حل اسئلة الدرس - الصف التوجيهي علمي - رياضيات العلمي فصل أول - مدرسة جواكاديمي

تنفخ ماجدة بالونّا على شكل كرة فيزداد حجمه بمُعدّل $80 c m^{3} / s$ .

أجد مُعدَّل زيادة نصف قطر البالون عندما يكون نصف القُطر $6 c m$ .

$S o l u t i o n : v = \frac{4}{3} π r^{3} \frac{d v}{d t} = 4 π r^{2} \frac{d r}{d t} 80 = 4 π {(6)}^{2} \frac{d r}{d t} \Rightarrow \frac{d r}{d t} = \frac{5}{9 π} c m / s$

تحرّكت السيّارة A والسيّارة B في الوقت نفسه، ومن النقطة نفسها ، بحيث اتجهت

السيّارة A نحو الشمال بسرعة $45 k m / h$ . واّتجهت السيّارةB نحو الشرق

بسرعة $40 k m / h$ . أجد مُعدِّل تغيُّر البُعْد بين السيّارتين بعد ساعتين من انطلاقهما.

$S o l u t i o n : D = \sqrt{x^{2} + y^{2}} b u t x = \frac{d x}{d t} t = 40 t y = \frac{d y}{d t} t = 45 t \Rightarrow D = \sqrt{{(40 t)}^{2} + {(45 t)}^{2}} = \sqrt{{1600 t}^{2} + {2025 t}^{2}} = \sqrt{{3625 t}^{2}} = \sqrt{3625} t \Rightarrow \frac{d D}{d t} = \sqrt{3625} k m / s$

أمسك ولد ببكرة خيط طائرة ورقية تحلق على ارتفاع $50 m$ فوق سطح الأرض ،

وتتحرّك أفقيًّا بسرعة $2 m / s$ . أجد مُعدِّل تغيُر الزاوية بين الخيط والمستوى الأفقي

عندما يكون طول الخيط $100 m$ . علماً بأن إرتفاع يد الولد $1.5 m$

$S o l u t i o n : t a n θ = \frac{50 - 1.5}{x} = \frac{48.5}{x} s e c^{2} θ \frac{d θ}{d t} = - \frac{48.5 \frac{d x}{d t}}{x^{2}} w h e n l = 100 \Rightarrow \sin θ = \frac{48.5}{100} \Rightarrow s e c^{2} θ = \frac{1}{1 - {(\frac{48.5}{100})}^{2}} a n d x = 100 \cos θ = 100 \times \sqrt{1 - {(\frac{48.5}{100})}^{2}} s e c^{2} θ \frac{d θ}{d t} = - \frac{48.5 \frac{d x}{d t}}{x^{2}} (\frac{1}{1 - {(\frac{48.5}{100})}^{2}}) \frac{d θ}{d t} = - \frac{48.5 (2)}{{(100 \times \sqrt{1 - {(\frac{48.5}{100})}^{2}})}^{2}} \Rightarrow \frac{d θ}{d t} = - \frac{97}{10000} r a d / s$

يدور مصباح مثبت بالأرض حول نفسه 4 دورات في الدقيقة ويبعد مسافة $3 m$ عن جدار مسستقيم .

كما في الشكل المجاور ، فأجد سرعة تحرّك بقعة ضوء المصباح على الجدار عندما تكون على بعد $1 m$

من أقرب نقطة إلى المصباح على الجدار أثناء حركتها مقتربة من هذه النقطة .

$S o l u t i o n : t a n θ = \frac{x}{3} s e c^{2} θ \frac{d θ}{d t} = \frac{1}{3} \frac{d x}{d t} \frac{d θ}{d t} = \frac{2 π}{t} = \frac{2 π}{\frac{1}{4}} = 8 π r a d / s w h e n x = 1 \Rightarrow t a n θ = \frac{1}{3} b u t s e c^{2} x = 1 + t a n^{2} x \Rightarrow s e c^{2} x = 1 + {(\frac{1}{3})}^{2} \Rightarrow s e c^{2} x = \frac{10}{9} s e c^{2} θ \frac{d θ}{d t} = \frac{1}{3} \frac{d x}{d t} \Rightarrow (\frac{10}{9}) (8 π) = \frac{1}{3} \frac{d x}{d t} \Rightarrow (\frac{10}{3}) (8 π) = \frac{d x}{d t} \Rightarrow \frac{d x}{d t} = \frac{80 π}{3} m / s$

في المخطط الآتي ، تمثل $A B$ ذراع توصيل مكبس طولها 14 cm ، وتمثل $O A$ عموداً مرفقياً طوله 5 cm ،

وهو مثبت بطرف ذراع التوصيل ، ويدور حول النقطة O التي تبعد مسافة $x c m$ عن المكبس .

أجد سرعة دوران العمود المرفقي عندما يكون المكبس على بعد 11 cm من النقطة O ويتحرك مقترباً

منها بسرعة مقدارها 120 cm/s في تلك اللحظة .

$\begin{array}{l} S o l u t i o n : \\ {(14)}^{2} = x^{2} + {(5)}^{2} - 2 \times 5 x \times c o s θ \\ 0 = 3 x \frac{d x}{d t} - 10 \frac{d x}{d t} c o s θ + 10 x c o s θ \frac{d θ}{d t} \\ ∴ \frac{d θ}{d t} = \frac{d x}{d t} \times \frac{10 c o s θ - 2 x}{10 x s i n θ} \\ w h e n x = 11 t h e n \\ c o s θ = \frac{121 + 25 - 196}{110} = - \frac{5}{11} \\ ∴ s i n θ = \sqrt{1 - {(- \frac{5}{11})}^{2}} = \frac{\sqrt{96}}{11} \\ ∴ \frac{d θ}{d t} = \frac{d x}{d t} \times \frac{10 c o s θ - 2 x}{10 x s i n θ} \\ ∴ \frac{d θ}{d t} = - 120 \times \frac{10 \times - \frac{5}{11} - 2 (11)}{10 (11) \times \frac{\sqrt{96}}{11}} ∴ \frac{d θ}{d t} = 32.5 r a d \end{array}$

خزّان ماء على شكل مخروط دائري قائم رأسه إلى الأسفل. وارتفاعه $10 m$ ونصف قطر قاعدته $5 m$ ،

صُب الماء في الخرّان بمُعدِّل $π m^{3} / m i n$ . ما معدّل تغيّر ارتفاع الماء في الخرّان عندما يكون ارتفاعه $8 m$ ؟

$S o l u t i o n : m_{1} = m_{2} \frac{h - 0}{r - 0} = \frac{10 - 0}{5 - 0} \Rightarrow r = \frac{h}{2} B u t v = \frac{π}{3} r^{2} h \Rightarrow v = \frac{π}{3} {(\frac{h}{2})}^{2} h = \frac{π}{12} h^{3} \frac{d v}{d t} = \frac{π}{4} h^{2} \frac{d h}{d t} π = \frac{π}{4} {(8)}^{2} \frac{d h}{d t} \Rightarrow \frac{d h}{d t} = \frac{1}{16} m / m i n$

يزداد طول أحد أضلاع مستطيل بِمُعدَّل cm/s 2 ويقل طول ضلع آخر له بمُعدّل cm/s 3 ،

بحيث يحافظ المستطيل على شكله وفي لحظة مُعيَنّة بلغ طول الضلع الأول $20 c m$ ،

وطول الضلع الثاني $50 c m$ :

1) ما مُعدِّل تغيُرٌ مساحة المستطيل في تلك اللحظة؟

$S o l u t i o n : w h e n x = 20; A = x y \frac{d A}{d t} = \frac{d x}{d t} y + x \frac{d y}{d t} = 2 (50) + - 3 (20) \frac{d A}{d t} = 40 c m^{2} / s$

2) ما مُعدّل تغير محيط المستطيل في تلك اللحظة؟

$S o l u t i o n : S = 2 x + 2 y \frac{d S}{d t} = 2 \frac{d x}{d t} + 2 \frac{d y}{d t} = 2 (2) + 2 (- 3) \frac{d S}{d t} = - 2 c m / s$

3) ما مُعدِّل تغير طول قطر المستطيل في تلك اللحظة؟

$S o l u t i o n : D = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \frac{d D}{d t} = \frac{2 x \frac{d x}{d t} + 2 y \frac{d y}{d t}}{2 \sqrt{x^{2} + y^{2}}} \frac{d D}{d t} = \frac{(20) (2) + (50) (- 3)}{\sqrt{{(20)}^{2} + {(50)}^{2}}} \frac{d D}{d t} = - \frac{11}{\sqrt{29}} c m / s$

4) أي الكمّيات في المسألة مُتزايدة؟ أيّها متناقصة؟ أبرّر إجابتي.

مُكَّعب طول ضلعه $10 c m$ ، بدأ المُكعب يتمدّد فزاد طول ضلعه بمُعدَّل $6 c m / s$ ، وظلٌ مُحافِظًا على شكله:

5) أجد مُعدّل تغير حجم المُكَعّب بعد $4 s$ من بَدْء تمدده.

$S o l u t i o n : v = x^{3}; x = \frac{d x}{d t} t x = 6 t v = {(6 t)}^{3} = 216 t^{3} \frac{d v}{d x} = 648 t^{2} = 648 {(4)}^{2} = 10368 c m / s$

6 ) أجد مُعدّل تغيُّر مساحة سطح المُكعب بعد $6 s$ من بَدْء تمدّده.

$S o l u t i o n : A = 6 x^{2}; x = \frac{d x}{d t} t x = 6 t A = {6 (6 t)}^{2} = 216 t^{2} \frac{d A}{d x} = 432 t = 432 (6) = 2592 c m / s$

وقود: خرّان أسطواني الشكل ، ارتفاعه 15m وقُّطْر قاعدته 2m .

مُلِىءَ الخرّان بالوقود بمُعدّل $500 l / m i n$ :

7) أجد مُعدّل ارتفاع الوقود في الخزّان عند أي لحظة.

$S o l u t i o n : v = π r^{2} h; w h e n r = 2 v = 4 π h \frac{d v}{d x} = 4 π \frac{d h}{d x} \Rightarrow \frac{d h}{d x} = \frac{500}{4 π} m / m i n$

8) أجد مُعدّل تغيُرٌ المساحة الجانبية للوقود لحظة امتلاء الخزّان ، علمًا بأنه كان فارغًا قبل ذلك.

$S o l u t i o n : A = 2 π r h; w h e n r = 2 v = 4 π h \frac{d A}{d x} = 4 π \frac{d h}{d x} \Rightarrow \frac{d A}{d x} = 4 π \frac{500}{4 π} = 500 m^{2} / m i n$

9) علوم : يمثل الاقتران $T (x) = \frac{200}{1 + x^{2}}$ درجة الحرارة (بالسليسيوس) التي يشعر بها شخص ما على بُعْد $x$ متراً من النار.

إذا كان الشخص يبتعد عن النار بِمُعدَّل $2 m / s$ ، فأجد سرعة تغيِرّ درجة الحرارة التي يشعر بها الشخص عندما يكون على بُعْد $5 m$ من النار.

$S o l u t i o n : T (x) = \frac{200}{1 + x^{2}} \frac{d T}{d t} = - \frac{200 (2 x \frac{d x}{d t})}{{(1 + x^{2})}^{2}} \frac{d T}{d t} = - \frac{200 (2 (5) (2))}{{(1 + {(5)}^{2})}^{2}} = - \frac{1000}{169}$

آلات: يسقط الرمل من حزام ناقل بمُعدّل $10 m^{3} / m i n$ على قِمَّة كَومة مخروطية الشكل.

إذا كان ارتفاع الكٌومة يساوي دائمًا ثلاثة أثمان طول قُطْر قاعدتها، فأجد كلا مما يأتي:

10) سرعة تغير ارتفاع الكَومة عندما يكون ارتفاعها 4m .

$S o l u t i o n : v = \frac{π}{3} r^{2} h b u t h = \frac{3}{8} (2 r) \Rightarrow r = \frac{4}{3} h \Rightarrow v = \frac{π}{3} {(\frac{4}{3} h)}^{2} h = \frac{16 π}{27} h^{3} \frac{d v}{d t} = \frac{16 π}{9} h^{2} \frac{d h}{d t} 10 = \frac{16 π}{9} {(4)}^{2} \frac{d h}{d t} \frac{d h}{d t} = \frac{45}{128} m / m i n$

11) سرعة تغيُر طول نصف قُطْر قاعدة الكَوْمة عندما يكون ارتفاعها 4m .

$S o l u t i o n : h = \frac{3}{4} r \frac{d h}{d t} = \frac{3}{4} \frac{d r}{d t} \frac{d r}{d t} = \frac{45}{128} \times \frac{4}{3} = \frac{15}{32} m / m i n \frac{d r}{d t} = \frac{15}{32} m / m i n$

12) سرعة تغيُر مساحة قاعدة الكَوْمة عندما يكون ارتفاعها 4m .

$S o l u t i o n : A = {πr}^{2} \frac{d A}{d t} = 2 πr \frac{d r}{d t} when h = 4 then r = \frac{4}{3} \times 12 \Rightarrow r = 16 \frac{d A}{d t} = 2 π (16) (\frac{15}{32}) \frac{d r}{d t} = 15 π m / m i n$

طيران: رصد مُراقِب الحركة الجوية في أحد المطارات طائرتين تُحلّقان على الارتفاع نفسه، وتقتربان من نقطة التقاء مسار حركتيهما في زاوية قائمة كما في الشكل المجاور. وكانت الطائرة الأولى تسير بسرعة $450 k m / h$

في حين كانت الطائرة الأخرى تسير بسرعة $600 k m / h$ .

13) أجد مُعدّل تغيُر المسافة بين الطائرتين في اللحظة التي تبعد فيها الطائرة الأولى مسافة $225 k m$ عن نقطة

التقاء مسار حركة الطائرتين في حين تبعد الطائرة الثانية مسافة $450 k m$ عن النقطة نفسها.

$S o l u t i o n : s e n c e : \frac{d x}{d t} = - 450 a n d \frac{d y}{d t} = - 600 D = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \frac{d D}{d t} = \frac{2 x \frac{d x}{d t} + 2 y \frac{d y}{d t}}{2 \sqrt{x^{2} + y^{2}}} \frac{d D}{d t} = \frac{(225) (- 450) + (450) (- 600)}{\sqrt{{(225)}^{2} + {(450)}^{2}}} \frac{d D}{d t} = - 737.9 k m / h$

14) هل يجب على مُراقِب الحركة الجوية توجيه إحدى الطائرتين لاتّخاذ مسار مختلف؟ أُبرّر إجابتي.

الحل:

لا يجب على مراقب الحركة الجوية تغيير مسار إحدى الطائرتين لانهما لن يصدما.

$t_{x} = \frac{x}{v_{x}} = \frac{225}{450} = \frac{1}{2} h a n d t_{y} = \frac{y}{v_{y}} = \frac{450}{600} = \frac{3}{4} h$

15 ) درّاجات نارية: تحرّكت درّاجتان في الوقت نفسه ، ومن النقطة نفسها على طريقين مستقيمين ،

قياس الزاوية بينهما $\frac{π}{3}$ . إذا كانت سرعة الدرّاجة الأولى $15 k m / h$ ، وسرعة الدرّاجة الثانية

$20 k m / h$ . فأجد سرعة ابتعاد كلّ منهما عن الأخرى بعد ساعتين من انطلاقهما.

$S o l u t i o n : D = \sqrt{x^{2} + y^{2} - 2 x y c o s θ} b u t x = \frac{d x}{d t} t = 15 t, y = \frac{d t}{d t} t = 20 t D = \sqrt{{(15 t)}^{2} + {(20 t)}^{2} - 2 (15 t) (20 t) c o s (\frac{π}{3})} = \sqrt{{625 t}^{2} - {300 t}^{2}} = \sqrt{325 t^{2}} D = \sqrt{325} t \frac{d D}{d t} = \sqrt{325} = 5 \sqrt{13} k m / h$

16) كهرباء: تعطى المقاومة المكافئة R بالأوم ( $Ω$ ) للمقاومتين R₁ , R₂ الموصولتين على التوازي،

كما في الشكل المجاور ، بالعلاقة الآتية: $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ إذا كانت R₁ , R₂ ، تزدادان بمعدِّل

$0.2 Ω / s, 0.3 Ω / s$ على الترتيب فأجد مُعدِّل تغيُّرٌ R عندما $R_{1} = 80 Ω, R_{2} = 100 Ω$ .

$S o l u t i o n : \frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} b u t \frac{1}{R} = \frac{1}{80} + \frac{1}{100} \Rightarrow R = \frac{400}{9} \frac{\frac{d R}{d t}}{R^{2}} = \frac{\frac{d R_{1}}{d t}}{{(R_{1})}^{2}} + \frac{\frac{d R_{2}}{d t}}{{(R_{2})}^{2}} \frac{\frac{d R}{d t}}{{(\frac{400}{9})}^{2}} = \frac{0.3}{{(80)}^{2}} + \frac{0.2}{{(100)}^{2}} \frac{d R}{d t} = \frac{160000}{81} (\frac{3}{64000} + \frac{2}{100000}) = 0.132 Ω / s$

17) قوارب: يسحب جمال قاربه إلى رصيف الاصطفاف باستعمال بكرة سحب ترتفع $1 m$ ، عن مُقدّمة القارب.

إذا طوت البكرة حبل السحب بسرعة $1 m / s$ وكان القارب يبعد عن الرصيف مسافة $8 m$ في

لحظة ما ، فما سرعة اقتراب القارب من الرصيف عندئذٍ؟

$S o l u t i o n : x = \sqrt{l^{2} - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{2 l \frac{d l}{d t}}{2 \sqrt{l^{2} - 1}} w h e n x = 8 \Rightarrow l = \sqrt{{(8)}^{2} + 1} = \sqrt{65} \frac{d x}{d t} = \frac{\sqrt{65} (- 1)}{\sqrt{65 - 1}} = - \frac{\sqrt{65}}{8} m / s \frac{d x}{d t} = - \frac{\sqrt{65}}{8} m / s$

سباقات سيّارات: ترتفع كاميرا عن الأرض مسافة $132 f t$ ، وترصد سيّارة تتحرَّك على مضمار سباق ، وتبلغ

سرعتها $264 f t / s$ كما في الشكل المجاور:

18) أجد سرعة تغيُرٌ الزاوية $θ$ عندما تكون السيّارة أسفل الكاميرا تمامًا.

$S o l u t i o n : t a n θ = \frac{x}{132} s e c^{2} θ \frac{d θ}{d t} = \frac{1}{132} \frac{d x}{d t} w h e n x = 0 \Rightarrow θ = 0 s e c^{2} (0) \frac{d θ}{d t} = \frac{1}{132} \times - 264 \frac{d θ}{d t} = - 2 r a d / s$

19) أجد سرعة تغيّر الزاوية $θ$ بعد نصف ثانية من مرور السيّارة سيّارة السباق أسفل الكاميرا.

$S o l u t i o n : x = \frac{d x}{d t} t \Rightarrow x = 264 t \tan θ = \frac{x}{132} = \frac{264 t}{132} \Rightarrow t a n θ = 2 t s e c^{2} θ \frac{d θ}{d t} = 2 \Rightarrow \frac{d θ}{d t} = \frac{2}{s e c^{2} θ} b u t s e c^{2} θ = \tan^{2} θ + 1 = {(2 t)}^{2} + 1 = 4 t^{2} + 1 \frac{d θ}{d t} = \frac{2}{s e c^{2} θ} = \frac{2}{4 t^{2} + 1} w h e n t = \frac{1}{2} \frac{d θ}{d t} = \frac{2}{4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 1} = 1 r a d / s$

20) فيزياء: يتحرّك مُجُسَيْم على منحنى الاقتران $f (x) = 2 s i n \frac{π}{2} x$ . وعند مروره بالنقطة $(\frac{1}{3}, 1)$

فإنَ الإحداثي $x$ لموقعه يزداد بُمعدِّل $\sqrt{10} c m / s$ .

أجد مُعدِّل تَغيّْرْ المسافة بين الجُسَيْم ونقطة الأصل في هذه اللحظة.

$S o l u t i o n : D = \sqrt{{(x - 0)}^{2} + {(2 s i n \frac{π}{2} x - 0)}^{2}} D = \sqrt{x^{2} + 4 s i n^{2} \frac{π}{2} x} \frac{d D}{d x} = \frac{2 x \frac{d x}{d t} + 8 s i n \frac{π}{2} x c o s \frac{π}{2} x (\frac{π}{2}) \frac{d x}{d t}}{2 \sqrt{x^{2} + 4 s i n^{2} \frac{π}{2} x}} w h e n x = \frac{1}{3}, f (x) = 1, \frac{d x}{d t} = \sqrt{10} \frac{d D}{d x} = \frac{(\frac{1}{3}) \sqrt{10} + 4 s i n \frac{π}{6} c o s \frac{π}{6} (\frac{π}{6}) \sqrt{10}}{\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} + 4 s i n^{2} \frac{π}{6}}} \frac{d D}{d x} = (1 + \frac{\sqrt{3}}{2} π) c m / s$

سيّارات: عجلة سيّارة طول نصف قطْرها $30 c m$ وهي تدور بِمُعدّل $10$ دورات في الثانية.

رسمت النقطة $P$ على حافة العجلة كما في الشكل المجاور:

21) أجل $\frac{d x}{d t}$ بدلالة $θ$ .

$S o l u t i o n : c o s θ = \frac{x}{30} \Rightarrow x = 30 c o s θ \frac{d x}{d t} = - 30 \sin θ \frac{d θ}{d t} b u t \frac{d θ}{d t} = ω = \frac{θ}{t} = \frac{10 \times 2 π}{1} = 20 π \Rightarrow \frac{d x}{d t} = - 30 s i n θ \frac{d θ}{d t} = - 30 s i n θ (20 π) = - 600 π s i n θ \Rightarrow \frac{d x}{d t} = - 600 π s i n θ$

22 ) أجد ‏ $\frac{d x}{d t}$ عندما $θ = 45$ .

$S o l u t i o n : \frac{d x}{d t} = - 600 π \sin θ \frac{d θ}{d t} = - 600 π s i n (45) (20 π) = - 12000 π^{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{- 12000 π^{2}}{\sqrt{2}} \frac{d x}{d t} = - 6000 \sqrt{2} π^{2} c m / s$

23 ) ضوء: مصباح مُثبت بالأرض ، وهو يضيء على جدار يبعد عنه مسافة $12 m$ . إذا سار رجل طوله $2 m$

من موقع المصباح إلى الجدار بسرعة $1.6 m / s$ ، فأجد مُعدَّل تغيّر طول ظله على الجدار عندما يكون على

بُعْد $4 m$ من الجدار.

$S o l u t i o n : \begin{array}{l} m_{1} = m_{2} \\ \frac{2 - 0}{12 - x - 12} = \frac{y - 0}{0 - 12} \\ \frac{2}{x} = \frac{y}{12} \Rightarrow y = \frac{24}{x} \\ \frac{d y}{d t} = - \frac{24 \frac{d x}{d t}}{x^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{24 (1.6)}{{(8)}^{2}} = - 0.6 m / s \frac{d y}{d t} = - 0.6 m / s \end{array}$

هندسة ميكانيكية: يبين الشكل المجاور ذراعًا معدنيةٌ مُتحرَّكةَ طولها $1 m$ ، وإحداثيات نهايتيها $(0, y) ، (x, 0)$

ويمثل الاقتران : $x (t) = \frac{1}{2} s i n \frac{π}{6} t$ موقع طرف الذراع على المحور ، حيثt الزمن بالثواني:

24 ) أجد أعلى نقطة على المحورy يصلها طرف الذراع.

$S o l u t i o n : y = \sqrt{1 - {(\frac{1}{2} s i n \frac{π t}{6})}^{2}} w h e n x = 0 \Rightarrow y = 1 m T h e p o i n t i s (\frac{1}{4}, 0)$

25) أجد سرعة طرف الذراع الواقع على المحور y عندما يكون الطرف الآخر عند النقطة $(\frac{1}{4}, 0)$ .

$S o l u t i o n : \begin{array}{l} y = \sqrt{1 - x^{2}} \\ \frac{d y}{d t} = \frac{- 2 x \frac{d x}{d t}}{2 \sqrt{1 - x^{2}}} \\ b u t \frac{d x}{d t} = \frac{π}{12} c o s \frac{π t}{6} \\ w h e n x = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} s i n \frac{π t}{6} = \frac{1}{4} \\ s i n \frac{π t}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{π t}{6} = \frac{π}{6} \Rightarrow t = 1 s \\ \frac{d x}{d t} = \frac{π}{12} c o s \frac{π t}{6} = \frac{π}{12} c o s \frac{π (1)}{6} \\ \frac{d x}{d t} = \frac{π \sqrt{3}}{24} \\ \frac{d y}{d t} = \frac{- 2 x \frac{d x}{d t}}{2 \sqrt{1 - x^{2}}} \\ \frac{d y}{d t} = \frac{- (\frac{1}{4}) (\frac{π \sqrt{3}}{24})}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{4})}^{2}}} = \frac{- (\frac{1}{4}) (\frac{π \sqrt{3}}{24})}{\sqrt{\frac{15}{16}}} = - \frac{π}{24 \sqrt{5}} m / s \end{array}$

26) تبرير: رُبطت العربتان A و B بحبل طوله $12 m$ وهو يمر بالبكرة $P$ كما في الشكل المجاور.

إذا كانت النقطة $Q$ تقع على الأرض بين العربتين أسفل $P$ مباشرة ، وتبعد عنها مسافة $4 m$ ،

وكانت العربة $A$ تتحرَّك بعيدًا عن النقطة $Q$ بسرعة $0.5 m / s$ . فأجد سرعة اقتراب العربة $B$

من النقطة $Q$ في اللحظة التي تكون فيها العربة $A$ على بُعْد $3 m$ من النقطة $Q$ مُبرَّرًا إجابتي.

الحل:

$S o l u t i o n : l_{1} + l_{2} = 12 \sqrt{x^{2} + 16} + \sqrt{y^{2} + 16} = 12 w h e n x = 3 \Rightarrow \sqrt{{(3)}^{2} + 16} + \sqrt{y^{2} + 16} = 12 \Rightarrow \sqrt{25} + \sqrt{y^{2} + 16} = 12 \Rightarrow \sqrt{y^{2} + 16} = 7 \Rightarrow y = \sqrt{33} \frac{2 x \frac{d x}{d t}}{2 \sqrt{x^{2} + 16}} + \frac{2 y \frac{d y}{d t}}{2 \sqrt{y^{2} + 16}} = 0 \frac{(3) (0.5)}{\sqrt{{(3)}^{2} + 16}} + \frac{\sqrt{33} \frac{d y}{d t}}{\sqrt{{(\sqrt{33})}^{2} + 16}} = 0 \frac{1.5}{5} + \frac{\sqrt{33} \frac{d y}{d t}}{7} = 0 \Rightarrow \frac{d y}{d t} = - \frac{2.1}{\sqrt{33}} m / s$

27 ) تبرير: يركض عَدّاء في مضمار دائري ، طول نصف قُطْره $100 m$ بسرعة ثابتة مقدارها $7 m / s$ .

ويقف عَدَاء آخر على بُعْد $200 m$ من مركز مضمار الركض.

أجد مُعدِّل غير المسافة بين العَدّاء وصديقه عندما تكون المسافة بينهما $200 m$ .

$S o l u t i o n : D = \sqrt{{(100)}^{2} + {(200)}^{2} - 2 (100) (200) c o s θ} D = \sqrt{50000 - 40000 c o s θ} D = 100 \sqrt{5 - 4 c o s θ} \frac{d D}{d t} = \frac{400 \sin θ \frac{d θ}{d t}}{2 \sqrt{5 - 4 c o s θ}} = \frac{200 s i n θ \frac{d θ}{d t}}{\sqrt{5 - 4 c o s θ}} \overset{⏜}{l} = r θ \Rightarrow \overset{⏜}{l} = 100 θ \frac{d l}{d t} = 100 \frac{d θ}{d t} \Rightarrow \frac{d θ}{d t} = \frac{\frac{d l}{d t}}{100} = \frac{7}{100} = 0.07 r a d / s w h e n D = 200 200 = 100 \sqrt{5 - 4 c o s θ} \Rightarrow 4 = 5 - 4 c o s θ \Rightarrow c o s θ = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin θ = \frac{\sqrt{15}}{4} \Rightarrow \frac{d D}{d t} = \frac{200 \sin θ \frac{d θ}{d t}}{\sqrt{5 - 4 \cos θ}} = \frac{200 (\frac{\sqrt{15}}{4}) (0.07)}{\sqrt{5 - 4 (\frac{1}{4})}} \frac{d D}{d t} = 1.75 \sqrt{15} m / s$

رياضيات العلمي فصل أول

التوجيهي علمي

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS