رياضيات

 المجموعاتُ والفتراتُ

Sets and Intervals

فكرةُ الدرسِ :  كتابة المجموعات باستعمال طريقتي سرد العناصر والصِّفة المُمَيِّزَة للمجموعة.
                        التعبيرُ عن المُتباينات باستعمال الفترات.

 

أولًا :  المجموعةُ وطرائقُ التعبيرِ عنها

• المجموعةُ : تجمعُ أشياء مُتَمايِزَةً تحملُ صفةً مشتركةً ، وتسمّى كلٌّ من الأشياء التي تكوِّنُ المجموعةَ عُنصرًا  ، ويمكنُ أنْ تكونَ عناصرُ

المجموعة أحرفًا أو أعدادًا أو كلمات. فمثلًا، يُعَدُّ يومُ الاثنين عُنصرًا مِنْ عناصرِ مجموعةِ أيامِ الأُسبوع.

• تُستخدم الأحرفُ الكبيرةُ لتسمية المجموعات ، مثل : … , A, B, C, X, Y ، وتُستخدم الأحرف الصغيرة لتسمية عناصر المجموعة، مثل : 

   $a , b , c , x , y$   

• إذا كان a عنصرًا مِنْ عناصر المجموعة A، فإنَّنا نقولُ إنَّ a ينتمي إلى المجموعةِ A، ونكتب ذلك على الصورةِ: a ∈ A ؛ حيثُ يُستخدم الرمزُ (∋)

للدلالةِ على (ينتمي إلى). ومِنْ ناحيةٍ أُخرى إذا كان b لا ينتمي إلى المجموعة A، فإنَّنا نكتبُ ذلك على الصورة : b ∉ A ؛ حيثُ يُستخدم الرمزُ (∌)

للدلالة على (لا ينتمي إلى).

 

• يمكنُ التعبيرُ عن المجموعةِ بطريقة سرد العناصر ، بحيث تُكتَب عناصر المجموعة داخل رمز المجموعة { }، وَيُفصَل بين كلِّ عنصر وآخَر بفاصلة.

فمثلًا ، نُعَبِّرُ عَن المجموعة A، التي عناصرُها الأعدادُ الكُليَّة التي تقلُّ عن أو تُساوي 4، بطريقة سرد العناصر على الصورة: $A = \{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4\}$

 

• يمكنُ أيضًا التعبيرُ عَنِ المجموعةِ باستعمالِ الصِّفةِ المُمَيِّزَةِ للمجموعةِ. فمثلًا ، يمكنُ التعبيرُ عَنِ المجموعةِ {4 , 3 , 2 , 1 , A ={0 بطريقةِ

الصفة المميزة { A ={x | x ≤ 4, x ∈ W ، وتُقرأ : مجموعة الأعداد x ؛ حيث ينتمي x إلى مجموعة الأعداد الكُليَّة التي تقلُّ عن أو تُساوي 4.
 

مثال : 

أُعَبِّر عن كلٍّ من المجموعات الآتية مستعملًا طريقة سردِ العناصر، وَطريقة الصِّفة المُميِّزة :

 1) مجموعة الأعداد الكُليّة الّتي تقلّ عن أو تساوي 10   

الحل : 

طريقة سردِ العناصرِ : { 10 , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0} = A

طريقةُ الصِّفة المُميّزة : $A = \{ x| x\le 10 , x\in \mathrm{W} \}$

 

 2) مجموعةُ مُضاعفات العدد 3 التي تقلُّ عن 30 

الحل : 

طريقة سردِ العناصرِ :  { 27 , 24 , 21 , 18 , 15 , 12 , 9 , 6 , 3} = B

طريقة الصِّفة المُميّزة : $B = \{ x| x=3k , k \in W , 0<x<30 \}$

 

 3) مجموعة حل المعادلة : 3x - 6 = 0

الحل : 

أحل المعادلة أولًا : $3x - 6 = 0 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$

طريقة سرد العناصر : $E = \{ 2 \}$

طريقة الصِّفة المُميّزة : $E=\{ x | 3x - 6 = 0 \}$

 

---

ثانيًا :  أنواعُ المجموعات

يوجدُ عِدَّة أنواعٍ للمجموعات تبعًا لعدد عناصرها، منها :

•  المجموعة الخالية  : هي المجموعةُ التي لا تحتوي على أيِّ عنصر ، ويُرمزُ لها بالرَّمز ∅ أو الرَّمز { }، ومن أمثلتها مجموعةُ الأعدادِ الفرديَّةِ التي تقبَل

القِسمة على 2 ، فمن المعلوم أنَّهُ لا يوجد عدد فرديّ يقبَل القسمة على 2 .

• المجموعة المفردة : هِيَ المجموعةُ الَّتي تحتوي على عنصرٍ واحدٍ فقط، وَمِنْ أمثلتِها مجموعةُ حلِّ المُعادلةِ 0 = x + 5 ؛ فَهِيَ تحتوي على عنصرٍ   

  واحد فقط، هو 5-

• المجموعة المُنتهية : هِيَ المجموعةُ الَّتي تحتوي على عددٍ محدّدٍ منَ العناصرِ، مثلُ { 15 , 12 , 9 , 6 , T = {3 ؛ حيثُ تحتوي على 5 عناصرَ.

• المجموعة غير المُنتهية : هِيَ المجموعةُ الَّتي تحتوي على عددٍ لا نهائيٍّ منَ العناصرِ، مثلُ مجموعة الأعداد الكُليَّة التي تزيد على 20، وهي : 

$\{21 , 22 , 23 , ...\}$   

مثال : 

أكتبُ كلَّ مجموعةٍ ممّا يأتي بطريقةِ سردِ العناصرِ، ثمَّ أُحَدِّدُ ما إذا كانتْ خاليةً، أمْ مفردةً، أم منتهيةً، أمْ غيرَ منتهيةٍ : 

1)  A = {x | x > - 2 , x ∈ Z }                                  2) B = { x | x = 2k + 1 , k ∈ W }                       3) C = { x | 4x + 8 = 0}

4) D = { x | x = 4k , k ∈ W , 0 < x < 3}               5) E = { x | x =  $k^3$ , k ∈ W , 1 < k < 5}

الحل :

1)  A = {x | x > - 2 , x ∈ Z } 

تمثِّل A مجموعةَ الأعداد الصَّحيحة التي تزيد على 2 - ، وَتُكتَبُ بطريقةِ سردِ العناصرِ، كما يأتي:

   A = { -2, -1, 0 ,1 , …}  ، وهي مجموعةُ غير منتهية.

 

•• رُموزٌ رياضيَّةٌ : يُرمَزُ لمجموعةِ الأعدادِ الصَّحيحةِ بالرَّمز Z ، وهِي :  {… ,  2  ,  1 , 0 ,  1- ,  2- , …}

 

  

2) B = { x | x = 2k + 1 , k ∈ W }

الحل :

تمثِّلُ B مجموعة الأعداد الفرديَّة، وتُكتب بطريقة سردِ العناصِر ، كما يأتي :

    B = {1 , 3 , 5 , …} ، وهي مجموعة غير منتهية.     

 

•• أتعلَّمُ  : يُستعملُ المقدارُ  2k + 1 للدَّلالةِ على الأعدادِ الفرديَّةِ حيثُ k عددٌ صحيحٌ. فمثلاً، العددُ 7 عددٌ فرديٌّ، ويمكنُ كتابتُهُ على الصورةِ : $7 = 2\left(3\right) + 1$

 

 

 

---

3) C = { x | 4x + 8 = 0}

 

تمثِّلُ C مجموعةَ حلِّ المُعادلةِ 0 = 4x + 8  ، وَتُكتَبُ بطريقة سرد العناصر، كما يأتي:

        C = {-2} ، وهي مجموعة مُفردة.

---

4) D = { x | x = 4k , k ∈ W , 0 < x < 3}

الحل :

تمثِّلُ D مجموعةَ مُضاعفات العدد 4، التي تقلّ عن 3. وبما أنّهُ لا توجد أعداد تحقِّقُ هذه القاعدة، فالمجموعة D خالية 

ويُرمز لها بالرَّمز ∅ أو الرَّمز { }.

---

5) E = { x | x = $k^3$ , k ∈ W , 1 < k < 6}

الحل :

تمثِّل E مجموعة مُكعبات الأعداد الكلية الواقعة بين 1 و 6 ، وتُكتب بطريقة سرد العناصر، كما يأتي:

  E = { 8, 27, 64 ,125}  ، وهي مجموعة مُنتهية .

---

 

ثالثًا : المُتباينات والصِّفة المُميزة للمجموعة

تعلَّمتُ سابقًا حلَّ المُتباينة الخطيَّة ، وكان من الصَّعب كتابة جميعِ القِيمِ الَّتي تحققُ المُتباينة ؛ لذا لجأتُ إلى تمثيلِ تلك القِيمِ على خطِّ الأعداد،

ولكنَّ استعمال الصِّفةِ المُميِّزة للمجموعة يوفِّر طريقة مُختصرة للتعبير عن مجموعة حلِّ المُتباينة.

مثال : 

أكتبُ مجموعةَ حلِّ كلِّ مُتباينة ممّا يأتي باستعمال الصِّفة المُميِّزة :

1) 4x  - 12  $\ge$  20  

الحل :

المُتباينة الأصليَّة	$4x - 12 \ge 20$
بجمع  12 لطرفي المتباينة	$4x - 12 + 12 \ge 20 + 12$
بِقِسمة طرفَي المُتباينة على 4	$\frac{4x}{4} \ge \frac{32}{4}$
بالتبسيط	$x \ge 8$

 

 

 

 

 

 

 

إذن ، مجموعة الحل هي  $\mathbf{\{}\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{|}\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{\ge }\mathbf{ }\mathbf{8}\mathbf{ }\mathbf{\}}$

 

---

 

$\mathbf{2}\mathbf{)} 5x - 7 < 7x + 5$

الحل :

المُتباينة الأصليَّة	$5x-7 < 7x +5$
بِجمع 7 لِطرفَيِ المُتباينة	$5x-7+7 < 7x+5+7$
بطرحِ  7x مِن طرفَيِ المُتباينة	$5x-7x < 7x-7x+12$
بِقسمة طرفَي المُتباينة على 2 - ، وتغيير اتّجاه رمز المتباينة	$\frac{-2x}{-2} > \frac{12}{-2}$
بالتبسيط	$x>-6$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

إذن ، مجموعة الحل هي  $\mathbf{\{}\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{|}\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{\}}$

 

---

 

رابعَا : المُتباينات والفترات

تعلَّمتُ في المثالِ السابقِ كتابةَ مجموعة حلِّ المُتباينة باستعمال الصِّفةِ المُمَيِّزَةِ للمجموعةِ، ويمكنُ أيضًا استعمالُ رمزِ الفترةِ 

لكتابةِ مجموعةِ حلِّ المُتباينةِ.

يُستعمَلُ رمزا المالانهاية ( infinity ) أدناهُ للدَّلالةِ على أنَّ الفترةَ غيرُ محُدودة في الاتِّجاهِ الموجب أو السالب.

$\infty$	$-\infty$
يُقرَأُ الرَّمزُ : المالانهاية الموجبة، وَيُستعمَلُ للدَّلالةِ على أنَّ الفترةَ غيرُ محُدودةٍ في الاتِّجاهِ الموجبِ.	يُقرَأُ الرَّمزُ : المالانهاية السالبة، وَيُستعمَلُ للدَّلالةِ على أنَّ الفترةَ غيرُ محُدودةٍ في الاتِّجاهِ السالبِ.

 

يُستعملُ الرَّمزُ ] أو الرَّمزُ [عندما يكون رمزُ المُتباينة ≤ أو ≥ للدَّلالة على انتماء طرف الفترة إليها، وَيُستعمَلُ الرَّمز ) أو الرَّمز ( عندما يكونُ رمزُ

المُتباينة < أو > للدَّلالة على عدم انتماء طرف الفترة إليها.

 

مفهومٌ أساسيٌّ (الفتراتُ غيرُ المحدودةِ)

إذا كان a وَ b عددَين حقيقيَّين فيمكن التعبير عن كلٍّ من المُتباينات الآتية باستعمال فترة غير محُدودة : 

•• أتعلَّمُ : يُستعمَلُ الرَّمزُ ) أوِ الرَّمزُ ( دائمًا معَ المالانهايةِ إذْ إنَّ المالانهايةِ ليستْ عددًا ولا يمكنُ احتواؤها في فترةٍ. 

---

مثال : 

أكتب كلَّ مُتباينة ممّا يأتي باستعمالِ رمزِ الفترة، ثمَّ أُمَثِّلُها على خطِّ الأعداد :

1)  x <  2                                    2)  x ≥ 4                                    3)  x > -3

الحل :

1)  x <  2   

رمز الفترة : $(-\infty , 2)$

التمثيل على خطِّ الأعداد :

---

  2)  x ≥ 4 

الحل :

رمز الفترة : $[ 4 , \infty )$

التمثيل على خطِّ الأعداد :

---

  3)  x > -3

الحل :

رمزُ الفترة : $(-3 , \infty )$

التمثيل على خطِّ الأعداد :