رياضيات فصل أول

حلول أسئلة أتدرب وأحل المسائل 

1) أعمارٌ: يزيدُ عُمْرُ سَماحَ عنْ عُمْرِ أختِها سُهى 4 سنواتٍ. إذا كانَ مجموعُ عُمْرَيْهِما 20 سنةً، فكمْ عُمْرُ كلٍّ منْهُما؟ 

افهم :

المعطيات :  يزيدُ عُمْرُ سَماحَ عنْ عُمْرِ أختِها سُهى 4 سنواتٍ ومجموع أعمارهم 20 

المطلوب : عمر كل من سماح وسهى 

أخطط :

أخمِّنُ عمر كل من سماح وسهى ، ثمَّ أتحقَّقُ منْ صِحَّةِ تخميني. أُجرِّبُ عددًا منَ التّوَقُّعاتِ المنطقيَّةِ لحلِّ المسألةِ (تخميناتٌ) وكلَّ مرَّةٍ أختبرُ صحّةَ التّخمينِ باستخدامِ معطياتِ المسألةِ.

أحل :

أفترضُ أنَّ عمر سماح x وعمر سهى $\mathrm{x}+4$ وأكتبُ مقدارًا جبريًّا يمثِّلُ مجموع أعمارهما ، ثمَّ أكملُ الجدولَ الآتيَ، مُحدِّدًا الحالةَ التي يكونُ فيها مجموعُ أعمارهما 20

المقدار الجبري:

  $$\begin{gathered} \mathrm{x}+\left(\mathrm{x}+4\right)=20 \\ 2\mathrm{x}+4=20 \end{gathered}$$

	$2\mathrm{x}+4=20$	x
أصغر من 20	$2\left(7\right)+4=18$	7
تخمين صحيح	$2\left(8\right)+4=20$	8
أكبر من 20	$2\left(9\right)+4=22$	9

اذن عمر سماح هو 8 سنوات وعمر أختها سهى هو 12 سنة 

أتحقق:

مجموع الأعمار 8 و 12 هو 20 ، التخمين صحيح 

 

2) محيطٌ: قطعةُ أرضٍ مستطيلةُ الشكلِ، طولُها مِثْلا عَرْضِها. إذا كانَ محيطُها 210 أمتارٍ، فكمْ مترًا كلٌّ منْ طولِها وعرضِها؟ 

افهم :

المعطيات : محيط قعطة أرض مستطيلة يساوي 210 وطولها مثلا عرضها 

المطلوب : طول وعرض القطعة  

أخطط :

أخمِّنُ كل من الطول والعرض ، ثمَّ أتحقَّقُ منْ صِحَّةِ تخميني. أُجرِّبُ عددًا منَ التّوَقُّعاتِ المنطقيَّةِ لحلِّ المسألةِ (تخميناتٌ) وكلَّ مرَّةٍ أختبرُ صحّةَ التّخمينِ باستخدامِ معطياتِ المسألةِ.

أحل :

أفترضُ أنَّ طول المستطيل x وعرضه 2x وأكتبُ مقدارًا جبريًّا محيط المستطيل ، ثمَّ أكملُ الجدولَ الآتيَ، مُحدِّدًا الحالةَ التي يكونُ فيها المحيط يساوي 210 

المقدار الجبري : المحيط = مجموع الأضلاع

$$\begin{gathered} 2\left(2\mathrm{x}\right)+2\left(\mathrm{x}\right)=210 \\ 4\mathrm{x}+2\mathrm{x}=210 \\ 6\mathrm{x}=210 \end{gathered}$$          

	$6\mathrm{x}=210$	x
أقل من 210	$6\left(30\right)=180$	30
أقل من 210	$6\left(33\right)=198$	33
التخمين صحيح	$6\left(35\right)=210$	35

اذن عرض المستطيل هو 35 متر  وعرضه 70 متر 

أتحقق:

المحيط يساوي $2\left(35\right)+2\left(70\right)=210$التخمين صحيح 

 

3) نقودٌ: معَ فاضلٍ 12 ورقةً نقديّةً منْ فِئَتَيْ 5 دنانيرَ، وَ 10 دنانيرَ، قيمتُها الكُلِّيَّةُ 85 دينارًا. كمْ ورقةً نقديّةً منْ كلِّ فئةٍ معَهُ؟ 

افهم :

المعطيات : قيمة النقود الكلية 85 ومعه 12 ورقة نقدية من فئتي 5 و 10 

المطلوب : كمْ ورقةً نقديّةً منْ كلِّ فئةٍ معَهُ

أخطط :

أخمِّنُ عدد الاورق النقدية من كل فئة ، ثمَّ أتحقَّقُ منْ صِحَّةِ تخميني. أُجرِّبُ عددًا منَ التّوَقُّعاتِ المنطقيَّةِ لحلِّ المسألةِ (تخميناتٌ) وكلَّ مرَّةٍ أختبرُ صحّةَ التّخمينِ باستخدامِ معطياتِ المسألةِ.

أحل :

أفترضُ أنَّ عدد الاوراق من فئة 5هو x وعدد الاوراق من فئة 10 هي y وأكتبُ مقدارًا جبريًّا يمثِّلُ مجموع النقود ، ثمَّ أكملُ الجدولَ الآتيَ، مُحدِّدًا الحالةَ التي يكونُ فيها مجموعُ النقود 85 

المقدار الجبري 

$$\begin{gathered} 5\mathrm{x}+10\mathrm{y}=85 \\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=12 \end{gathered}$$

	$5\mathrm{x}+10\mathrm{y}=85$	y	x
أكبر من 85	$5\left(5\right)+10\left(7\right)=95$	7	5
أكبر من 85	$5\left(6\right)+10\left(6\right)=90$	6	6
التخمين صحيح	$5\left(7\right)+10\left(5\right)=85$	5	7

اذن معه 7 ورقات من فئة 5 و خمسة ورقات من فئة ال10 

أتحقق:

مجموع الورقات $5\left(7\right)+10\left(5\right)=85$ التخمين صحيح 

 

4) مساعداتٌ: تصدَّقَ شخصٌ بموادَّ تموينيةٍ على 8 فقراءَ، فأعطى كلَّ واحدٍ منْهُمْ كيسَ سكرٍ ثمنُهُ 4 دنانيرَ، أوْ كيسَ أرزٍ ثمنُهُ 7 دنانيرَ، وكانَ ثمنُ الأكياسِ جميعِها 41 دينارًا.ما عددُ الأكياسِ التي وزَّعَها منْ كلِّ نوعٍ؟

افهم :

المعطيات : ثمن جميع الأكياس 41 ديناراً ، ثمن كيس السكر 4 و ثمن الأرز 7 تم توزيعهم عل 8 فقراء 

المطلوب : عدد الأكياس وأنواعها التي تم توزيعها 

أخطط :

أخمِّنُ كل من عدد أكياس الأرز والسكر ، ثمَّ أتحقَّقُ منْ صِحَّةِ تخميني. أُجرِّبُ عددًا منَ التّوَقُّعاتِ المنطقيَّةِ لحلِّ المسألةِ (تخميناتٌ) وكلَّ مرَّةٍ أختبرُ صحّةَ التّخمينِ باستخدامِ معطياتِ المسألةِ.

أحل :

أفترضُ أنَّ عدد أكياس السكر x وعدد أكياس الأرز y وأكتبُ مقدارًا جبريًّا يمثِّلُ مجموع أعمارهما ، ثمَّ أكملُ الجدولَ الآتيَ، مُحدِّدًا الحالةَ التي يكونُ فيها مجموعُ الأثمان 41 دينار

المقدار الجبري 

$$\begin{gathered} 4\mathrm{x}+7\mathrm{y}=41 \\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=8 \end{gathered}$$

	$4\mathrm{x}+7\mathrm{y}=41$	y	x
أكبر من 41	$4\left(4\right)+7\left(4\right)=44$	4	4
أكبر من 41	$4\left(3\right)+7\left(5\right)=47$	5	3
التخمين صحيح	$4\left(5\right)+7\left(3\right)=41$	3	5

اذن عدد أكياس السكر هي 5 وعدد أكياس الأرز 3 

أتحقق:

مجموع أثمان الأكياس $4\left(5\right)+7\left(3\right)=41$ التخمين صحيح 

 

5) جوائزُ: اشترَتْ مدرسةٌ 20 جائزةً لطلبتِها المتفوِّقينَ بمبلغِ 68 دينارًا. إذا كانَ ثمنُ الجائزةِ للطلبةِ الكبارِ 4 دنانيرَ، وثمنُ الجائزةِ للطلبةِ الصغارِ 3 دنانيرَ، فما عددُ كلٍّ منْ جوائزِ الطلبةِ الكبارِ والصغارِ التي اشترَتْها المدرسةُ؟

افهم :

المعطيات :  ثمن العشرون جائزة هو 68 ، منها 4 دنانير للجائزة الواحدة للطلبة الكبار و 3 دنانير  للجائزة الواحدة للطلبة الصغار 

المطلوب :  عدد كل من الجوائز لكلا الفئتين 

أخطط :

أخمِّنُ عدد الجوائز لكل من الكبار والصغار  ، ثمَّ أتحقَّقُ منْ صِحَّةِ تخميني. أُجرِّبُ عددًا منَ التّوَقُّعاتِ المنطقيَّةِ لحلِّ المسألةِ (تخميناتٌ) وكلَّ مرَّةٍ أختبرُ صحّةَ التّخمينِ باستخدامِ معطياتِ المسألةِ.

أحل :

أفترضُ أنَّ عدد الجوائز للطلبة الكبار x وعدد الجوائز للطلبة الصغار  y وأكتبُ مقدارًا جبريًّا يمثِّلُ مجموع أعمارهما ، ثمَّ أكملُ الجدولَ الآتيَ، مُحدِّدًا الحالةَ التي يكونُ فيها مجموعُ الأثمان 68

المقدار الجبري :

$$\begin{gathered} 4\mathrm{x}+3\mathrm{y}=68 \\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=20 \end{gathered}$$

	$4\mathrm{x}+3\mathrm{y}=68$	y	x
أكبر من 68	$4\left(10\right)+3\left(10\right)=70$	10	10
أكبر من 68	$4\left(9\right)+3\left(11\right)=69$	11	9
التخمين صحيح	$4\left(8\right)+3\left(12\right)=68$	12	8

اذن عدد الجوائز الكبيرة 8 والصغيرة 12  

أتحقق:

مجموع أثمان الجوائز  $4\left(8\right)+3\left(12\right)=68$ التخمين صحيح 

 

6) رياضةٌ: في منافساتِ كرةِ القدمِ يكسبُ الفريقُ 3 نقاطٍ في حالةِ فوزِهِ في المباراةِ، ويكسبُ نقطةً واحدة في حالةِ التعادُلِ. إذا كانَ رصيدُ أحدِ الفِرَقِ 22 نقطةً منْ 10 مبارياتٍ، وانتهَتْ جميعُها بالفوزِ أوِ التعادُلِ،فكمْ عددُ المبارياتِ التي فازَ فيها؟ وكمْ عددُ المبارياتِ التي تعادلَ فيها؟

افهم :

المعطيات :  رصيد أحد الفرق 22 نقطة من 10 مباريات ، تحسب النقاط كالتالي 3 للفوز وواحدة للتعادل 

المطلوب : عددُ المبارياتِ التي فازَ فيها والتي تعادل فيها 

أخطط :

أخمِّنُ عدد كل من مباريات الفوز والتعادل ، ثمَّ أتحقَّقُ منْ صِحَّةِ تخميني. أُجرِّبُ عددًا منَ التّوَقُّعاتِ المنطقيَّةِ لحلِّ المسألةِ (تخميناتٌ) وكلَّ مرَّةٍ أختبرُ صحّةَ التّخمينِ باستخدامِ معطياتِ المسألةِ.

أحل :

أفترضُ أنَّ عدد مباريات الفوز x وعدد مباريات التعادل y وأكتبُ مقدارًا جبريًّا يمثِّلُ مجموع أعمارهما ، ثمَّ أكملُ الجدولَ الآتيَ، مُحدِّدًا الحالةَ التي يكونُ فيها مجموعُ النقاط 22

المقدار الجبري 

$$\begin{gathered} 3\mathrm{x}+\mathrm{y}=22 \\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=10 \end{gathered}$$

	$3\mathrm{x}+\mathrm{y}=22$	y	x
أقل من 22	$3\left(4\right)+\left(6\right)=18$	6	4
أقل من 22	$3\left(5\right)+\left(6\right)=21$	6	5
التخمين صحيح	$3\left(6\right)+\left(4\right)=22$	4	6

اذن عدد مباريات الفوز 6 وعدد مباريات التعادل 4 

أتحقق:

مجموع النقاط $3\left(6\right)+\left(4\right)=22$ التخمين صحيح 

---

---

حلول أسئلة كتاب التمارين 

أستخدِمُ خُطّةَ (التّخمينِ والتّحقّقِ) لحلِّ المسائلِ الآتيةِ:

نتبع خطوات الحل : 

1) أفهم المسالة من حيث المعطيات والمطلوب 

2) أخطط من خلال التخمين 

3) أحل من خلال كتابة المقدار الجبري وتخمين قيمة المجهول بتنظيم جدول 

4) أتحقق من صحة الحل 

خلال حل أسئلة كتاب التمارين سنكتفي بكتابة المقدار وإيجاد الناتج 

1) أعْدادٌ: ضُرِبَ عددٌ في 8، ثُمَّ أضيفَ 5 إلى النّاتجِ، فكانتِ الإجابةُ النّهائيّةُ 37 ، ما العددُ ؟ 

المقدار الجبري : بفرض أن العدد يساوي x

$8\mathrm{x}+5=37$

قيمة المجهول: عن طريق التخمين العدد يساوي 4

$8\left(4\right)+5=37$

 

2) فَواكِهُ: تَضعُ سَوسَنُ 4 تفّاحاتٍ، و 3 بُرْتُقالاتٍ في كُلِّ طبَقٍ، فإِذا كانَ لديْها 24 تفّاحَةً و 18 بُرْتَقالةً، فكَمْ طَبقًا تَمْلَأ؟ 

المقدار الجبري : بفرض أن عدد التفاحات x والبرتقال y

$$\begin{gathered} 4\mathrm{x}=24 \\ 3\mathrm{y}=18 \end{gathered}$$

قيمة المجهول: عن طريق التخمين عدد الأطباق يساوي 6

$$\begin{gathered} 4\left(6\right)=24 \\ 3\left(6\right)=18 \end{gathered}$$

 

3) نُقودٌ: معَ مُنْذِرٍ عَددٌ من القِطعِ النّقديّةِ منْ فئةِ نِصْفِ الدينارِ، ومعَه مِثْلاها منْ فئةِ الدّينارِ. إِذا كانَ مَجْموعُ ما معَهُ 5 دَنانيرَ، فكم قِطعَةً معَه منْ كُلِّ نَوْعٍ؟

المقدار الجبري : بفرض أن عدد القطع النقدية من فئة النصف دينار x ، فإن عدد القطع من فئة الدينار هي 2x

$0.5\mathrm{x}+1\left(2\mathrm{x}\right)=5$

قيمة المجهول: عن طريق التخمين عدد القطع النقدية من فئة النصف دينار 2 و عدد القطع من فئة الدينار 4 

$0.5\left(2\right)+1\left(2\left(2\right)\right)=5$

 

4) وسائِلُ تَعليميّةٌ: أحضرتْ معلِّمةُ الرّياضيّاتِ إلى الصّفِّ مَجموعَةً منَ المثلّثاتِ والأشكالِ الرّباعيّةِ، عددُها 10 ومَجموعُ أضلاعِها 34 ضِلعًا. فكم عددُ المُثلّثاتِ، وكم عددُ الأشْكالِ الرُّباعيَّةِ؟ 

المقدار الجبري : بفرض أن أضلاع المثلث x وأضلاع الشكل الرباعي y

$$\begin{gathered} 3\mathrm{x}+4\mathrm{y}=34 \\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=10 \end{gathered}$$

قيمة المجهول: عن طريق التخمين عدد المثلثات هو 6 والأشكال الرباعية هو 4

$$\begin{gathered} 3\left(6\right)+4\left(4\right)=34 \\ 6+4=10 \end{gathered}$$

 

5) نَقْلٌ: يعملُ على خطِّ (إربِدَ - عمّانَ) نَوْعانِ من حافلاتِ نقلِ الركابِ؛ الحافلاتُ المتوسطةُ سَعَةُ الواحِدَةِ منْها 22 راكِبًا، والحافلاتُ الكبيرةُ سَعَةُ الواحِدَةِ منها 50 راكِبًا. وفي إحْدى السّاعاتِ نقلَتْ 6 حافِلاتٍ منَ النّوْعَينِ 188 راكِبًا، فكمْ حافِلةً منْ كُلِّ نَوْعٍ عمِلتْ في هذِه السّاعَةِ؟ 

المقدار الجبري : بفرض أن الحافلات المتوسطة x والكبيرة y

$$\begin{gathered} 22\mathrm{x}+50\mathrm{y}=188 \\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=6 \end{gathered}$$

قيمة المجهول: عن طريق التخمين عدد الحافلات المتوسطة 4 والكبيرة 2

$$\begin{gathered} 22\left(4\right)+50\left(2\right)=188 \\ 4+2=6 \end{gathered}$$

 

6) طَعامٌ: اشترَتْ سُمَيَّةُ 12 منْ عُلبِ العَصيرِ والفَطائِرِ ثمَنُها جميعًا 340 قرشًا. أسْتعينُ بقائِمةِ الأسعارِ في الجَدولِ؛ لِمعرِفةِ كَمِ اشترَتْ منْ كُلِّ نَوعٍ؟

الصنف	السِّعرُ بالقِرشِ للواحِدَةِ
عصير	25
فطائر	30

المقدار الجبري : بفرض أن العصير x  والفطائر y

$$\begin{gathered} 25\mathrm{x}+30\mathrm{y}=340 \\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=12 \end{gathered}$$

قيمة المجهول: عن طريق التخمين عدد علب العصير 4 و 8 فطائر

$$\begin{gathered} 25\left(4\right)+30\left(8\right)=340 \\ 4+8=12 \end{gathered}$$

 

7) خِدْماتٌ: تتَقاضى مَحطّةُ غَسيلِ سيّاراتٍ 3 دنانيرَ عنْ غَسيلِ السّيّاراتِ الصَّغيرةِ ، و 5 دنانيرَ عنْ غَسيلِ السّيّاراتِ الكبَيرةِ. غَسلتِ المَحطّةُ 20 سيّارةً في أحدِ الأيّامِ، وكانَ مَجموعُ ما تقاضَتهُ بدَلَ الغَسيلِ 72 دينارًا. فكم عَددُ السّيّاراتِ مِنْ كُلِّ نَوعٍ؟

المقدار الجبري : بفرض أن السيارات الصغيرة x والكبيرة y

$$\begin{gathered} 3\mathrm{x}+5\mathrm{y}=72 \\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=20 \end{gathered}$$

قيمة المجهول: عن طريق التخمين عدد السيارات الصغيرة والكبيرة

$$\begin{gathered} 3\left(14\right)+5\left(6\right)=72 \\ 14+6=20 \end{gathered}$$