رياضيات فصل أول

أتذكر أن الصورة العامة لكثيرات الحدود هي $a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_1 x+a_0$ حيث n عدد صحيح غير سالب، و $a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0$ أعداد حقيقية، وأن الاقتران على الصورة $p\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_1 x+a_0$ يسمى اقتران كثير حدود، ويمكننا أيضا قسمة كثير حدود  على آخر باستعمال القسمة الطويلة.

في هذا الدرس سنتعرف على طريقة جديدة لقسمة كثيرات الحدود تعتمد بشكل أساسي على ضرب كثيرات الحدود كعملية عكسية لعملية القسمة.

 

نظرية الباقي:

باقي قسمة كثير الحدود p(x) على (x-c) هو p(c) وبصورة عامة؛ فإن باقي قسمة p(x) على (ax-b) هو $p\left(\frac{b}{a}\right)$، حيث $a\ne 0$.

 

نظرية العوامل:

يكون (x-c) عاملا من عوامل p(x) إذا وفقط إذا كان p(c)=0. وبصورة عامة: يكون (ax-b) عاملا من عوامل p(x) إذا وفقط إذا كان $p\left(\frac{b}{a}\right)=0$ حيث$a\ne 0$.

ملاحظة: إذا علم أحد عوامل كثير الحدود فإنه يمكننا تحليله تحليلا كاملا وذلك بكتابته على صورة حاصل ضرب مجموعة من كثيرات الحدود التي لا يمكن تحليلها (من الدرجة 1 أو من الدرجة 2 وليس لها أصفار). 

 

الأصفار النسبية:

تعلمنا سابقاً أن أصفار كثير الحدود هي قيم x التي يكون عندها p(x)=0 وإذا مثل الاقتران بيانياً فإن أصفاره  هي إحداثيات x لنقاط تقاطع منحناه مع المحور x وبناءً على ذلك

سنتعرف على نظرية الأصفار النسبية التي تساعدنا على إيجاد بعض الأصفار المحتملة لكثيرات الحدود لاختبارها.

نظرية الأصفار النسبية

إذا كان $p\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0$ كثير حدود معاملاته أعداد صحيحة؛ فإن كل صفر نسبي ل p(x) يكون على الصورة $\frac{p}{q}$، حيث p أحد عوامل الحد الثابت $\left(a_0\right)$، و q أحد عوامل المعامل الرئيس $\left(a_n\right)$. نتيجة من نظرية الأصفار النسبية إذا كان $a_n=1$؛ فإن كل صفر نسبي ل p(x) يكون أحد عوامل الحد الثابت $\left(a_0\right)$.

ملاحظة: يمكننا إيجاد الأصفار الأخرى من خلال استعمال القسمة الطويلة والتحليل.

 

حل معادلات كثيرات الحدود

المعادلة التي يمكن كتابتها على صورة $p\left(x\right)=0$ حيث p(x) كثير حدود من أي درجة تسمى معادلة كثير الحدود التي يمكن حل البعض منها باستخدام طرائق التحليل البسيطة كإخراج عامل مشترك أو بالتجميع ونستعمل نظرية للأصفار النسبية لحل معادلات كثيرات الحدود التي لا يمكن حلها باستعمال هذه الطرائق