رياضيات

قاعدة السلسلة 

مشتقة الاقتران الناتج عن تركيب اقتراني قوة:

تعلمنا سابقاً مفهوم الاقتران المركب وسنتعلم في هذا الدرس كيفية اشتقاق بعض الاقترانات المركبة الناتجة من تركيب اقتراني قوة ، وفي هذه الحالة يمكننا فك الأقواس الناتجة من التركيب واشتقاق كل حد من حدود المقدار الجبري الناتج ولكن فك هذه الأقواس لا يكون سهلا دائما لذلك سنتلعم اليوم طريقة سهلة لإيجاد مشتقة الاقتران المركب تسمى قاعدة السلسلة.

 

إذا كان f و g اقترانين يتكون كل منها من اقترانات قوة؛ فإنه يمكن إيجاد مشتقة الاقتران المركب $\left(fog\right)\left(x\right)=f\left(g\right(x\left)\right)$ باستعمال القاعدة الآتية: $\left(fog\right)\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(g\right(x\left)\right).g\text{'}\left(x\right)$ وبصيغة أخرى، إذا كان $y=f\left(u\right)$ و $u=g\left(x\right)$ فإن: $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$ حيث تحسب قيمة $\frac{dy}{du}$ عند u=g(x)

مثال: أجد مشتقة كل من الاقترانات الآتية:

$1\left)h\right(x) = {(3x^5-4x^2)}^6$

1) نجد مشتقة الاقتران الداخلي ثم مشتقة الاقتران  الخارجي

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=15x^4-8x \mathrm{مشتقة} u=3x^5-4x^2 \mathrm{الداخلي} \mathrm{الاقتران} \\ \frac{dy}{du}=6u^5 \mathrm{مشتقة} y=u^6 \mathrm{الخارجي} \mathrm{الاقتران} \end{gathered}$$

8) نجد مشتقة الاقتران المركب باستعمال قاعدة السلسلة

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx} \\ =6u^5\times \left(15x^4-8x\right) \\ 6{\left(3x^5-4x^2\right)}^5\left(15x^4-8x\right) \end{gathered}$$

$2) y= \frac{1}{{(1-3x^2)}^5}$

1) تكتب الاقتران على الصورة الآسية

$y={\left(1-3x^2\right)}^{-5}$

2) نجد مشتقة الاقتران الداخلي ثم مشتقة الاقتران الخارجي

$$\begin{gathered} \frac{du}{dx}=-6x \mathrm{مشتقة} u=1-3x^2 \mathrm{الداخلي} \mathrm{الاقتران} \\ \frac{dy}{du}=-5u^{-6 }\mathrm{مشتقة} y=u^{-5} \mathrm{الخارجي} \mathrm{الاقتران} \end{gathered}$$

3) نجد مشتقة الاقتران المركب باستخدام قاعدة السلسلة

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx} \\ =-5u^{-6}\left(-6x\right)=30x{\left(1-3x^2\right)}^{-6}=\frac{30x}{{\left(1-3x^2\right)}^6} \end{gathered}$$

ملاحظة: يمكن إيجاد مشتقة الاقتران المركب على الصورة $y=(g{\left(x\right))}^n$، حيث g(x) اقتران مكون من اقترانات قوة كالآتي:

إذا كان $y={\left(g\left(x\right)\right)}^n$، حيث n عدد حقيقي وg(x) اقتران مكون من اقترانات قوة؛ فإن $\frac{dy}{dx}=n{\left(g\left(x\right)\right)}^{n-1}\times g\text{'}\left(x\right)$

مثال:

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي عند النقطة المعطاة:

$1) f(x)=\sqrt[3]{2x^2-4} ,x=-1$

$$\begin{gathered} f\left(x\right)={\left(2x^2-4\right)}^{\frac{1}{3}} \\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{3}{\left(2x^2-4\right)}^{-\frac{2}{3}}\times \left(4x\right) \\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{4x}{3\sqrt[3]{{\left(2x^2-4\right)}^2}} \\ f\text{'}\left(-1\right)=\frac{-4}{3\sqrt[3]{4}} \end{gathered}$$

$2) y={(2-x^4)}^{\frac{2}{5}} ,x=1$

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{2}{5}{\left(2-x^4\right)}^{-\frac{3}{5}}\times \left(-4x^3\right) \\ \frac{dy}{dx}=\frac{-8x^3}{5\sqrt[5]{{\left(2-x^4\right)}^3}} \\ \frac{dy}{dx}{|}_{x=1}=\frac{-8}{5\sqrt[5]{1}}=\frac{-8}{5} \end{gathered}$$

إذا كان $y={\left(ax+b\right)}^n$، حيث a, b, n أعداد حقيقية؛ فإن $\frac{dy}{dx}=n{\left(ax+b\right)}^{n-1}\times a$

مثال:

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:

$1) y={(2x-1)}^4$

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=4{\left(2x-1\right)}^3\times 2 \\ =8{\left(2x-1\right)}^3 \end{gathered}$$

$2) y=\sqrt{5x-3}$

$$\begin{gathered} y={\left(5x-3\right)}^{\frac{1}{2}} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}{\left(5x-3\right)}^{-\frac{1}{2}}\times \left(5\right) \\ =\frac{5}{2\sqrt{5x-3}} \end{gathered}$$

$3) y=\frac{1}{1-x}$

$$\begin{gathered} y=\frac{1}{\left(1-x\right)} \\ y={\left(1-x\right)}^{-1} \\ \frac{dy}{dx}=-1{\left(1-x\right)}^{-2}\times -1 \\ =\frac{1}{{\left(1-x\right)}^2} \end{gathered}$$

معدل التغير بالنسبة إلى الزمن:

في بعض المواقف الحياتية تتغير القيم بالنسبة إلى الزمن فمثلا إذا افترضنا أن r هو نصف قطر بالون كروي حجمه v وحدة مكعبة وكان معدل تغير حجم البالون بالنسبة إلى الزمن $\frac{dv}{dt}$ معلوما في هذه الحالة يمكننا استعمال قاعدة السلسلة لإيجاد معدل تغير طول نصف قطر البالون بالنسبة إلى الزمن $\frac{dr}{dt}$.

مثال:

تسرب نفط من ناقلة بحرية، مكونا بقعة دائرية الشكل على سطح الماء، تزداد مساحتها بمعدل $50 m^2/min$. أجد سرعة تزايد نصف قطر بقعة النفط، عندما يكون نصف قطرها 20m.

إذا كان نصف قطر بقعة النفط الدائرية الشكل r مترا، ومساحتها $A{m}^2$؛ فإن معدل تغير مساحة بقعة النفط بالنسبة إلى الزمن $\frac{dA}{dt}=50$.

1) أجد مشتقة مساحة الدائرة بالنسبة إلى نصف القطر.

$$\begin{gathered} A=\mathrm{\pi }{r}^{\mathit{2}} \\ \frac{dA}{dr}=2\mathrm{\pi }r \end{gathered}$$

2) أجد معدل تغير نصف القطر بالنسبة إلى الزمن؛ باستعمال قاعدة السلسلة.

$$\begin{gathered} \frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\times \frac{dr}{dt} \\ 50=2\mathrm{\pi }r\times \frac{dr}{dt} \\ \frac{dr}{dt}=\frac{25}{\mathrm{\pi }r} \\ =\frac{25}{\mathrm{\pi }\times 20}\approx 0.398 \end{gathered}$$

إذن: معدل تغير نصف القطر بالنسبة إلى الزمن $0.398 m/min$ تقريبا.