الرياضيات

الدرس الأول: الاقترانات الأسية : صفحة (8-17)

 

سنتعرف في درس الاقترانات الأسية إلى:

1) الاقتران الأسي.

2) إيجاد قيمة الاقتران الأسي عند قيمة معطاة.

3) التمثيل البياني للاقتران الأسي .

4) خصائص الاقتران الأسي.

5) تطبيقات حياتية على الاقترانات الأسية.

 

 

أولًا:  الاقتران الأسي:

 

يكتب الاقتران الأسي على الصورة: $\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }{\mathit{b}}^{\mathbf{x}}$

 

^حيث:

        ^{$b>0$      (أي أن b لا يمكن أن تكون عدًدا سالبًا أو صفرًا؛ لأن الاقتران الأسي يصبح غير}

                        ^{معرف عند بعض القيم ، حيث يتضمن جذرًا تربيعيًا لقيمة سالبة)}

      ^{$b\ne 1$        ( لأن الاقتران يصبح ثابتًا في صورة $f\left(x\right)=1$}

 

* أمثلة على الاقتران الأسي:

$f\left(x\right)= {(0.5)}^x$

$f\left(x\right)= {\left(\frac{1}{5}\right)}^x$

$f\left(x\right)= 5^x$

 

 

* سؤال: أي الاقترانات الآتية يعتبر اقترانًا أسيًا؟مبررًا إجابتك.

$f\left(x\right)= 4^x$     ,  $f\left(x\right)= x^4$                                

الحل:

^{$f\left(x\right)= 4^x$}  :هو اقتران أسي حيث : 4 (الأساس) عدد حقيقي ، أكبر من صفر وعلى صورة الاقتران الأسي $f\left(x\right) = b^x$

$f\left(x\right)= x^4$ :هو اقتران قوة ، ليس اقترانًا أسيًّا لأن المتغير موجود في الأساس، لا في الأس.

---

ثانيًا:  إيجاد قيمة الاقتران الأسي عند قيمة معطاة.

 

والآن سننتقل إلى إيجاد قيمة للاقتران الأسي عند قيمة x المعطاة:

 

لإيجاد قيمة الاقتران الأسي عند قيمة x المعطاة، اتبع الخطوات الآتية:

1- عوض قيمة $x$  بالاقتران الأسي.

2- استخدم أولويات العمليات الحسابية

3- بسط المقدار

 

مثال:جد قيمة كل اقتران مما يأتي عند قيمة x المعطاة:

$a) f(x)=2^x , x=7$

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=2^x$
بتعويض x=7 بالاقتران	$f\left(7\right)=2^7$
$2^7=128$	$=128$

 

$b) f(x)= {\left(\frac{1}{4}\right)}^x , x= -3$

الحل:

* تذكر أن : $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

 

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)= {\left(\frac{1}{4}\right)}^x$
بتعويض $x= -3$ بالاقتران	$f(-3)= {\left(\frac{1}{4}\right)}^{-3}$
${\left(\frac{1}{4}\right)}^{-3}=64$	$=64$

---

ثالثًا: التمثيل البياني للاقتران الأسي:

 

يمكن تمثيل الاقتران الأسي الذي في صورة $f\left(x\right)=b^{\mathrm{x}}$ ، حيث: $b>1$ ، باتباع الخطوات الآتية:

1) إنشاء جدول قِيم

2) تعيين الأزواج المرتبة الناتجة من الجدول في المستوى الإحداثي.

3) توصيل النقاط ببعضها البعض عن طريق منحنى متصل.

4) استعمال التمثيل البياني لاستكشاف خصائص الاقتران الأسي.

 

مثال: إذا كان:   $f\left(x\right)=5^x$ ،فأجب عن الأسئلة الآتية:

1) مثل الاقتران بيانيًا

2) حدد مجاله ومداه وخطوط التقارب

3) جد المقطعين من المحورين الإحداثيين

4) هل الاقتران $f\left(x\right)$ متزايد أم متناقص؟

5) هل الاقتران $f\left(x\right)$ واحد لواحد؟

 

الحل:

1) مثل الاقتران بيانيًا

 

الخطوة(1): إنشاء جدول القيم:

1) حدد خمس قيم لـ$x$  مثلًا ( 2  ,  1   ,   0   ,   1-  ,  2- ) ,وضعها بالصف الأول للجدول.

2) جد قيمة $f\left(x\right)$ عند كل قيمة لـ $x$ من خلال تعويض قيم $x$ بالاقتران الأسي:

$$\begin{gathered} f(-2)={\left(5\right)}^{-2}=\frac{1}{25} \\ f(-1)={\left(5\right)}^{-1}=\frac{1}{5} \end{gathered}$$

$f\left(0\right)={\left(5\right)}^0=1$

$f\left(1\right)={\left(5\right)}^1=5$

$f\left(2\right)={\left(5\right)}^2=25$

 

$2$	$1$	$0$	$-1$	$-2$	$x$
$25$	$5$	$1$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{25}$	$y=f\left(x\right)$
$\left(2, 25\right)$	$\left(1, 5\right)$	$\left(0, 1\right)$	$\left(-1, \frac{1}{5}\right)$	$\left(-2, \frac{1}{25}\right)$	$\left(x, y\right)$

 

 

الخطوة(2):تعيين الأزواج المرتبة الناتجة من الجدول على المستوى الإحداثي.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

الخطوة(3):توصيل النقاط ببعضها البعض عن طريق منحنى متصل.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       

 

 

 

 

 

2) حدد مجاله ومداه وخطوط التقارب:

 

مجال الاقتران: هو مجموعة القيم التي توجد على المحور $x$ ، ويكون الاقتران معرفًا عندها

$\therefore$ مجال الاقتران $f\left(x\right)$ هو مجموعة الأعداد الحقيقية:$\mathrm{ℝ}$

 

مدى الاقتران: هو مجموعة القيم التي توجد على المحور $y$ ، والتي تكون صورًا لقيم x الواقعة ضمن مجال الاقتران.

$\therefore$مدى الاقتران $f\left(x\right)$ هو مجموعة  الأعداد الحقيقية الموجبة ${\mathrm{ℝ}}^{+}$ : الفترة $\left(0, \infty \right)$ ؛حيث إنه لا يمس محور السينات.

 

خط التقارب: هو خط مستقيم يقترب منه منحنى الاقتران دون أن يمسه.

$\therefore$خط التقارب لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)$  هو خط تقارب أفقي هو (المحور x)

 

3) جد المقطعين من المحورين الإحداثيين:

المقطع السيني: النقطة التي يقطع بها الاقتران محور السينات(محور $x$)

المقطع الصادي: النقطة التي يقطع بها الاقتران محور الصادات(محور $y$).

 

$\therefore$بما أن $5^x$ موجبة دائمًا، فإنه لا يوجد للاقتران مقطع مع المحور $x$ ، لأن$y>0$ دائمًا.

   المقطع $y$ للاقتران هو 1 عندما $x=0$

 

4) هل الاقتران $f\left(x\right)$ متزايد أم متناقص؟

كلما زادت قيم $x$ زادت قيم $y$

$\therefore$الاقتران $f\left(x\right)$ متزايد

 

5) هل الاقتران $f\left(x\right)$ واحد لواحد؟

اقتران واحد لواحد: هو الاقتران الذي يرتبط فيه كل عنصر في مداه بعنصر واحد فقط في مجاله، ويستخدم اختبار الخط الأفقي للتأكد من ذلك، من خلال رسم خط أفقي على منحنى الاقتران والتأكد أنه لا يوجد خط أفقي يمكنه قطع الاقتران في أكثر من نقطة واحدة فقط.

 

$\therefore$الاقتران $f\left(x\right)$ هو اقتران واحد لواحد، ويمكن التحقق من ذلك باستخدام اختبار الخط الأفقي.

---

مثال: إذا كان: $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{5}\right)}^x$،فأجب عن الأسئلة الآتية:

1) مثل الاقتران بيانيًا

2) حدد مجاله ومداه وخطوط التقارب

3) جد المقطعين من المحورين الإحداثيين

4) هل الاقتران $f\left(x\right)$ متزايد أم متناقص؟

5) هل الاقتران $f\left(x\right)$ واحد لواحد؟

 

الحل:

1) مثل الاقتران بيانيًا:

$2$	$1$	$0$	$-1$	$-2$	$x$
$\frac{1}{25}$	$\frac{1}{5}$	$1$	$5$	$25$	$y=f\left(x\right)$
$\left(-2, \frac{1}{25}\right)$	$\left(1, \frac{1}{5}\right)$	$\left(0, 1\right)$	$\left(-1, 5\right)$	$\left(-2, 25\right)$	$\left(x, f\left(x\right)\right)$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ملاحظة: يكتب الاقتران $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{b}\right)}^x$ في صورة: $f\left(x\right)=b^{-x}$  لأن ${\left(\frac{1}{b}\right)}^x=b^{-x}$

 

2) حدد مجاله ومداه وخطوط التقارب

مجال الاقتران: مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathrm{ℝ}$

مدى الاقتران:$\left(0, \infty \right)$

 

خط التقارب لمنحنى الاقتران  هو خط التقارب الأفقي محور $x$

 

3) جد المقطعين من المحورين الإحداثيين

بما أن ${\left(\frac{1}{5}\right)}^x$ موجب دائمًا، فإنه لا يوجد للاقتران مقطع مع المحور $x$ ، لأن $y>0$

المقطع $y$ للاقتران هو $1$ عندما $x=0$

 

4) هل الاقتران $f\left(x\right)$ متزايد أم متناقص؟

كلما زادت قيم $x$ تقل قيم $y$

$\therefore$الاقتران $f\left(x\right)$ متناقص

 

5) هل الاقتران $f\left(x\right)$ واحد لواحد؟

الاقتران $f\left(x\right)$ هو اقتران واحد لواحد، ويمكن التحقق من ذلك باستخدام اختبار الخط الأفقي.

---

رابعًا: خصائص الاقتران الأسي:

 1) خصائص الاقتران الأسي على الصورة $f\left(x\right)= b^x$ هي:

1. مجال الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathrm{ℝ}$

2. مدى الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة $(0, \infty )$

3. يكون الاقتران متزايدًا إذا كانت$b > 1$

4. يكون الاقتران متناقصًا إذا كان $0<b<1$

5. للاقتران خط تقارب أفقي واحد هو المحور $x$

6. الاقتران يقطع المحور $y$  في نقطة واحدة هي $(0,1)$ ولا يقطع محور السينات

7.الاقتران واحد لواحد.

 

 ويمكن تلخيص خصائص الاقتران الأسي الذي على الصورة  $f\left(x\right)= b^x$: ، حيث  $b$ عدد حقيقي و $b>0$ ،  $1\ne b$،  باستخدام الرسم الآتي:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ملاحظة: إذا كانت قيمة $a$ سالبة فإن منحنى الاقتران ينعكس حول المحور $x$

 

---

 2) خصائص الاقتران الأسي على الصورة $f\left(x\right)= a{{\mathrm{b}}^{\mathrm{x}-\mathrm{h}}}^{} + k$

 

يعد منحنى الاقتران $f\left(x\right)= a{{\mathrm{b}}^{\mathrm{x}-\mathrm{h}}}^{} + k$ تحويلًا هندسيًا لمنحنى الاقتران الأسي الذي على الصورة $f\left(x\right)= {\mathrm{b}}^{\mathrm{x}}$ ؛ حيث يؤثر كل من $a, k, h$ على مجاله ومداه.

و يمكن تلخيص خصائص الاقتران الأسي الذي صورته $f\left(x\right)= a{\mathrm{b}}^{\mathrm{x}-\mathrm{h}} + k$ ، حيث: $a, b, k, h$ أعداد حقيقية،  $b\ne 1 , b>0, a>0$ ،بالجدول الآتي :

مجال الاقتران	مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathrm{ℝ}$
مدى الاقتران	الفترة $\left(k, \infty \right)$
الاقتران متزايد	إذا كان $b > 1$
الاقتران متناقص	$0 < b < 1$
خط التقارب	خط تقارب أفقي هو المستقيم $y=k$

 

ملاحظة: إذا كانت قيمة $\mathit{a}$ سالبة ( $a<0$)  في  الاقتران الأسي الذي على الصورة $f\left(x\right)= a{b^{x-h}}^{} + k\mathbf{ }$ ، فإن مدى الاقتران الأسي هو الفترة: $\left(-\infty , k\right)$

               ويصبح الاقتران متزايدًا إذا كانت $1>b>0$ ، ومتناقصًا إذا كانت $1 < b$

 

 

مثال:

جد خط التقارب الأفقي لكل من الاقترانات الآتية ثم حدد مجاله ومداه مبينًا إذا كان متناقصًا أو متزايدًا:

$a) f(x)= 5{\left(7\right)}^{x+2} - 4 b) f(x)=8 {\left(12\right)}^{-x}+11 c) f(x)=-\frac{1}{2} {\left(5\right)}^{x-1} + 7$

الحل:

الخصائص	$c) f(x)=-\frac{1}{2} {\left(5\right)}^{x-1} + 7$	$b) f(x)=8 {\left(\frac{1}{12}\right)}^x+11$	$a) f(x)= 5{\left(7\right)}^{x+2} - 4$
قيم $a,b,h,k$	$$\begin{gathered} a= -\frac{1}{2} b=5 \\ h= 1 k=7 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} a= 8 b=\frac{1}{12} \\ h= 0 k=11 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} a= 5 b=7 \\ h= -2 k=-4 \end{gathered}$$
خط التقارب الأفقي	$y=7$	$y=11$	$y=-4$
مجال الاقتران	$\mathrm{ℝ}$	$\mathrm{ℝ}$	مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathrm{ℝ}$
مدى الاقتران	$(-\infty , 7)$	$(11, \infty )$	$\left(-4, \infty \right)$
متزايد أم متناقص	متناقصًا لأن $1 <5=b$، قيمة $a$ سالبة	متناقص لأن $1>\frac{1}{12}=b$	متزايد لأن $1<7=b$

---

5) التطبيقات الحياتية للاقترانات الأسية:

يستفاد من الاقترانات الأسية في تطبيقات عديدة في حياتنا أهمها حساب الكائنات الحية التي تتكاثر سريعًا.

 

مثال:

يمثل الاقتران: $f\left(x\right)=50 {\left(3\right)}^x$  عدد الخلايا السرطانية في عينة مخبرية ، حيث $x$ الزمن بالساعات:

1) جد عدد الخلايا السرطانية في العينة بعد مضي 4 ساعات

2) بعد كم ساعة يصبح عدد الخلايا السرطانية في العينة 12150 خلية؟

 

الحل:

1) عدد الخلايا السرطانية في العينة بعد مضي 4 ساعات

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=50 {\left(3\right)}^x$
بتعويض x=5	$f\left(4\right)=50 {\left(3\right)}^4$
بالتبسيط حيث:$3^4 = 81$	$= 4050$

$\therefore$عدد الخلايا السرطانية في العينة بعد مضي 4 ساعات يساوي 4050 خلية .

 

2) بعد كم ساعة يصبح عدد الخلايا السرطانية في العينة 12150 خلية؟

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=50 {\left(3\right)}^x$
بتعويض $f\left(x\right)=12150$	$12150 =50 {\left(3\right)}^x$
بقسمة الطرفين على 50	$243 = {\left(3\right)}^x$
$243 = 3^5$	${\left(3\right)}^5 = {\left(3\right)}^x$
بمساواة الأسس	$x=5$

$\therefore$بعد 5 ساعات يصبح عدد الخلايا السرطانية في العينة 12150 خلية

---