.

التجربة الاحتمالية ذات الحدين:

وهي تجربة بيرنولي مكررة عددًا من المرات المستقلة بحيث تحقق الشروط الأربعة التالية معًا:

1)اشتمال التجربة على محاولات مستقلة ومتكررة 

2)فرز النتائج الممكنة في كل محاولة إلى نجاح أو فشل

3)ثبات احتما النجاح في كل محاولة

4)وجود عدد محدد من المحاولات في التجربة

نلاحظ أن يختلف عن التجربة الاحتمالية الهندسية فقط في الشرط الرابع.

مثال 3: أي من التجارب العشوائية التالية تجربة احتمالية ذات حدين؟

1)إلقاء قطعة نقد مع حجر نرد منتظم 10 مرات متتالية, وتسجيل عدد مرات ظهور صورة مع العدد 5.

الحل:نختبر الشروط:

1)اشتمال التجربة  على محاولات متكررة (20 مرة) ومستقلة (ظهور الصورة مع العدد 5 في أي محاولة (أو عدم ظهورها) لا يؤثر على احتمال المحاولات الأخرى)

2)نجاح (ظهور صورة مع 5) وغشل (ظهور غير ذلك) في كل محاولة 

3)ثبات احتمال النجاح هنا, احتمال ظهور الصورة مع العدد 5 هو:

 

 4)عدد المحاولات محدد هنا (20 محاولة)

إذن: هذه التجربة هي تجربة احتمالية ذات حدين.

2)سحب كرة عشوائيًا مع الإرجاع من صندوق منه 4 كرات بيضاء وكرتين سوداوين, والتوقف عند أول كرة سوداء تظهر.

الحل: نختبر الشروط:

1)محاولات متكررة ومستقلة (لأن السحب مع الإرجاع)

2)فرز النتائج: نجاح(الكرة السوداء) وفشل(الكرة البيضاء)

3)ثبات احتمال النجاح في كل محاولة, هنا, احتمال سحب كرة سوداء في كل محاولة هو: 

4)لا يوجد عدد محدد من المحاولات

لذلك: التجربة ليست تجربة احتمالية ذات حدين (هي تجربة احتمالية هندسية)

التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي ذي الحدين والتوقع والتباين:

نرمز للمتغير العشوائي ذي الحدين X بالرمز:

X~B(n,p)

حيث: p,n معاملا المتغير العشوائي X

n: عدد مرات تكرار المحاولة

p: احتمال النجاح في كل محاولة

x: تأخذ القيم: x=0,1,2,...,n

         

إذا كان:

X~B(n,p) , 

فإن:

1)التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X يعطى بالقاعدة:

 

حيث:

n: عدد المحاولات الكلي في التجربة

p: احتمال النجاح في كل محاولة

r: عدد المحاولات الناجحة من بين r من المحاولات

حيث تأخذ r القيم:

0,1,2,...,n

2)توقع المتغير العشوائي X يعطى بالقاعدة:

E(X)=n.p

3)تباين المتغير العشوائي X يعطى بالقاعدة:

 

مثال 4: نفذ لاعب كرة قدم 5 ضربات جزاء فإذا دلت الإحصائيات أن احتمال تسجيله الهدف في كل مرة هو 0.7, فأجب عما يلي:

1)ما احتمال تسجيله للهدف في 3 مرات فقط؟

الحل:

هذه التجربة هي تجربة احتمالية ذات حدين, حيث:p=0.7, n=5

نفرض أن: X هو المتغير العشوائي الذي يدل على عدد الأهداف المسجلة

X~B(5,0.7)

 

فيكون:

المطلوب:

 

2) ما احتمال تسجيله للهدف في 3 مرات على الأقل؟

الحل: تسجيل الهدف 3 مرات على الأقل تشمل:

X=3,4,5

P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)

 

3)ما احتمال تسجيله لهدف على الأقل؟

الحل: احتمال اصابة الهدف هنا تشمل اصابة الهدف في 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5 مرات

فالمطلوب:

P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)

لذلك الأسهل إيجاد احتمال القيمة (P(X=0)) وطرح الناتج من 1 صحيح

P(X≥1)=1-P(X=0)

 

4) ما العدد المتوقع للأهداف التي سيسجلها اللاعب؟

الحل:

E(X)=n.p

=5(0.7)

=3.5

إذن: يتوقع تسجيل 3.5 هدف عند التسديد 5 مرات

(لاحظ أن التوقع هنا عدد غير صحيح فالتوقع هو وسط حسابي لذلك يمكن أن يكون عددًا غير صحيح, حتى لو كانت القيم الأصلية أعدادًا صحيحة)

5)ما تباين عدد الأهداف التي يسجلها اللاعب؟

الحل:

 

إذن: تباين عدد الأهداف المسجلة عند التسديد 5 مرات هو1.05

مثال 5: إذا كان X متغيرًا عشوائيًا ذي حدين وكان:

Var(X)=1.28

E(X)=6.4

فما قيمة P(X=1)؟

الحل: في توزيع ذي الحدين:

Var(X)=np(1-p) ⇒ 1.28=np(1-p)

E(X)=np ⇒ 6.4=n.p

1.28=(n.p)(1-p)

1.28=6.4(1-p)

1-p= =0.2

p=1-0.2=0.8

لكن:

E(X)=np ⇒ 6.4 =n(0.8)

n=8

فيكون:

X~B(8,0.8)

المطلوب:

 

مثال 6: إذا كان المتغير العشوائي X~B(4,0.6) فما قيمة: P(2<X≤4)؟

الحل: لأن X متغير عشوائي ذي حدين n=4, فإن قيم X هي: 0,1,2,3,4

المطلوب:

P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)