رياضيات فصل أول

الاقترانات المتشعبة

 

الاقتران المتشعب: هو اقتران معرف بقواعد مختلفة عند أجزاء مجاله.

في هذا الدرس سنتعرف على الاقتران المتشعب مجاله ومداه وتمثيله بيانيا وكذلك الحال على الاقتران المطلق.

مثال:

 إذا كان $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}3x-1& ,-1\le x<2\\ x^3& ,x\ge 2\end{array}\right.$ :

1) أحدد مجال f(x).

الاقتران f(x) معرف على قاعدتين مجال القاعدة الأولى هو الفترة $[-1,2)$، والقاعدة الثانية معرفة على الفترة $[2,\infty )$، إذن مجال الاقتران f(x) هو الفترة $[-1,2)$

2) أجد قيمة f(0) ,و f(2).

بما أن $-1<0<2$ إذن نستعمل القاعدة

 $f\left(x\right)=3x-1f\left(0\right)=3\times 0-1=-1$

بما أن $2\ge 2$ إذن نستعمل القاعدة 

$f\left(x\right)=x^{3}f\left(2\right)=2^3=8$

3) أمثل الاقتران بيانيا وأحدد مداه.

أولا: نمثل القاعدة الأولى $f\left(x\right)=3x-1$ عندما $-1\le x<2$

نجد قيمة الاقتران f(x) عندما x= - 1 , x= 2 كما في الجدول

X	-1	2
y=f(x)=3x-1	-4	5
(x,y)	(-1,-4)	(2,5)

ثانيا: نمثل القاعدة الثانية $f\left(x\right)=x^3$ عندما $x\ge 2$

نجد قيمة الاقتران f(x) عندما $x=2$ وقيمتين أكبر منها كما في الجدول

X	2	3	4
$y=f\left(x\right)=x^3$	8	27	64
(x , y)	(2 , 8)	(3 , 27)	(4 , 64)

من خلال الرسم نلاحظ أن مدى الاقتران هو $y\ge -4$ ويمكن التعبير عنه بالفترة $[-2,\infty )$

ملاحظة: إذا كان لدينا تمثيل بياني لاقتران متشعب يمكننا إيجاد قاعدة ذلك الاقتران من خلال التمثيل البياني له.

 

اقتران القيمة المطلقة

اقتران القيمة المطلقة هو اقتران يحتوي على قيمة مطلقة لمقدار جبري ومن أبسط الأمثلة عليه $f\left(x\right)=\left|x\right|$ ويمكن كتابته بصورة اقتران متشعب كما يأتي:

$f\left(x\right)=\left|x\right|=\left\{\begin{array}{cc}-x& , x<0\\ x& , x\ge 0\end{array}\right.$

ملاحظة:إعادة تعريف اقتران القيمة المطلقة تعني كتابة أي اقتران قيمة مطلقة على صورة اقتران متشعب من دون استعمال رمز القيمة المطلقة.

مثال:

أعيد تعريف كل من الاقترانات الآتية:

$1) f(x)=\left|3x-6\right|$

أولاً:  نساوي ما داخل المطلق بالصفر  ونحل المعادلة الناتجة

$3x-6=0x=2$

ثانياً: نعين صفر المعادلة على خط الأعداد ونحدد الإشارة على جانبيه، ويتم ذلك بتعويض قيمتين

1)واحدة أكبر من 2 (تقع على يمين 2)فيكون الناتج موجباً مما يعني أن الإشارة على يمين 2 موجبة على خط الأعداد دائماً

2)قيمة أخرى أقل من 2(تقع على يسار 2) فيكون الناتج سالباً مما يعني أن الإشارة على يسار 2 سالبة على خط الأعداد دائماً

 

ثالثاً: نكتب قاعدتي الاقتران حسب إشارة يمين صفر المعادلة ويساره

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}-(3x-6) , x<2\\ (3x-6) , x\ge 2\end{array}\right.$

$2) f(x)=\left|x^2-x-6\right|$

نتبع خطوات المثال السابق من مساواة ما داخل المطلق بالصفر وإيجاد أصفار المعادلة واختبارها على خط الأعداد.

$x^2-x-6=0(x-3) (x+2)=0x=3 , x=-2$