رياضيات فصل أول

أتحقق من فهمي

ص: 10

إذا كان $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}3x+2 , x<2\\ 5 , x=2 \\ 2x-1 , x>2\end{array}\right.$:

a) أحدد مجال f(x)

مجال هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية كلها.

b) أجد قيمة كل من f(5)، و f(2).

بما أن $5>2$ إذن:

$f\left(5\right)=2\left(5\right)-1=9$

بما أن $2=2$إذن:

$f\left(2\right)=5$

c) أمثل الاقتران f(x) بيانيا، وأحدد مداه.

مدى الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية.

أتحقق من فهمي

ص: 11

أكتب قاعدة الاقتران f(x) الممثل بيانيا في الشكل المجاور.

الجانب الأيسر من الرسم المقطع الصادي= 3، والميل=1، الجانب الأوسط الميل = $-\frac{1}{2}$، وتمر بالنقطة $(1,4)$، الجانب الأيسر الاقتران ثابت فيصبح الاقتران كما يأتي:

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}x+3, x<1 \\ \frac{-1}{2}x+\frac{9}{2},1\le x\le 3\\ 1, x>3 \end{array}\right.$

أتحقق من فهمي

ص: 12

زادت شركة رواتب موظفيها الشهرية وفق الأسس الآتية: الرواتب التي تقل  عن 400 دينار زيدت بنسبة $20\raisebox{1ex}{$0$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$0$}\right.$، والرواتب من 400 دينار إلى أقل من 600 دينار زيدت بنسبة $10\raisebox{1ex}{$0$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$0$}\right.$، والرواتب من 600 دينار وأكثر زيدت 50 دينارا. أكتب اقترانا متشعبا لحساب الراتب الجديد  لموظفي الشركة.

الفئة الأولى تأخذ راتبها %100 بالإضافة إلى %20 ما مجموعه %120 من الراتب

الفئة الثانية تأخذ راتبها %100 بالإضافة إلى %10 ما مجموعه %110 من الراتب

الفئة الثالثة فقط إضافة 50 دينار على الراتب.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}1.2x, x<400 \\ 1.1x, 400\le x<600\\ x+50, x\ge 600 \end{array}\right.$

أتحقق من فهمي

ص: 14

أعيد تعريف كل من الاقترانات الآتية:

$a) f(x)=\left|-5x+15\right|$

نساوي ما داخل المطلق بالصفر ونحل المعادلة ونختبر الحلول على خط الأعداد

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}-5x+15,& x<3\\ 5x-15,& x\ge 3\end{array}\right.$

$b) f(x)=\left|x^2-5x+6\right|$

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}{x}^2-5x+6, x\le 2 \\ -x^2+5x-6, 2<x<3\\ x^2-5x+6, x\ge 3 \end{array}\right.$

أتحقق من فهمي

ص: 16

أمثل بيانيا كل اقتران مما يأتي، محددا مجاله ومداه:

$a) f(x)=\left|2x\right|$

المجال مجموعة الأعداد الحقيقية كلها، والمدى هو $y\ge 0$، أو الفترة $[0,\infty )$.

$b) f(x)=\left|2-\frac{1}{2}x\right|$

المجال مجموعة الأعداد الحقيقية كلها، والمدى هو $y\ge 0$، أو الفترة $[0,\infty )$

أتحقق من فهمي

ص: 18

أكتب قاعدة اقتران القيمة المطلقة f(x) الممثل بيانيا في الشكل المجاور.

الميل هو $\frac{4}{3}$ الرأس $(-3,0)$  

$f\left(x\right)=\left|\frac{4}{3}x+4\right|$

أتدرب وأحل المسائل

إذا كان $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}3x^2 , x<-1 \\ 4x-3 , -1\le x\le 4\\ 2 , x>4 \end{array}\right.$، فأجد  كلا من:

$1) f(-2)$

بما أن $-2<-1$ 

$f(-2)=3{(-2)}^2=12$

$2) f(-1)$

بما أن $-1\ge -1$

$f(-1)=4(-1)-3=-7$

$3) f(0)$

بما أن $-1\le 0\le 4$

$f\left(0\right)=4\left(0\right)-3=-3$

$4) f(4)$

بما أن $-1\le 4\le 4$

$f\left(4\right)=4\left(4\right)-3=13$

$5) f(8)$

بما أن $8>4$

$f\left(8\right)=2$

$6) f(5)$

بما أن $5>4$

$f\left(5\right)=2$

أعيد تعريف كل من الاقترانات الآتية:

$7) f(x)=\left|3x-6\right|$

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}-3x+6,& x<2\\ 3x-6,& x\ge 2\end{array}\right.$

$8) f(x)=\left|x^2+9x+8\right|$

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}5x^2+13x-8, x\le -3 \\ -5x^2-13x+4, -3<x<\frac{2}{5}\\ x^2+9x+8, x\ge \frac{2}{5} \end{array}\right.$

$9) f(x)=\left|7x-5\right|+3$

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-7x+8, x<\frac{5}{7}\\ 7x-2, x\ge \frac{5}{7}\end{array}\right.$

$10) f(x)=\left|5x^2+13x-6\right|-2$

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}5x^2+13x-8, x\le -3 \\ -5x^2-13x+4, -3<x<\frac{2}{5}\\ x^2+9x+8, x\ge \frac{2}{5} \end{array}\right.$

أمثل كلا من الاقترانات الآتية بيانيا، وأحدد مجالها ومداها:

$11) f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}x+3 , x<-2\\ -2x-3 , x\ge -2\end{array}\right.$

المجال مجموعة الأعداد الحقيقية، المدى $y\le 1$ أو الفترة $(-\infty ,1]$.

$12) f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}2x-5 , x<4 \\ x+1 , 4\le x\le 6\\ -3 , x>6 \end{array}\right.$

المجال  مجموعة الأعداد الحقيقية، المدى $(-\infty ,3)\cup [5,7] وأ، y<3 وأ 5\le y\le 7$

$13) f(x)=\{\begin{array}{l}\left|x\right| , x<3\\ x+2 , x\ge 3\end{array}$

المجال مجموعة الأعداد الحقيقية، المدى $y\ge 0$ أو الفترة $[0,\infty )$.

$14) f(x)=\{\begin{array}{c}3-2x , x<-1\\ 6 , -1\le x\le 3 \\ x^2 , x>3 \end{array}$

المجال مجموعة الأعداد الحقيقية، المدى $y<5$ أو الفترة $(5,\infty )$.

$15) f(x)=\left\{\begin{array}{l}3 , x=1\\ -x+2 , x\ne 1\end{array}\right.$

المجال مجموعة الأعداد الحقيقية، المدى مجموعة الأعداد الحقيقية.

$16) f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2-4}{x-2} , x\ne 2\\ 6 , x=2\end{array}\right.$

المجال مجموعة الأعداد الحقيقية، المدى مجموعة الأعداد الحقيقية

$17) f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 , x\le 3\\ -2 , x>3\end{array}\right.$

المجال: مجموعة الأعداد الحقيقية، المدى: $\{-2,2\}$

$18) f(x)=\left|3x-12\right|$

المجال مجوعة الأعداد الحقيقية، المدى $y\ge 0$ أو الفترة $[0,\infty )$.

$19) f(x)=-\left|2x-4\right|$

المجال مجموعة الأعداد الحقيقية، المدى $y\le 0$ أو الفترة $(-\infty ,0]$.

$20) f(x)=\left|x-4\right|+1$

المجال مجموعة الأعداد الحقيقية، المدى $y\ge 1$ أو الفترة $[1,\infty )$.

أكتب قاعدة الاقتران المتشعب الممثل بيانيا في كل من الأشكال الآتية:

الجهة اليمنى اقتران ثابت، الجهة الوسطى مقطع الصادات =0، والميل=1، الجهة اليسرى اقتران ثابت

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}-2, x\le -2 \\ x, -2<x<2\\ 2, x\ge 2 \end{array}\right.$

 

 

الجهة اليمنى اقتران ثابت، الجهة الوسطى مقطع الصادات =1، والميل=1-، الجهة اليسرى اقتران ثابت

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}1, -4\le x\le -1 \\ -x+1, -1<x\le 2\\ -2, 2<x\le 5 \end{array}\right.$

مقطع الصادات =2، مقطع السينات=2، والميل=1-، وصورة الاقتران عند x=1 تساوي 3

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-x+2, x\ne 1\\ 3, x=1\end{array}\right.$

أكتب قاعدة اقتران القيمة المطلقة الممثل بيانيا في كل من الأشكال الآتية:

$f\left(x\right)=\left|x\right|-2$

$f\left(x\right)=-\left|3x\right|$

$f\left(x\right)=-\frac{1}{3}\left|x-2\right|+6$

27) أعود إلى مسألة اليوم وأكتب الاقتران المتشعب الذي يمكنني استعماله لحساب ثمن المياه لأي كمية مستهلكة.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}0.361x, 0\le x\le 18 \\ 0.450x-1.602, 18<x\le 36\\ 0.550x-5.202, 36<x\le 54\end{array}\\ x-29.502, 54<x\le 72\end{array}\right.$

خيمة: يمثل منحنى الاقتران $f\left(x\right)=-1.4 |x-2.5|+3.5$ حافتي الوجه الأمامي لخيمة، ويمثل العمود الذي يتوسط الوجه الأمامي للخيمة المحور y، وأما المحور x فيمثله سطح الأرض.

28) أمثل الاقتران بيانيا.

29) أجد مجال الاقتران ومداه.

مجال هذا الاقتران هو $[0,5]$، ومداه $[0,3.5]$.

30) أعمال: يتقاضى مندوب مبيعات راتبا شهريا مقداره 500 دينار، وعمولة بنسبة $1\raisebox{1ex}{$0$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$0$}\right.$ لأول 20000 دينار من مبيعاته الشهرية، وإذا زادت مبيعاته على 20000 دينار يأخذ  عمولة بنسبة $1.5\raisebox{1ex}{$0$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$0$}\right.$ مما يزيد على 20000 دينار. أكتب اقترانا متشعبا لحساب الدخل الشهري لهذا المندوب.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}500+0.01x, x\le 20000\\ 400+0.015x, x>20000\end{array}\right.$

عاصفة: تبدأ العاصفة المطرية بالهطل على شكل رذاذ ثم يزداد معدل الهطل، ثم تعود ثانية للهطل على شكل رذاذ، ويمثل الاقتران $r\left(t\right)=-0.5 \left|t-1\right|+0.5$، معدل الهطل r (بالإنش لكل ساعة)، حيث t الزمن بالساعات منذ بداية الهطل.

31) أمثل اقتران معدل الهطل بيانيا.

32) أجد كم ساعة استمر الهطل.

استمر الهطل ساعتان لأنه توقف بعد ساعتين، يقطع المنحنى المحور الأفقي عند 0، و 2

33) بعد كم ساعة كان أعلى معدل هطل؟ أبرر إجابتي.

كان أعلى معدل هطل بعد ساعة من بدئه، يبين الرسم أن القيمة العظمى عند $(1,0.5)$

مهارات التفكير العليا

34) تبرير: أي الآتية تمثل منحنى الاقتران $f\left(x\right)=\left|2x-5\right|$؟ أبرر إجابتي:

 

 

 

a، لأن الرأس عند $(2.5,0)$، ومفتوح للأعلى

35) تبرير: هل تمثل العلاقة المتشعبة الآتية اقترانا؟ أبرر إجابتي.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}3x-5 , x\le 2\\ -x+2 , x\ge 1\end{array}\right.$

لا تشكل اقترانا بسب تداخل المجالين الجزئيين، فالفترة $[1,2]$ تقع في كل من $(-\infty ,2]$ و $[1,\infty )$ فسيكون للعدد 1 مثلا صورتان هما 2-،و 1 وهذا يناقض تعريف الاقتران.

36) تبرير: أكتب قاعدة الاقتران f(x) الممثل بيانيا  في الشكل المجاور مبررا إجابتي.

$f\left(x\right)=\left|x^2-4\right|$

لأن الرسم هو  لقطع مكافئ يقطع المحور x عند 2-، 2، وعكس الجزء الواقع تحت المحور x حول المحور x.

37) مسألة مفتوحة: أكتب  اقتران قيمة مطلقة f(x) بحيث يكون f(4)= -5.

$f\left(x\right)=\left|x+2\right|-11$

تحد: يمكن كتابة المقدار $x^2+px-q$ على صورة ${(x-2.5)}^2-0.25$

38) أجد قيمة كل من p، و q.

$$\begin{gathered} x^2-5x+6.25-0.25 \\ {x}^2-5x+6=x^2+px-q \end{gathered}$$

$p=-5 , q=-6$

39) أجد إحداثي كل من نقطتي تقاطع المنحنى $f\left(x\right)=\left|x^2+px-q\right|$ مع محور x.

إحداثيا نقطتي تقاطع منحنى f(x) مع المحور x هما $(2,0) , (3,0)$.

حل أسئلة كتاب التمارين

أعيد تعريف كل من الاقترانين الآتيين:

$1) f(x)=\left|5x-4\right|$

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}4-5x , x<0.8\\ 5x-4 , x\ge 0.8\end{array}\right.$

$2) f(x)=\left|3-2x\right|-6$

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-2x-3 , x<1.5\\ 2x-9 , x\ge 1.5\end{array}\right.$

أكتب قاعدة الاقتران المعطى تمثيله البياني، في كل مما يأتي:

$f\left(x\right)=1.5 \left|x+2\right|$

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}x , x<0\\ \frac{1}{3} x+2 , x\ge 0\end{array}\right.$

أمثل كلا من الاقترانات الآتية بيانيا، وأحدد مجاله ومداه:

$5) f(x)=\left\{\begin{array}{l}3x-4 , x<3\\ x+3 , x\ge 3\end{array}\right.$

5	3	3	1	x
8	6	5	-1	y

 

المجال: مجموعة الأعداد الحقيقية

المدى: $(-\infty ,5) \cup [6,\infty )$

$6) f(x)=\left\{\begin{array}{c}2x^2+3 , x<1 \\ 5 , 1\le x<4\\ x+2 , x\ge 4 \end{array}\right.$

5	4	4	1	0	1-	x
7	6	5	5	3	5	y

 

المجال: مجموعة الأعداد الحقيقية

المدى: $y\ge 3$ أو الفترة $[3,\infty )$

$7) f(x)=\left|2x-6\right|+3$

إحداثيات الرأس $(\frac{6}{2},3)$، أختار نقطة قبله ونقطة بعده لأكون الجدول:

x	2	3	4
y	5	3	5

وأعين النقاط وأرسم شكل v.

المجال: مجموعة الأعداد الحقيقية

المدى: $y\ge 3$ أو الفترة $[3,\infty )$.

$8) f(x)=-\left|x^2-2x-8\right|$

أجد الإحداثي x لرأس القطع المكافئ ومقطعه من المحورين وقيمتين أخريين أعوضها في معادلة الاقتران لأكون الجدول:

x	3-	2-	0	1	4	5
y	7-	0	6-	9-	0	7-

وأعين النقاط وأرسم المنحنى.

المجال: مجموعة الأعداد الحقيقية

المدى: $y\le 0$ أو الفترة $(-\infty ,0]$.

9) كهرباء: تزود شركة الكهرباء القطاع التجاري بالطاقة الكهربائية مقابل 1.20 دينار شهريا (رسوما ثابتة)، يضاف إليها 0.121 دينار لكل كيلو واط ساعة لأول 2000 كيلو واط ساعة في الشهر، و 0.176 دينار لكل واط ساعة من كمية الاستهلاك الزائدة على 2000 كيلو واط ساعة في الشهر. أكتب الاقتران الذي يعطى قيمة فاتورة الكهرباء بدلالة كمية الاستهلاك x كيلو واط ساعة شهريا.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}1.20+0.121x , 0\le x\le 2000\\ 0.176x-108.80 , x>2000\end{array}\right.$